河南省鹤壁市高级中学2019-2020学年高一下学期周考数学试题（5月10日）

河南省鹤壁市高级中学2019-2020学年高一下学期周考数学试题（5月10日）

高一数学周练试卷 5.10 一．选择题（共 12 小题，每题 5 分共 60 分） 1．在直角坐标系内，角﹣2019°的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列四个数中数值最小的是（　　） A．1111（2） B．16 C．23（7） D．102（3） 3．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于 15 分钟的概率是（　　） A． B． C． D． 4．秦九韶算法是中国古代求多项式 的值的优秀算 法，若 ，当 时，用秦九韶算法求 v2＝（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 5．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇 形制作而成，设扇形的面积为 S1，圆面中剩余部分的面积为 S2，当 S1 与 S2 的比 值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为 （　　） A． B． C． D． 6．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到 5 组数 据： 根据收集到的数据可知 ， 由最小二乘法求得回归直线方程为 ，则 的值为（　　） A．68.2 B．341 C．355 D．366.2 7．已知角α的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝3x 上，则 ＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 8．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 m，n，记 t＝m+n，则下列说法正确的 是（　　） A．事件“t＝12”的概率为 B．事件“t 是奇数”与“m＝n”互为对立事件 C．事件“t＝2”与“t≠3”互为互斥事件 D．事件“t＞8 且 mn＜32”的概率为 9．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居 1 2 1 2 1 0( ) n n n nf x a x a x a x a x a− −= + + + + 5 4 3( ) 5 10 +5 1f x x x x x= + + + 2x = − 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5, ), , ), , ), , ), , ),x y x y x y x y x y（ （ （ （ （ 1 2 3 4 5+ + + + =100x x x x x 0.67 54.8y x= + 1 2 3 4 5+y +y +y +yy cos sin cos sin α α α α + − 民给活动打分（分数为整数，满分 100 分），从中随机抽取一个容量为 120 的样本，发现所 给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下 6 组并画出样本的频率分布直方图，但不 小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是（　　） A．第三组的频数为 18 人 B．根据频率分布直方图估计众数为 75 分 C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为 75 分 D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为 75 分 10．已知函数 ，要得到函数 g（x）＝cos2x 的图象，只需将 y＝f（x）的 图象（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 11．已知函数 的部分图象如图所示，则下 列判断正确的是（　　） A．函数的图象关于点 对称 B．函数的图象关于直线 对称 C．函数 f（2x）的最小正周期为π D．当 时，函数 f（x）的图象与直线 y＝2 围成的封闭图形面积为 2π 12．已知ω＞0，|φ| ，在函数 f（x）＝sin（ωx+φ），g（x）＝cos（ωx+φ）的图 象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ，当 x∈（﹣ ， ）时，函数 f（x）的图象恒在 x 轴的上方，则φ的取值范围是（　　） A．（ ， ） B．[ ， ] C．（ ） D．[ ] 二．填空题（共 4 小题每题 5 分共 20 分） 13．已知某校高一、高二、高三年级分别有 1000、800、600 名学生，现计划用分层抽样方法 在各年级共抽取 120 名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取　 　名学生． 14．