【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：8-6-2　直线与平面垂直

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：8-6-2　直线与平面垂直

‎8.6.2　直线与平面垂直 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 解析取BD的中点O,连接AO,CO,‎ 则BD⊥AO,BD⊥CO,‎ 故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.‎ 又BD,AC异面,‎ 故选C.‎ 答案C ‎2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是(　　)‎ A.相交 B.异面 ‎ C.平行 D.不确定 解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.‎ 答案C ‎3.(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是(　　)‎ 解析对于A,由AB与CE所成角为45°,‎ 可得直线AB与平面CDE不垂直;‎ 对于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,CE∩ED=E,‎ 可得AB⊥平面CDE;‎ 对于C,由AB与CE所成角为60°,‎ 可得直线AB与平面CDE不垂直;‎ 对于D,连接AC,由ED⊥平面ABC,‎ 可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,‎ 又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE.‎ 答案BD ‎4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 解析如图,连接AC.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,‎ ‎∴∠PCA就是PC与平面ABCD 所成的角.‎ ‎∵AC=,PA=,‎ ‎∴tan∠PCA=.∴∠PCA=60°.‎ 答案C ‎5.‎ 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是　　　　　.(填“平行”或“垂直”) ‎ 解析∵底面ABCD为正方形,‎ ‎∴AC⊥BO.‎ ‎∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,‎ ‎∴AC⊥BB1.‎ 又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.‎ ‎∵EF是△ABC的中位线,‎ ‎∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.‎ 答案垂直 ‎6.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为　　　　　. ‎ 解析如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.‎ ‎∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.‎ ‎∵AA'⊥底面ABC,‎ ‎∴A'A⊥C'D.‎ 又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',‎ 故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.‎ 等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=,‎ 在Rt△BB'C'中,BC'=,故直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.‎ 答案 ‎7.‎ 在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件　　　　　时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可) ‎ 解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.‎ 答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)‎ ‎8.‎ 如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于2 cm,则PC与平面ABC所成角的大小为　　　　　. ‎ 解析过P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为θ,‎ 连接OF,易知△CFO为直角三角形.‎ 又PC=4,PF=2,∴CF=2,‎ ‎∴CO=2,在Rt△PCO中,cos θ=,‎ ‎∴θ=45°.‎ 答案45°‎ ‎9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.‎ 证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,‎ 所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.‎ 又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.‎ 又因为BP==2=BC,‎ F是PC的中点,所以BF⊥PC.‎ 又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.‎ 因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.‎ ‎10.‎ 如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.‎ ‎(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;‎ ‎(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,‎ ‎∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,‎ ‎∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,‎ ‎∴AD⊥平面BCC1B1.‎ ‎(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,‎ 则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.‎ 在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D=,‎ 即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.‎ 能力提升练 ‎1.‎ ‎(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是(　　)‎ A.BD∥平面CB1D1‎ B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1‎ D.异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ 解析由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;‎ 因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,‎ 所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;‎ 可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,‎ 所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;‎ 由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.