高三数学（理数）总复习练习专题二十二 几何证明选讲

高三数学（理数）总复习练习专题二十二 几何证明选讲

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2015·广东，15，中)已知 AB 是圆 O 的直径，AB＝4，EC 是圆 O 的切线，切点为 C，BC＝1.过 圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD＝________. 【解析】　由于 O 为 AB 的中点且 BC∥OD，∴OP∥BC 且 OP＝1 2BC＝1 2，AC＝ AB2－BC2＝ 15， ∴CP＝1 2AC＝ 15 2 . 又∵CD 是圆 O 的切线， ∴∠ACD＝∠ABC. 又∵∠DPC＝∠ACB＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DCP， ∴PD AC＝CP BC， ∴PD＝CP·AC BC ＝ 15 2 × 15 1 ＝15 2 ， ∴OD＝OP＋PD＝1 2＋15 2 ＝8. 【答案】　8 2．(2015·湖北，15，中)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且 BC＝3PB，则AB AC＝ ________． 【解析】　设 PB＝1，则 BC＝3. ∵PA2＝PB·PC，∴PA＝2. ∵△PBA∽△PAC， ∴AB AC＝PA PC＝2 4＝1 2. 【答案】　1 2 3．(2015·江苏，21A，10 分，中)如图，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点 D. 求证：△ABD∽△AEB. 证明：因为 AB＝AC， 所以∠ABD＝∠C. 又因为∠C＝∠E， 所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE 为公共角，所以△ABD∽△AEB. 1．(2012·北京，5，中)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E， 则(　　) A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 【答案】　A　由切割线定理可知 CE·CB＝CD 2.又由平面几何知识知△ADC∽△CDB，得相似比： CD AD ＝DB CD，即 AD·DB＝CD2，∴CE·CB＝AD·DB.故选 A. 2．(2014·广东，15，易)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB＝2AE，AC 与 DE 交于 点 F，则 △ CDF的面积 △ AEF的面积＝________. 【解析】　∵EB＝2AE，∴AE AB＝1 3. 又∵AB 綊 DC， ∴△AEF∽△CDF，且AE DC＝1 3. ∴ △ CDF的面积 △ AEF的面积＝9. 【答案】　9 3．(2013·陕西，15B，易)如图，弦 AB 与 CD 相交于⊙O 内一点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延 长线交于点 P，已知 PD＝2DA＝2，则 PE＝________． 【解析】　∵PE∥BC，∴∠PED＝∠BCE. 又∵∠BCE＝∠BAD，∴∠PED＝∠BAD. 在△PDE 和△PEA 中， {∠P＝∠P， ∠PED＝∠EAP，∴△PDE∽△PEA， ∴PD PE＝PE PA，∴PE2＝PD·PA＝2×3＝6， ∴PE＝ 6. 【答案】　 6 4．(2012·陕西，15B，易)如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EF⊥DB，垂足为 F，若 AB＝6，AE＝1，则 DF·DB＝________. 【解析】　圆的半径 OC＝3，OE＝2，CE＝DE＝ 32－22＝ 5. 而△DFE∽△DEB，∴DF DE＝DE DB， ∴DF·DB＝DE2＝5. 【答案】　5 5．(2012·课标全国，22，10 分，中)如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F，G 两点．若 CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD. 证明：(1)如图，连接 AF，因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE∥BC. 又 CF∥AB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥AD，所以四边形 ADCF 是 平行四边形， 故 CD＝AF. 因为 CF∥AB，所以 BC＝AF， 故 CD＝BC. (2)因为 FG∥BC，故 GB＝CF. 由(1)可知 BD＝CF，所以 GB＝BD，∠BGD＝∠BDG. 由 BC＝CD 知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 故△BCD∽△GBD. 考向 1　相似三角形的判定方法与性质的应用 1．相似三角形的判定方法 (1)判定定理 定理 1：两角对应相等，两三角形相似． 定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 定理 3：三边对应成比例，两三角形相似． (2)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平 行于三角形的第三边． (3)直角三角形相似的特殊判定方法 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 2．