在一个袋子中装有分别标注 1、2、3、4、5 的 5 个小球，这些小球除标注的数字外完全 相同，现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的概率 是　 　 15．已知函数 f（x）＝2sinωx（ω＞0）在 x∈[a，2]（a＜0）上的最大值为 1 且单调递增， 则 2﹣a 的最大值为　 　． 5( ) sin(2 )12f x x π= + 24 π 5 24 π 5 24 π ,03 π（- ） 6x π= − 7 6 6x π π≤ ≤ 16．存在实数ϕ，使得圆面 x2+y2≤5 恰好覆盖函数 图象的最高点或最低点共 三个，则正数 k 的取值范围是　 　． 三．解答题（共 70 分） 17．（10 分）某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一次月考的语文作文分数进行统计， 发现分数都位于 20～55 之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35）， [35，40），[40，45），[45，50），[50，55]共七组．其频率分布直方图如图所示，已知m ＝2n． （1）求频率分布直方图中 m，n 的值： （2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位 数． 18．（12 分）已知集合 M＝{（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}． （1）若（x，y）∈M，且 x，y 为整数，求 x+y≥0 的概率； （2）若（x，y）∈M，求 x+y≥0 的概率． 19．（12 分）已知 sinθ、cosθ是关于 x 的方程 的两个根． （1）求实数 的值； （2）若θ∈（﹣ ，0），求 sinθ﹣cosθ的值． 20．（12 分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行 硏究，他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸 泡后的发芽数，得到如下资料： （1）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n，求事件“m，n 均 不小于 27”的概率． （2）若选取的是 3 月 1 日与 3 月 5 日的两组数据，请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据，求 出 y 关于 x 的线性回归方程 ． （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为 得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？ （附：对于一组数据 其回归直线 分斜率和截距的最 日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 温差 x（℃） 8 11 13 12 10 发芽数 y（颗） 22 27 31 35 26 2 2 2 0x ax a− + = a 1 1 2 2, ) , , ), , , ),n nx y x y x y （ （ （ y bx a= +  小二乘法估计分别为： ） 21．（12 分）如图，某公园摩天轮的半径为 40m，点 O 距地面的高度为 50m，摩天轮做匀速转 动，每 3min 转一圈，摩天轮上的点 P 的起始位置在最低点处． （Ⅰ）已知在时刻 t（min）时点 P 距离地面的高度 f（t）＝Asin（ωt+φ）+h，求 2018min 时点 P 距离地面的高度； （Ⅱ）当离地面 50+20 m 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看 到公园全貌？ 22．（12 分）已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中 A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ） 的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最高点为 M（ ， 3）． （1）求 f（x）的解析式和单调减区间； （2） 若总存在 ，使得不等式 f（x0）+2≤log 3m 成立，求实数 m 的最小 值． 高一数学周练试卷参考答案与试题解析 1 2 1 ( )( ) , . ( ) n i i i n i i x x y y b a y bx x x = = − − = = − − ∑ ∑    0 ,6 3x π π ∈ −   1． B 解：设与﹣2019°角的终边相同的角是α，则α＝﹣2019°+k•360°，k∈Z， 当 k＝6 时，α＝141°．可得角﹣2019°的终边在第二象限． 2． D 解：对于 A，1111（2）＝1×1+1×2+1×4+1×8＝15， 对于 C，23（7）＝2×7+3×1＝17； 对于 D，102（3）＝1×32+2×1＝11， ∴四个数中数值最小的是 11，即 102（3）． 