【数学】2020届一轮复习北师大版空间中的平行与垂直作业

【数学】2020届一轮复习北师大版空间中的平行与垂直作业

一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．(2018·潍坊模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则 A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 解析　若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B、C.故选D.‎ 答案　D ‎2．(2018·乌鲁木齐二模)关于直线a，b及平面α，β，下列命题中正确的是 A．若a∥α，α∩β＝b，则a∥b B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β C．若a⊥α，a∥β，则α⊥β D．若a∥α，b⊥a，则b⊥α 解析　A是错误的，因为a不一定在平面β内，所以a，b有可能是异面直线；B是错误的，若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故B错误；C是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确；D是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．‎ 答案　C ‎3．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析　‎ 如图，连接BE，因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.‎ 又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝＝.故选C.‎ 答案　C ‎4．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是 A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC 解析　A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.‎ 答案　B ‎5．(2018·石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊂α，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中真命题的个数是 A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3‎ 解析　①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．‎ 答案　B ‎6．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 解析　‎ 记该正方体为ABCD－A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′－AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等．分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.‎ 答案　A 二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)‎ ‎7．(2018·全国卷Ⅲ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．‎ 解析　由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得l2＝8，得l＝4.‎ 在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2.故该圆锥的体积V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π.‎ 答案　8π ‎8．(2018·烟台模拟)‎ 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，请你补充一个条件________，使平面MBD⊥平面PCD.①DM⊥PC；②DM⊥BM；③BM⊥PC；④PM＝MC(填写你认为是正确的条件对应的序号)．‎ 解析　因为在四棱锥A－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，所以BD⊥PA，BD⊥AC，‎ 因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.‎ 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.‎ 而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.‎ 答案　①(或③)‎ 三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎9．(2018·唐山期末)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M是AB的中点．‎ ‎(1)求证：平面A1CM⊥平面ABB1A1；‎ ‎(2)求点M到平面A1CB1的距离．‎ 解析　(1)证明　由A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，得A1A⊥CM.由AC＝CB，M是AB的中点，得AB⊥CM.‎ 又A1A∩AB＝A，则CM⊥平面ABB1A1，‎ 又CM⊂平面A1CM，所以平面A1CM⊥平面ABB1A1.‎ ‎(2)设点M到平面A1CB1的距离为h.连接MB1.‎ 由题意可知A1C＝CB1＝A1B1＝2MC＝2，A1M＝B1M＝，‎ 则S△A1CB1＝2，S△A1MB1＝2.‎ 由(1)可知CM⊥平面ABB1A1，则CM是三棱锥C－A1MB1的高，‎ 由VC－A1MB1＝MC·S△A1MB1＝VM－A1CB1＝h·S△A1CB1，得h＝＝，‎ 即点M到平面A1CB1的距离为.‎ ‎10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.‎ ‎(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．‎ 解析　(1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.‎ 又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.‎ 又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.‎ 又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.‎ 作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊DC.‎ 由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.‎ 因此，三棱锥Q－ABP的体积为 VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin 45°＝1.‎ ‎11．(2018·兰州模拟)‎ 如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.‎ ‎(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；‎ ‎(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由．‎ 解析　‎ ‎(1)证明　连接BD交AC于点O，则BD⊥AC.‎ 设AB，AD的中点分别为M，N，‎ 连接MN，则MN∥BD.‎ 连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，‎ 所以四边形FMNG为平行四边形，‎ 所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.‎ 因为AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD.‎ 所以FG⊥AE，又AC∩AE＝A，‎ 所以FG⊥平面ACE，又FG⊂平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.‎ ‎(2)设平面ACE交FG于点Q，则Q为FG的中点，连接EQ，CQ，连接BD交AC于点O，取CO的中点为H，连接EH，则CH∥EQ，CH＝EQ＝，所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，所以EH∥平面CFG.所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，且CH＝.‎