相似三角形的性质 (1)相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比． (2)相似三角形的面积比等于相似比的平方． (1)(2014·陕西，15B)如图，△ABC 中，BC＝6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于 点 E，F，若 AC＝2AE，则 EF＝________. (2)(2012·辽宁，22，10 分)如图，⊙O 和⊙O′相交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连接 DB 并延长交⊙O 于点 E，证明： ①AC·BD＝AD·AB； ②AC＝AE. 【思路导引】　解题(1)及(2)①的关键是证明三角形相似，题(2)②需注意应用圆中的有关定理，并结 合相似三角形进行证明． 【解析】　(1)∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB， ∴△AEF∽△ACB，∴AC AE＝BC EF， ∴2＝BC EF，∴EF＝3. (2)证明：①由 AC 与⊙O′相切于 A，得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB，从而AC AD＝AB BD， 即 AC·BD＝AD·AB. ②由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，所以△EAD∽△ABD. 从而AE AB＝AD BD，即 AE·BD＝AD·AB. 结合①的结论，可得 AC＝AE. 相似三角形判定定理的选择 (1)已知有一角相等时，可选择判定定理 1 与判定定理 2； (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理 2 与判定定理 3； (3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再 考虑用判定三角形相似的一般方法来判定． (2012·天津，13)如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线 相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF＝3，FB＝1，EF＝3 2，则线 段 CD 的长为________． 【解析】　由相交弦定理得 FA·FB＝FE·FC，即 3×1＝ 3 2FC，∴FC＝2. ∵FC∥BD，∴AF∶FB＝AC∶CD＝3∶1， ∴3CD＝AC. 由切割线定理得 DC·DA＝DB2，(*) 其中 DA＝AC＋CD＝3CD＋CD＝4CD. 又△AFC∽△ABD，∴FC DB＝AF AB＝3 4，得 DB＝8 3，代入(*)式得 DC·4DC＝64 9 ，∴CD＝4 3. 【答案】　4 3 考向 2　截割定理与射影定理的应用 1．平行线等分线段定理 (1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的 线段也相等． (2)推论 ①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． ②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 3．直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与 斜边的比例中项． (1)(2015·广东广州模拟，15)如图，在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝2，EC＝1， BC＝4，则 BF＝________. (2)(2015·天津南开模拟，13)如图，平行四边形 ABCD 中，AE∶EB＝1∶2，△AEF 的面积为 1 cm2， 则平行四边形 ABCD 的面积为________． 【解析】　(1)在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC， ∴BF BC＝BD AB＝EC AC， 又∵AE＝2，EC＝1，BC＝4， ∴BF 4 ＝ 1 1＋2 ， ∴BF＝4 3. (2)∵AE∥CD，∴△AEF∽△CDF， ∴AE∶CD＝AF∶CF， ∵AE∶EB＝1∶2， ∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3， ∴AF∶CF＝1∶3， ∴AF∶AC＝1∶4， ∴△AEF 与△ABC 中 AE 边与 AB 边高的比为 1∶4， ∴△AEF 与△ABC 的面积的比为 1∶12， ∴△AEF 与平行四边形 ABCD 的面积的比为 1∶24， ∵△AEF 的面积等于 1 cm2， ∴平行四边形 ABCD 的面积等于 24 cm2. 【答案】　(1) 4 3　(2)24 cm2 利用比例关系求值或证明的方法 高考中常考查三角形的边、面积等的求值和比例的证明、相似三角形的证明等．在求值时，往往需 要利用线段的比例关系建立方程求解，或者利用三角形相似求解；在证明时，往往会通过三角形相似或 平行线分线段成比例得到比例关系，进而求证．同时要注意直角三角形的勾股定理和射影定理在解题中 的应用． (2014·湖南长沙一模，11)如图，AB∥EF∥CD，已知 AB＝20，CD＝80，BC＝100，则 EF ＝________. 【解析】　∵AB∥EF∥CD，∴EF AB＝CF BC， EF CD＝BF BC. ∴EF AB＋EF CD＝CF＋BF BC ＝1， 即EF 20＋EF 80＝1. ∴EF＝16. 【答案】　16 1．(2015·广东中山一模，15)△OAB 是等腰三角形，P 是底边 AB 延长线上一点，且 PO＝3，PA·PB ＝4，则腰长 OA＝________. 