3． C 解：由题意知这是一个几何概型，∵电台整点报时， ∴事件总数包含的时间长度是 60， ∵满足他等待的时间不多于 15 分钟的事件包含的时间长度是 15， 由几何概型公式得到 P＝ ； 4． C 解：由秦九韶算法可得：f（x）＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1＝（（（（x+5）x+10） x+10）x+5）x+1，当 x＝﹣2 时，则 v0＝1，v1＝﹣2+5＝3，v2＝3×（﹣2）+10＝4． 5． A 解：由题意知，S1 与 S2 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设 S1 与 S2 所在扇形圆心角分别为α，β，则 ， 又α+β＝2π，解得 ． 6． B 解：依题意可得： ＝ ＝20，又样本中心点（ ， ）在回归直线 y＝ 0.67x+54.8 上可得 ＝0.67×20+54.8＝68.2， 故 y1+y2+y3+y4+y5＝5× ＝5×68.2＝341， 7． A 解：由已知可得，tanα＝3， 则 ＝ ＝ ＝﹣2． 8． D 解：连掷一枚均匀的骰子两次， 所得向上的点数分别为 a，b，记 t＝a+b，则 事件“t＝12”的概率为 ，故 A 错误； 事件“t 是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件，故 B 错误； 事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故 C 错误； 事件“t＞8 且 mn＜32”共有 9 个基本事件， 故事件“t＞8 且 mn＜32”的概率为 ，故 D 正确； 9． C 解：对于 A，因为各组的频率之和等于 1，所以分数在[60，70）内的频率为：f＝1 ﹣10（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）＝0.15， 所以第三组[60，70）的频数为 120×0.15＝18（人），故正确； 对于 B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估 计值为 75 分，故正确； 对于 C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45×（10×0.005）+55×（10 ×0.015）+65×（10×0.015）+75×（10×0.03）+85×（10×0.025）+95×（10×0.01） ＝73.5（分），故错误； 对于 D，因为（0.05+0.15+0.15）×10＝0.35＜0.5，（0.05+0.15+0.15+0.3）×10＞0.5， 所以中位数位于[70，80）上，所以中位数的估计值为：70+ ＝75，故正确； 10． A 解 ： 由 于 将 y ＝ f （ x ） 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 得 到 ， 11． D 解：函数 的部分图象，可得 A ＝2， • ＝ ﹣ ，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得 2• +φ＝ ，∴φ＝ ，f（x）＝2sin（2x+ ）． 令 x＝﹣ ，求得 f（x）＝﹣2，为函数的最小值，故 A 错误； 令 x＝﹣ ，求得 f（x）＝﹣1，不是函数的最值，故 B 错误； 函数 f（2x）＝2sin（4x+ ）的最小正周期为 ＝ ，故 C 错误； 当 时， ≤2x+ ≤ ，函数 f（x）的图象与直线 y＝2 围成的封闭图 形为 x＝ 、x＝ 、y＝2、y＝﹣2 构成的矩形的面积的一半， 矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数 f（x）的图象与直线 y＝2 围成的封闭图形面积为 2π， 12． D 解：由 f（x）＝g（x），得 sin（ωx+φ）＝cos（ωx+φ）， 即 tan（ωx+φ）＝1，， ∵相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ， ∴T＝ ＝ ，即ω＝2，则 f（x）＝sin（2x+φ）， 24 π 5( ) sin(2 )=sin(2 )=cos224 24 12 2f x x x x π π π π+ = + + +（ ） 当 x∈（﹣ ， ）时， . 又函数 f（x）的图象恒在 x 轴的上方，即此时 f（x）＞0，恒成立， 得 ≤φ≤ ，则φ的取值范围是[ ， ]， 13． 解：高一年级学生所占的比例为 ＝ ， ∴高一年级需抽取 120× ＝50 人， 故答案为：50． 14． 解：现从 5 个小球中随机取出 2 个小球，基本事件总数为： ＝10， 则取出的小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的包括以下四个基本事件：（1，3），（2， 4），（3，5），（1，5）（数字没有先后顺序）． ∴取出的小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的概率 P＝ ＝ ． 故答案为： ． 