‎ 答案ABC ‎2.(多选题)(2020江苏高二期末)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是(　　)‎ A.EF与AD所成角的正切值为 B.EF与AD所成角的正切值为 C.AB与面ACD所成角的余弦值为 D.AB与面ACD所成角的余弦值为 解析设AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.‎ 因为AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.‎ 所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.‎ 在三角形EFG中,EG=1,FG=,由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,‎ 又因为AH,HD⊂平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.‎ 因为AD⊂平面ADH,‎ 所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,‎ 所以tan∠EFG=,‎ 所以A错误,B正确.‎ 过点B作BO垂直AF,垂足为O.‎ 因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF⊂平面ABF,‎ 所以CD⊥平面ABF.‎ 因为BO⊂平面ABF,所以CD⊥BO.‎ 因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD⊂平面ACD,所以BO⊥平面ACD.‎ 所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.‎ 由题得BF=,AF=2,AB=3,‎ 所以cos∠BAO=,‎ 所以C正确,D错误.‎ 答案BC ‎3.(2020全国高一课时练习)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:‎ ‎①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;④AD1与BD为异面直线.‎ 其中正确结论的序号是　　　　　. ‎ 解析①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误;‎ ‎②连接BC1,A1C1,图略.易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确;‎ ‎③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=,故③正确;‎ ‎④AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确.‎ 答案②③④‎ ‎4.‎ 已知四棱锥P-ABCD,PA⊥PB,PA=PB=,AD⊥平面PAB,BC∥AD,BC=3AD,直线CD与平面PAB所成角的大小为,M是线段AB的中点.‎ ‎(1)求证:CD⊥平面PDM;‎ ‎(2)求点M到平面PCD的距离.‎ ‎(1)证明∵AD⊥平面PAB,PM⊂平面PAB,‎ ‎∴AD⊥PM.‎ ‎∵PA=PB=,M是线段AB的中点,‎ ‎∴PM⊥AB,‎ 又AD∩AB=A,AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,‎ ‎∴PM⊥平面ABCD,‎ 又CD⊂平面ABCD,∴PM⊥CD.‎ 取CB上点E,使得CE=CB,连接AE,‎ ‎∴AD∥CE且AD=CE,‎ ‎∴四边形AECD为平行四边形,‎ ‎∴CD∥AE,‎ ‎∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小,‎ 又AD⊥平面PAB,BC∥AD,‎ ‎∴BC⊥平面PAB,∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角,∴∠EAB=,∴BE=AB.‎ ‎∵PA=PB=,PA⊥PB,∴AB=2=BE,‎ ‎∴AD=1,BC=3,CD=2,‎ ‎∴DM=,CM=,‎ ‎∴DM2+DC2=CM2,∴CD⊥DM.∵DM∩PM=M,DM,PM⊂平面PDM,∴CD⊥平面PDM.‎ ‎(2)解由(1)可知CD⊥平面PDM,‎ ‎∴△CDM和△CDP均为直角三角形,‎ 又PD=,设点M到平面PCD的距离为d,‎ 则VP-CDM=VM-PCD,即CD·DM·PM=CD·DP·d,化简得DM·PM=DP·d,解得d=,‎ ‎∴点M到平面PCD的距离为.‎ 素养培优练 ‎1.(2020江西南城一中高三期末)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是　　　　. ‎ ‎①FM与BC1所成角为45°;‎ ‎②BM⊥平面CC1F;‎ ‎③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;‎ ‎④三棱锥B-CFE的体积为定值.‎ 解析连接A1B,BC1,图略.‎ 对于①,∵F,M分别为AD,CD的中点,‎ ‎∴FM∥AC,‎ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1,∴异面直线FM与BC1所成的角为∠A1C1B,‎ 在△A1C1B中,A1C1=A1B=BC1,所以△A1C1B为等边三角形,则∠A1C1B=60°,故①错误;‎ 对于②,∵BC=CD,CM=DF,∠BCM=∠CDF,‎ ‎∴△BCM≌△CDF,‎ ‎∴∠BMC+∠DCF=90°,∴BM⊥CF,‎ 又因为CC1⊥平面ABCD,且BM⊂平面ABCD,所以CC1⊥BM,因为CF∩CC1=C,所以BM⊥平面CC1F,故②正确;‎ 对于③,若平面BEF∥平面CC1D1D,因为平面CC1D1D∥平面AA1B1B,所以平面BEF∥平面AA1B1B,但平面BEF与平面AA1B1B有公共点B,故③错误;‎ 对于④,VB-CFE=VE-BCF=S△BCF·AA1=BC·AB·AA1=(定值),故④正确.‎ 答案②④‎ ‎2.‎ ‎(2020陕西高三二模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E为A1C1的中点,CE⊥AC1.‎ ‎(1)证明:CE⊥平面AB1C1;‎ ‎(2)若C1E=,AA1=,AB=2BC,求点E到平面AB1C的距离.‎ ‎(1)证明∵CC1⊥平面A1B1C1,B1C1⊂平面A1B1C1,‎ ‎∴CC1⊥B1C1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC,B1C1∥BC,AC⊥BC,则A1C1⊥B1C1.‎ 又A1C1⊂平面AA1C1C,CC1⊂平面AA1C1C,A1C1∩CC1=C1,∴B1C1⊥平面AA1C1C.‎ 又CE⊂平面AA1C1C,∴B1C1⊥CE.‎ 又CE⊥AC1,AC1⊂平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,B1C1∩AC1=C1,∴CE⊥平面AB1C1.‎ ‎(2)解连接AE,B1C,图略.‎ ‎∵C1E=,E为A1C1的中点,∴A1C1=2.‎ 又AA1=,∴S△ACE=×2=3.‎ ‎∵AA1=,AB=2BC,∠ACB=90°,AC=2,‎ ‎∴AB=4,B1C1=BC=2,S△ACE·B1C1=×3×2=2.‎ ‎∴AB1=,B1C=,∴AC2+B1C2=A,‎ ‎∴AC⊥B1C,∴×2.‎ 设点E到平面AB1C的距离为h,‎ 则·h=,‎ ‎∵,∴2,解得h=.‎ 故点E到平面AB1C的距离为.‎