上海市松江二中2013届高三下学期2月开学考数学（理）试题

上海市松江二中2013届高三下学期2月开学考数学（理）试题

松江二中高三数学3月考试卷 ‎2013-3‎ 一．填空题（每题4分，共56分）‎ ‎1、对于集合、，定义运算，若，‎ ‎，则______________。‎ ‎2、若复数满足，（其中为虚数单位），则__________。‎ ‎3、关于的不等式（）的解集为_____________。‎ ‎4、若函数是函数的反函数，则___________。2‎ ‎5、已知向量与的夹角为,,,若与垂直，则实数_________.1‎ ‎6、已知数列为无穷等比数列，且满足，，则数列所有项的和为_________。‎ ‎7、若为锐角，且，则____________。‎ ‎8、二项式展开式中的常数项为________。‎ ‎9、过双曲线的左焦点的弦两点都在左支上，为右焦点，且的周长为30，则 。9‎ ‎10、若关于的方程组有唯一的一组实数解,则实数的值为______.‎ ‎11、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数比个位数大的概率是____________。‎ ‎12、（理）设是定义在上且周期为的函数，在区间上，，其中，若，则的值为___。‎ ‎13、对任意，函数满足，设，数列的前项的和为，则 ．‎ ‎14、（理）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：‎ ‎① 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；‎ ‎② 到两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线；‎ ‎③ 到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线；‎ ‎④ 到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形．‎ 其中正确的命题是____________（写出所有正确命题的序号）①②③④‎ 二、选择题：（每题5分，共20分）‎ ‎15、函数的零点个数为 （ C ）‎ ‎ A） B） C） D）‎ ‎16、设、都是非零向量，则下列四个条件：①；②；③；④。‎ ‎ 则其中可作为使成立的充分条件的有 （ B ）‎ ‎ A）个 B）个 C）个 D）个 ‎17、已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线 的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于（ A ）‎ ‎ A．　　 B． C．　 　 D．‎ ‎18、已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：‎ ‎① ； ② ； ③ ．‎ 其中，型曲线的个数是 ( C )．‎ ‎ . . . . ‎ 三、解答题：（12+14+14+16+18=74分）‎ ‎19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）‎ 已知为等差数列，且，。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记的前项和为，若、、成等比数列，求正整数的值。‎ 解：（1）由，可得：即----------------------‎‎2’‎ ‎ 代入，可得：------------------------------------------------------‎‎-4’‎ ‎ ---------------------------------------------------------------‎‎-6’‎ ‎（2）-----------------------------------------------------------------‎‎8’‎ ‎ -------------------------------------------‎‎-10’‎ ‎ 化简可得：解得（舍去）---------------------------‎‎-12’‎ ‎20、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）‎ 第20题图 如图，为一个等腰三角形形状的空地，腰的长为(百米)，底的长为(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为和.‎ ‎(1) 若小路一端为的中点，求此时小路的长度；‎ ‎(2) 求的最小值。‎ 解：(1) ∵ E为AC中点，∴ AE＝CE＝.‎ ‎∵ ＋3＜＋4，∴ F不在BC上．----------------------------------------2分 若F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴ AE＋AF＝5.‎ ‎∴ AF＝＜4.‎ 在△ABC中，cosA＝.------------------------------------------------------4分 在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，‎ ‎∴ EF＝ 即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．--------------6分 ‎(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，‎ 则x＋y＝5，‎ ＝＝－1‎ ‎＝－1‎ ‎＝－1≥ ＝ (当x＝y＝时取等号)；--------------------------9分 若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，‎ 设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5，‎ ＝＝－1＝－1≥＝ (当x＝y＝时取等号) ----12分 答：最小值是.-----------------------------------------------------------14分 ‎21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）‎ 已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于、两点，‎ 若点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围。‎ 解：（1）与轴、轴交点为和-----‎‎2’‎ ‎ ，，-----------------------------------------‎‎-4’‎ ‎ 椭圆方程为：-----------------------------------------------------------‎‎-6’‎ ‎（2）设直线的方程为：（）‎ ‎ 可得：-----------------------------‎‎-8’‎ ‎ 可得：即---‎‎-9’‎ ‎ 设，，则，---------------‎‎-10’‎ ‎ ‎ ‎ ---------------------------‎‎-12’‎ ‎ 化简得：可得：，取值范围为--‎‎-14’‎ ‎22、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）‎ 定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）。记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为。‎ ‎（1）已知，求证：；‎ ‎（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；‎ ‎（3）已知点满足条件：且，向量的“相伴函数” 在处取得最大值。当点运动时，求的取值范围。‎ 解：（1）‎ ‎---------------------------------------‎‎-2’‎ ‎ 函数的相伴向量，---------‎‎-4’‎ ‎（2）--------------------------------‎‎6’‎ ‎ ，‎ 的取值范围为--------------------------------------------------------------‎‎-10’‎ ‎（3）的相伴函数，‎ 其中--------------------------------------------‎‎11’‎ 当即时取得最大值--‎‎12’‎ ‎-------------------------------------------‎‎-13’‎ ‎----------------------------------------‎‎-14’‎ 为直线的斜率，由几何意义知-------------------------------‎‎-15’‎ 令，则 当时，‎ ‎----------------------------------------------------------------------‎‎-16’‎ ‎23、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）‎ ‎ (理)已知是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且.‎ ‎（1）求+的值及+的值；‎ ‎（2）已知，当时，，设，为数列的前项和，若存在正整数，使得不等式成立，求和的值.‎ ‎（3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和．‎ ‎（理）解：（1）∵点在直线上，设.又，即，，∴ --- --- --- --- ---(1分)‎ ‎①当时，=， ；------------------（2分）‎ ‎②当时，， +=‎ ‎==；---------------------------------------------（3分）‎ 综合①②得，+. ------------------------------------------------------------------（4分）‎ ‎（2）由（1）知，当时, .‎ ‎∴，，---------------------------------------（5分）‎ ‎∴时，+++ ，① ，②‎ ‎①＋②得，,则.---------------------------------------------（6分）‎ 又时，满足上式， ∴.------------------------------------------（7分）‎ ‎，=.‎ ‎.---------------（8分）‎ ‎，，‎ ‎∴，为正整数，∴，------------------------（9分）‎ 当时，，∴，∴.---------------------------------（10分）‎ ‎（3），.‎ 将所得的积排成如下矩阵：‎ ‎，设矩阵的各项和为.‎ 在矩阵的左下方补上相应的数可得 ‎-------------------------------------------------------------（12分）‎ 矩阵中第一行的各数和，‎ 矩阵中第二行的各数和，‎ ‎………‎ 矩阵中第行的各数和，---------------（14分）‎ 从而矩阵中的所有数之和为.---------------------------（16分）‎ 所以------------------（18分）‎