15． 解：根据题意，函数 f（x）＝2sinωx（ω＞0）在 x∈[a，2]（a＜0）上的最大值 为 1 且单调递增， 则 f（2）＝2sin2ω＝1，且 ， 则有 ，即 ， 故 amin＝﹣6，则（2﹣a）max＝8， 故答案为：8． 16． 解 ： 函 数 图 象 的 最 高 点 或 最 低 点 一 定 在 直 线 y ＝ ± 1 上 ， ，解得：﹣2≤x≤2， 由题意可得：T＝ ＝2k，T≤4＜2T， 解得正数 k 的取值范围是：（1，2]． 故答案为：（1，2]． 17.解：（1）由频率分布直方图得： ， πϕπϕϕπ <+<+<+− 223 x ∴ 03 ≥+− ϕπ 解得 m＝0.04，n＝0.02． （2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为： （22.5×0.01+27.5×0.03+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.03+47.5×0.02+52.5×0.01） ×5＝36.25． ∵（0.01+0.03+0.06）×5＝0.5， ∴该班级这次月考语文作文分数的中位数为 35． 18 解：（1）满足（x，y）∈M，且 x，y 为整数的基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0， 1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共 9 个， 满足 x+y≥0 的基本事件有：（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1）， （2，0），（2，1）共 8 个， 由古典概型可知：x+y≥0 的概率为： ； （2）设事件 A 为：（x，y）∈M，x+y≥0 由几何概型中的面积型，结合图象可知： P（A）＝ ＝1﹣ ＝ ＝ ． 19． 解：（1）∵sinθ、cosθ是方程 x2﹣2 ax+a＝0 的两个实根， ∴sinθ+cosθ＝2 ①，sinθcosθ＝a②，△＝b2﹣4ac＝8a2﹣4a≥0，即 a≤0 或 a≥ ， ∴（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ＝1+2a＝8a2，即 8a2﹣2a﹣1＝0， 解得：a＝﹣ ，或 ． （2）∵θ∈（﹣ ，0）， ∴sinθ＜0，cosθ＞0，可得：sinθcosθ＝a＜0，由（1）可得：a＝﹣ ， ∴sinθ+cosθ＝﹣ ，sinθcosθ＝﹣ ， ∴sinθ﹣cosθ＝﹣ ＝﹣ ． 20.解：（1）m，n 的所有取值情况有：（22，27），（22，31），（22，35），（22，26）， （27，31），（27，35），（27，26），（31，35），（31，26），（35，26），即基本事件总数为 10． 设“m，n 均不小于 27”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为（27，31），（27，35）， （31，35）． ∴P（A）＝0.3，故事件 A 的概率为 0.3； （2）由数据，求得 ＝ （11+13+12）＝12， （27+31+35）＝31， ＝ ＝ ， ． ∴y 关于 x 的线性回归方程为 y＝2x+7． （3）当 x＝8 时，y＝2×8+7＝23，|22﹣23|＜2； 同样，当 x＝10 时，y＝2×10+7＝27，|26﹣27|＜2． ∴（2）中所得的线性回归方程是可靠的． 21.解：（Ⅰ）依题意，A＝40，h＝50，T＝3， ∴ω＝ ＝ ；又 f（0）＝10，∴φ＝﹣ ； ∴f（t）＝40sin（ t﹣ ）+50（t≥0）； ∴f（2018）＝40sin（ ×2018﹣ ）+50＝40sin +50＝70， 即第 2018min 时点 P 所在位置的高度为 70m； （Ⅱ）由（1）知，f（t）＝40sin（ t﹣ ）+50＝50﹣40cos（ t）（t≥0）； 依题意：f（t）＞50+20 ，∴﹣40cos（ t）＞20 ，∴cos（ t）＜﹣ ， 解得 2kπ+ ＜ t＜2kπ+ ，k∈N，即 3k+ ＜t＜3k+ ，k∈N； ∵（3k+ ）﹣（3k+ ）＝ ， ∴转一圈中有 0.5min 时间可以看到公园全貌． 22. 解：（1）∵ T＝ ，∴T＝ ＝π，解得ω＝2； 又函数 f（x）＝Asin（2x+φ）图象上一个最高点为 M（ ，3）， ∴A＝3，2× +φ＝2kπ+ （k∈Z）， ∴φ＝2kπ+ （k∈Z），又 0＜φ＜ ，∴φ＝ ，∴f（x）＝3sin（2x+ ）； 即函数 f（x）的单调减区间为 （2 ) ∵ 依题意知，log3m≥ ，∴m≥ ，即实数 m 的最小值为 ．明：著所 3 22 2 22 6 2 6 3k x k k x k π π π π ππ π π π+ ≤ + ≤ + ∴ + ≤ ≤ + 2 6 3k k k Z π ππ π + + ∈  ， ， 0 0 526 3 6 6 6x x π π π π π− ≤ ≤ ∴− ≤ + ≤ 0 1 3 1sin(2 ) 1 ( ) 3 ( )+22 6 2 2x f x f x π∴− ≤ + ≤ ∴− ≤ ≤ ∴ ≥， 2 1 3 3