【解析】　如图，作 OD⊥AP，垂足 D，则 PO2－PD2＝OB2－BD2，所以 PO2－OB2＝PD2－BD2， 因为 AD＝BD，所以 PD2－BD2＝PD2－AD2＝(PD＋AD)(PD－AD)＝PA·PB＝4， 所以 PO2－OB2＝4， 所以 OB2＝9－4＝5， 所以 OB＝ 5，所以 OA＝ 5. 【答案】　 5 2．(2015·天津河东二模，13)如图，AB 是半圆 O 的直径，∠BAC＝30°，BC 为半圆的切线，且 BC ＝4 3，则点 O 到 AC 的距离 OD＝________． 【解析】　∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC＝90°， ∵OD⊥AC，在△ABC 与△ADO 中， ∴∠ADO＝∠ABC＝90°，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADO，∴OD BC＝AO AC. 在△ABC 中，∠BAC＝30°， ∴AC＝2BC＝8 3，AB＝ AC2－BC2＝12， ∴OA＝BO＝6，∴OD＝AO·BC AC ＝6 × 4 3 8 3 ＝3. 【答案】　3 3．(2015·陕西咸阳调研，15B)已知梯形 ABCD 的上底 AD＝8 cm，下底 BC＝15 cm，在边 AB，CD 上分别取 E，F，使 AE∶EB＝DF∶FC＝3∶2，则 EF＝________. 【解析】　因为 AE∶EB＝3∶2， 所以 AE∶AB＝3∶5. 所以 EP∶BC＝3∶5，又因为 BC＝15 cm， 所以 EP＝9 cm，同理 PF＝3.2 cm. 所以 EF＝EP＋PF＝12.2 cm. 【答案】　12.2 cm 4．(2015·江苏南京三模，21(A)，10 分)如图，⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为⊙O 上一点，AE＝AC，DE 交 AB 于点 F.求证：△PDF∽△POC. 证明：因为 AE＝AC， 所以∠CDE＝∠AOC. 又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP， 从而∠PFD＝∠OCP， 在△PDF 与△POC 中，∠P＝∠P，∠PFD＝∠OCP， 故△PDF∽△POC. 5．(2014·河南开封一模，22，10 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BE⊥CD，垂足为 E， 连接 AE，F 为 AE 上一点，且∠BFE＝∠C. (1)求证：△ABF∽△EAD； (2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求 BF 的长． 解：(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C， ∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD. (2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°， ∴AB AE＝sin 60°＝ 3 2 ， 又△ABF∽△EAD，∴BF AD＝AB AE， ∴BF＝AB AE·AD＝3 3 2 . 6．(2014·山西四校联考，22，10 分)如图所示，PA 为圆 O 的切线，A 为切点，PO 交圆 O 于 B，C 两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC 的平分线与 BC 和圆 O 分别交于 D 和 E 两点． (1)求证：AB AC＝PA PC； (2)求 AD·AE 的值． 解：(1)证明：∵PA 为圆 O 的切线， ∴∠PAB＝∠ACP， 又∵∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA， ∴AB AC＝PA PC. (2)∵PA 为圆 O 的切线，PC 是过点 O 的割线， ∴PA2＝PB·PC，即 102＝5PC， ∴PC＝20，∴BC＝15. 又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225. 又由(1)知AB AC＝PA PC＝1 2，∴AC＝6 5，AB＝3 5， 如图， 连接 EC，则∠AEC＝∠ABC， 又∵∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB， ∴AE AB ＝AC AD，∴AD·AE＝AB·AC＝3 5×6 5＝90. 1．(2015·重庆，14，易)如图，圆 O 的弦 AB，CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长 线交于点 P.若 PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则 BE＝________． 【解析】　设 ED＝x，则 CE＝2x. ∵PA 为⊙O 的切线， ∴PA2＝PC·PD， 即 62＝3×(3＋2x＋x)，∴x＝3. 由相交弦定理得，AE·BE＝CE·ED， 即 9BE＝2x·x＝2×32，∴BE＝2. 【答案】　2 2．(2015·课标Ⅱ，22，10 分，中)如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边 BC 交 于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点． (1)证明：EF∥BC； (2)若 AG 等于⊙O 的半径，且 AE＝MN＝2 3，求四边形 EBCF 的面积． 解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC，所以 AD 是∠CAB 的平分线． 又因为⊙O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F， 所以 AE＝AF，故 AD⊥EF. 