内蒙古集宁一中2019-2020学年高一下学期月考数学试题

内蒙古集宁一中2019-2020学年高一下学期月考数学试题

集宁一中2019——2020学年第二学期第二次月考 高一年级数学试题 本试卷满分为150分，考试时间为120分钟 第一卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个项符合题意）‎ ‎1.已知扇形的面积为‎2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为(　　)‎ A. ‎2cm B. ‎4cm C. ‎6cm D. ‎‎8cm ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).‎ ‎2.已知角的终边过点，且，则的值为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B.‎ ‎3.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴−=3(−)；‎ ‎∴=−.‎ 故选A.‎ ‎4.已知tan（）＝7，且，则sinα＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用两角和的正切转化tan（）＝求得，再结合平方关系求解.‎ ‎【详解】因为tan（）＝‎ 所以，‎ 即，‎ 又因为且， ‎ 所以sinα＝.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查两角和的正切及同角三角函数基本关系式化简求值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎5.已知向量满足，且，则在方向上的投影为（ ）‎ A. 3 B. . C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以 ‎.‎ 考点：向量的相关概念及运算.‎ ‎6.的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式化简到角是锐角，再用正弦和差角公式求解.‎ ‎【详解】由已知得 ‎=‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.‎ ‎7.向量，，若，夹角为钝角，则的范围是（ ）‎ A. B. C. 且 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若，的夹角为钝角，则且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.‎ ‎【详解】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，‎ ‎，得.‎ 向量，共线时，，得.此时.‎ 所以且.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0‎ ‎，容易忽视反向共线时，属于易错题.‎ ‎8.已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知结合正弦函数的图像与性质可得结果．‎ ‎【详解】解：∵y＝sinx的值域为[，1]，‎ ‎∴2kπ≤x2kπ（k∈Z），‎ ‎∴（b﹣a）max＝（2kπ）﹣（2kπ）．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的性质，考查数形结合思想与转化思想，属基础题．‎ ‎9.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是( )‎ A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，‎ 故选D．‎ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ ‎10.若均为锐角，，，则 A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．‎ ‎【详解】∵α为锐角， s，∴α＞45°且 ， ∵，且 ， ‎ ‎∴ ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎11.如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为 A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．‎ ‎【详解】选取为基底，‎ 则，‎ 又，‎ 将以上两式比较系数可得．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题 ‎（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便；‎ ‎（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算；‎ ‎（3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性．‎ ‎12.已知函数，若方程在区间内的解为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，得，通过计算的范围，利用三角恒等变化可求的值，即可得出．‎ ‎【详解】即函数对称轴为 在区间内的解为 ‎.‎ 又因为，，所以，‎ 所以，所以，所以.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的性质以及三角恒等变换，属于中档题．‎ Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题(每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸上对应横线处)‎ ‎13.函数的定义域是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 由题意可得，函数满足，即，‎ ‎ 解得，‎ ‎ 即函数的定义域为.‎ ‎14.已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.‎ 详解：由题意可得，所以，因为，所以 点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；‎ ‎(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.‎ ‎15.设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数，，在上的图象，如图所示.‎ 观察图象可知，线段的长即为满足时对应的的值，再求出的值即得解.‎ ‎【详解】画出函数，，在上的图象，如图所示.‎ 观察图象可知，线段的长即为满足时对应的的值，‎ 所以，所以 因为，，，‎ 则，所以，故线段的长为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.关于下列命题：‎ ‎①若是第一象限角，且，则；‎ ‎②函数是偶函数；‎ ‎③函数的一个对称中心是；‎ ‎④函数在上是增函数，‎ 所有正确命题的序号是_____．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．‎ ‎【详解】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；‎ 对于②，函数y=sin=-cos πx，f(x)=-cos(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；‎ 对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，‎ 当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；‎ 对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．‎ 综上，命题②③正确．‎ ‎【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．‎ 三、解答题(共6个题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知 ‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用诱导公式化简求解即可；（2）由（1）可求出，然后利用同角三角函数基本关系式将化成只含有的表达式，代入即可求解．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）因为，所以，由于 将代入，得 ‎【点睛】本题主要考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，意在考查学生的数学建模能力和运算能力．‎ ‎18.已知平面直角坐标系中有三点、、，其中为坐标原点.‎ ‎（1）求与同向的单位向量的坐标；‎ ‎（2）若点是线段（包括端点）上的动点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由与同向的单位向量为，直接求解，即可 ‎（2）由题意可知线段的方程为，则设，从而，求解关于的二次函数的值域即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）平面直角坐标系中点、‎ 线段的方程为，即 设，. 则，‎ 则上式为关于的开口向上，对称轴为的二次函数.‎ 当时取得最小值 当时取得最小值 所以 ‎【点睛】本题考查单位向量以及向量的数量积，属于中档题.‎ ‎19.已知，，其中.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由，求解，注意角的范围，可求得值，再根据运用两角和正切公式，即可求解；‎ ‎（2）由题意，配凑组合角，运用两角差余弦公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换中的由弦求切、两角和正切公式、两角差余弦公式，考查配凑组合角，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知定义在上的函数（其中，，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且图象上一个最低点的坐标为.‎ ‎（1）求函数的解析式，并求其单调递增区间；‎ ‎（2）若时，的最大值为4，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；单调递增区间是（2）当时，；当时，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，确定参数，再根据最低点坐标可确定和，即可求解函数解析式，‎ ‎（2）根据题意写出解析式，由确定，再讨论的正负情况，列出最大值，求解参数.‎ ‎【详解】解：（1）由题意，相邻两条对称轴之间的距离为，则，，‎ 又一个最低点坐标为，，‎ ‎，则，又，‎ 故函数解析式为.‎ 由，，得，，，‎ ‎∴函数的单调递增区间是.‎ ‎（2），‎ 由已知；.‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ ‎【点睛】本题考查（1）利用函数性质求三角函数解析式（2）型函数值域问题，考查分类讨论思想，属于中等题型 ‎21.已知两个不共线的向量满足，，.‎ ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）当时，若存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）已知与垂直，所以以，变形得，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为，，代入上式可得，求得.求向量的模，应先求向量的平方．所以 ，故 . （2）由条件，得，整理得，即，用向量坐标表示数量积得，用辅助角公式得. 由得，又要有两解，结合正弦函数图象可得， ，所以，即，解一元二次不等式，又因为，所以.‎ 试题解析：解：（1）由条件知，，又与垂直，‎ 所以，所以.‎ 所以 ，故 .‎ ‎（2）由，得，‎ 即，‎ 即，，‎ 所以.‎ 由得，又要有两解，结合三角函数图象可得，‎ ‎，即，又因为，所以.‎ ‎22.如图是函数的部分图象.‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象.若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图象的最高点的纵坐标可求，结合周期可求，利用过点的坐标可求；‎ ‎（2）先根据图象变换求出的解析式，结合的图象及解的情况可得正数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由图可知：，，即；‎ ‎∴，∴；‎ 又由图可知：是五点作图法中的第三个点.‎ ‎∴，即，∴.‎ ‎（2）先把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，得到函数解析式为；‎ 向右平移个单位后得到的函数解析式为；‎ 纵坐标伸长为原来的两倍后得到的函数解析式为；‎ 最后向上平移一个单位得到函数解析式为，‎ 函数的图象如图所示：‎ 则当图象伸长为原来的5倍以上时符合题意.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用图象求解函数解析式及利用解得情况求解参数范围，图象变换时注意变换后解析式的求解方法，侧重考查数学抽象的核心素养.‎