从而 EF∥BC. (2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF， 故 AD 是 EF 的垂直平分线． 又 EF 为⊙O 的弦，所以 O 在 AD 上． 连接 OE，OM，则 OE⊥AE. 由 AG 等于⊙O 的半径得 AO＝2OE， 所以∠OAE＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为 AE＝2 3，所以 AO＝4，OE＝2. 因为 OM＝OE＝2，DM＝1 2MN＝ 3， 所以 OD＝1.于是 AD＝5，AB＝10 3 3 . 所以四边形 EBCF 的面积为 3．(2015·课标Ⅰ，22，10 分)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若 OA＝ 3CE，求∠ACB 的大小． 解：(1)连接 AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 连接 OE，则∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， .3 316 2 3322 1 2 3 3 310 2 1 2 =××−×     × 所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°， 所以 DE 是⊙O 的切线． (2)设 CE＝1，AE＝x，由已知得 AB＝2 3，BE＝ 12－x2. 由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以 x2＝ 12－x2，即 x4＋x2－12＝0. 可得 x＝ 3， 所以∠ACB＝60°. 1．(2014·天津，6，中)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于点 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四 个结论：①BD 平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF. 则所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】　D　如图，对于①，∵BF 是圆的切线，∴∠CBF＝∠BAC，∠4＝∠1. 又∵AD 平分∠BAC，∴∠1＝∠2. 又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4， 即 BD 平分∠CBF，故①正确； 对于②，根据切割线定理有 FB2＝FD·FA，故②正确； 对于③，∵∠3＝∠2，∠BED＝∠AEC， ∴△BDE∽△ACE. ∴AE BE＝CE DE，即 AE·DE＝BE·CE，故③错误； 对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD＝∠AFB， ∴△BFD∽△AFB，∴BF AF＝BD AB， 即 AF·BD＝AB·BF，故④正确，故选 D. 2．(2014·湖南，12，易)如图，已知 AB，BC 是⊙O 的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝2 2，则⊙O 的半径等于________． 【解析】　如图，设 AO 与 BC 交于点 D，延长 AO 交⊙O 于点 E. 在 Rt△ABD 中，由题意知 AB＝ 3，BD＝1 2BC＝ 2， 故 AD＝1. 设⊙O 的半径为 r，由相交弦定理得， AD·DE＝BD·DC， 即 1×(2r－1)＝ 2× 2，∴r＝3 2. 【答案】　3 2 3．(2014·湖北，15，易)如图，P 为⊙O 外一点，过 P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为 A，B，过 PA 的中点 Q 作割线交⊙O 于 C，D 两点，若 QC＝1，CD＝3，则 PB＝________． 【解析】　由切割线定理得 QA2＝QC·QD＝4，∴QA＝2.由切线长定理得 PB＝PA，又 Q 是 PA 的中 点，∴PB＝PA＝2QA＝4. 【答案】　4 4．(2014·辽宁，22，10 分，中)如图，EP 交圆于 E，C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PG＝ PD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F. (1)求证：AB 为圆的直径； (2)若 AC＝BD，求证：AB＝ED. 证明：(1)因为 PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于 PD 为切线，故∠PDA＝∠DBA. 又由于∠PGD＝∠EGA， 故∠DBA＝∠EGA， 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 从而∠BDA＝∠PFA. 由于 AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故 AB 是直径． (2)连接 BC，DC. 由于 AB 是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°. 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中，AB＝BA，AC＝BD， 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB. 于是∠DAB＝∠CBA. 又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA， 故 DC∥AB. 由于 AB⊥EP，所以 DC⊥EP，∠DCE 为直角.． 于是 ED 为直径.．由(1)得 ED＝AB. 5．(2013·课标Ⅱ，22，10 分，中)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； (2)若 DB＝BE＝EA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解 ： (1) 证 明 ： 因 为 CD 为 △ABC 外 接 圆 的 切 线 ， 所 以 ∠DCB ＝ ∠A ， 由 题 设 知BC FA＝DC EA， 故 △CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为 B，E，F，C 四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA＝90°，因此 CA 是△ABC 外接圆的直径.． (2)连接 CE， 因为∠CBE＝90°，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE，由 DB＝BE，有 CE＝DC，又 BC2＝ DB·BA＝2DB2，所以 CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而 DC2＝DB·DA＝3DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为1 2. 6．(2013·课标Ⅰ，22，10 分，中)如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的 角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为 1，BC＝ 3，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径． 解：(1)证明：如图，连接 DE，交 BC 于点 G. 由弦切角定理得∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以 BE＝CE. 又因为 DB⊥BE，所以 DE 为圆的直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得 DB＝DC. (2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG＝ 3 2 . 设 DE 的中点为 O，连接 BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以 CF⊥BF，BC 为△BCF 外接圆的直径，故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 3 2 . 方法点拨：解答此类问题时要注意圆的切线的一些性质和弦切角定理的运用，有时也与正弦定理、 余弦定理相结合解三角形.． 考向 1　与圆有关的比例线段问题 定理 名称 基本图形 内容 条件 结论 应用 相交 弦定 理 圆内的两条 相交弦，被交 点分成的两 条线段长的 积相等 弦 AB，CD 相交于圆内 点 P (1)PA·PB＝ PC·PD； (2)△ACP∽ △BDP (1)在 PA，PB， PC，PD 四条线 段中知三求一； (2)求弦长及角 割线 定理 从圆外一点 引圆的两条 割线，这一点 到每条割线 与圆的交点 的两条线段 长的积相等 PAB，PCD 是 ⊙O 的割线 (1)PA·PB＝ PC·PD； (2)△PAD∽ △PCB (1)求线段 PA， PB，PC，PD 及 AB，CD； (2)应用三角形 相似求 AD，BC 切割 线定 理 从圆外一点 引圆的切线 和割线，切线 长是这点到 割线与圆交 点的两条线 段长的比例 中项 PA 切⊙O 于 点 A，PBC 是 ⊙O 的割线 (1)PA2＝ PB·PC； (2)△PAB∽ △PCA (1)对于线段 PA，PB，PC 的长可知二求 一； (2)求解 AB， AC (1)(2014·重庆，14)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点)，再作割线 PBC 依次交圆于 B，C.若 PA＝6，AC＝8，BC＝9，则 AB＝________． (2)(2014·课标Ⅱ，22，10 分)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交 于点 B，C，PC＝2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明： ①BE＝EC； ②AD·DE＝2PB2. 【解析】　(1)由切割线定理得 PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即 6 2＝PB·(PB＋9)，解得 PB＝3(负值 舍去).． 如图， 由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则AB CA＝AP CP，即AB 8 ＝ 6 3＋9 ， 解得 AB＝4. (2)证明：①连接 AB，AC， 由题设知 PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA， 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB， ∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，从而BE︵ ＝EC︵ ， 因此 BE＝EC. ②由切割线定理得 PA2＝PB·PC. 因为 PA＝PD＝DC， 所以 DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得 AD·DE＝BD·DC， 所以 AD·DE＝2PB2. 与圆有关的比例线段问题的解题方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形 中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条 相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线 定理． (1)(2013·北京，11)如图，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的切线，PB 与圆 O 相交于 D， 若 PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则 PD＝________；AB＝________. (2)(2013·湖南，11)如图，在半径为 7的⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，PA＝PB＝2，PD＝1，则 圆心 O 到弦 CD 的距离为________． 【解析】　(1)设 PD＝9t，DB＝16t(t＞0)，则 PB＝25t.根据切割线定理得 PA2＝PD·PB，即 32＝9t×25t， 解得 t＝1 5，所以 PD＝9 5，PB＝5. 在 Rt△PAB 中，由勾股定理得 AB＝4. (2)由相交弦定理可知， PA·PB＝PC·PD， 所以 PC＝4，故 CD＝5. 如图，取 CD 的中点 M，连接 OM，OC. 在 Rt△OMC 中，OM＝ OC2－CM2＝ 7－25 4 ＝ 3 2 ，由垂径定理可知 OM 即为圆心 O 到弦 CD 的距离， 其大小为 3 2 . 【答案】　(1) 9 5　4　(2) 3 2 考向 2　四点共圆问题 圆内接四边形的性质定理和判定定理 性质定理 圆内接四边形对角互补 四边形ABCD内接于 ⊙ O， 则∠A＋∠C＝π，∠B＋ ∠D＝π 判定定理 如果四边形的对角互补， 则此四边形内接于圆 在四边形ABCD中，∠A＋ ∠C＝π，则四边形ABCD内 接于圆 (2014·课标Ⅰ，22，10 分)如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB＝CE. (1)证明：∠D＝∠E； (2)设 AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB＝MC，证明：△ADE 为等边三角形． 【证明】　(1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知得∠CBE＝∠E，故∠D ＝∠E. (2)设 BC 的中点为 N，如图，连接 MN，则由 MB＝MC 知 MN⊥BC，故 O 在直线 MN 上.． 又 AD 不是⊙O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OM⊥AD， 即 MN⊥AD. 所以 AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE 为等边三角形.． 【点拨】　解题(1)的关键是运用四点共圆的性质，得∠D＝∠CBE；解题(2)的关键是运用 MB＝MC 来寻找思路． 证明四点共圆的方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆． (2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． (3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个 顶点共圆． (5)相交弦定理的逆定理．四边形 ABCD 的对角线交于点 P，若 PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共 圆． (6)割线定理的逆定理．四边形 ABCD 的一组对边 AB，DC 的延长线交于点 P，若 PA·PB＝PC·PD， 则它的四个顶点共圆． (2011·辽宁，22，10 分)如图，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长 线交于 E 点，且 EC＝ED. (1)证明：CD∥AB； (2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF＝EG，证明：A，B，G，F 四点共圆． 证明：(1)因为 EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因为 A，B，C，D 四点在同一圆上， 所以∠EDC＝∠EBA， 故∠ECD＝∠EBA.所以 CD∥AB. (2)由(1)知，AE＝BE.因为 EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC， 从而∠FED＝∠GEC. 如图，连接 AF，BG， 则△EFA≌△EGB， 故∠FAE＝∠GBE， 又 CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA. 所以∠AFG＋∠GBA＝180°， 故 A，B，G，F 四点共圆． 1．(2015·北京海淀模拟，5)已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以 BC 为直径的圆交 AB 于 D，则 BD 的长为(　　) A．4 B. 9 5 C. 12 5 D. 16 5 【答案】　D　在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 25－16＝3， ∵以 BC 为直径的圆交 AB 于 D， ∴AC 是圆的切线，∴AC2＝AD·AB， ∴AD＝AC2 AB ＝9 5， ∴BD＝AB－AD＝5－9 5＝16 5 .故选 D. 2．(2015·广东珠海二模，15)如图，AB 是圆 O 的直径，直线 CE 与圆 O 相切于点 C，AD⊥CE 于点 D，若圆 O 的面积为 4π，∠ABC＝30°，则 AD 的长为________． 【解析】　∵AB 是圆 O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵圆 O 的面积为 4π，∴OA＝2，AB＝4. ∵∠ABC＝30°，∴AC＝2， ∵直线 CE 与圆 O 相切于点 C， ∴∠ACD＝∠ABC＝30°， ∵AD⊥CE 于点 D， ∴AD＝AC·sin 30°＝2×1 2＝1. 【答案】　1 3．(2014·北京东城三模，12)如图，AB 是圆 O 的直径，CD⊥AB 于 D，且 AD＝2BD，E 为 AD 的中 点，连接 CE 并延长交圆 O 于 F.若 CD＝ 2，则 AB＝________，EF＝________． 【解析】　∵AB 为圆 O 的直径，∴AC⊥BC. ∵CD⊥AB 于 D， ∴由射影定理得 CD2＝AD·BD. ∵AD＝2BD，CD＝ 2， ∴( 2)2＝2BD·BD，解得 BD＝1， ∴AD＝2BD＝2， ∴AB＝AD＋BD＝2＋1＝3. 在 Rt△CDE 中，∵E 为 AD 的中点， ∴DE＝1 2AD＝1，CD＝ 2， ∴CE＝ CD2＋DE2＝ 3， 又由相交弦定理得 AE·EB＝CE·EF， 即 1×2＝ 3EF，∴EF＝2 3 3 . 【答案】　3　2 3 3 4．(2015·湖北武汉模拟，15)如图，圆 O 与圆 O′相交于 A，B 两点，AD 与 AC 分别是圆 O 与圆 O′ 的 A 点处的切线．若 BD＝2BC＝2，则 AB＝________． 【解析】　∵AC 是⊙O′的切线， ∴∠CAB＝∠D. ∵AD 是⊙O 的切线，∴∠DAB＝∠C， ∴△ACB∽△DAB，∴BC AB＝AB BD， ∴AB2＝BC·BD＝2，∴AB＝ 2. 【答案】　 2 5．(2014·河南郑州一模，22，10 分)如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为 B，ADE，CFD 和 CGE 都是⊙O 的割线，AC＝AB. (1)证明：AC2＝AD·AE； (2)证明：FG∥AC. 证明：(1)∵AB 是⊙O 的一条切线， ∴AB2＝AD·AE. 又∵AC＝AB， ∴AC2＝AD·AE. (2)∵AC2＝AD·AE，∴AC AD＝AE AC， 又∵∠DAC＝∠CAE， ∴△CAD∽△EAC，∴∠ACD＝∠AEC. 又∵四边形 DEGF 是⊙O 的内接四边形， ∴∠CFG＝∠AEC，∴∠ACD＝∠CFG. ∴FG∥AC. 6．(2015·辽宁大连三模，22，10 分)如图，⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P， E 为⊙O 上一点，AC︵ ＝AE︵ ，DE 交 AB 于点 F. (1)证明：DF·EF＝OF·FP； (2)当 AB＝2BP 时，证明：OF＝BF. 证明：(1)如图，连接 EO， ∵AC︵ ＝AE︵ ， ∴∠AOE＝∠CDE，∴∠EOF＝∠PDF， 又∠EFO＝∠PFD，∴△EFO∽△PFD， ∴OF DF＝EF PF， ∴DF·EF＝OF·FP. (2)设 BP＝a，由 AB＝2BP，得 AO＝BO＝BP＝a， 由相交弦定理得 DF·EF＝AF·BF， ∴AF·BF＝OF·FP， ∴(a＋OF)·BF＝OF·(a＋BF)， ∴OF＝BF. 思路点拨：(1)利用弧长相等，转化为角相等，通过三角形相似证明；(2)设 BP＝a，由 AB＝2BP，通 过相交弦定理以及数量关系转化证明． 7．(2015·河北石家庄模拟，22，10 分)如图，AB，CD 是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE 交 CD 于 E，交圆于 F，过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P，PC＝ED＝1，PA＝2. (1)求 AC 的长； (2)试比较 BE 与 EF 的长度关系． 解：(1)∵过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P， ∴PA2＝PC·PD， ∵PC＝1，PA＝2，∴PD＝4. 又 PC＝ED＝1，∴CE＝2， 如图，连接 BC. ∵∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB， ∴△PAC∽△CBA，∴PC AC＝AC AB， ∴AC2＝PC·AB＝PC·CE＝2， ∴AC＝ 2. (2)BE＝AC＝ 2， 由相交弦定理可得 CE·ED＝BE·EF. ∵CE＝2，ED＝1，∴EF＝ 2. ∴EF＝BE. 8．(2015·吉林长春质检，22，10 分)如图，圆 O 的直径为 BD，过圆上一点 A 作圆 O 的切线 AE，过 点 D 作 DE⊥AE 于点 E，延长 ED 与圆 O 交于点 C. (1)证明：DA 平分∠BDE； (2)若 AB＝4，AE＝2，求 CD 的长． 解：(1)证明：∵AE 是⊙O 的切线， ∴∠DAE＝∠ABD. ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°. 又∠ADE＋∠DAE＝90°， ∴∠ADB＝∠ADE，∴DA 平分∠BDE. (2)由(1)可得△ADE∽△BDA， ∴AE AD＝AB BD， ∴ 2 AD＝ 4 BD，即 BD＝2AD， ∴∠ABD＝30°，∴∠DAE＝30°. ∴ 由切割线定理可得 AE2＝DE·CE， ∴ 解得 CD＝4 3 3 . .3 3230tan =°= AEDE ，      +×= CD3 32 3 3222