江苏省无锡市江阴市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

江苏省无锡市江阴市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019年江阴市普通高中秋学期期末考试卷 高一数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则＝（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，再由，求.‎ ‎【详解】因为 又因为 所以 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎2.设（﹣3，3），（﹣5，﹣1），则等于（ ）‎ A. （﹣2，4） B. （1，2） C. （4，﹣1） D. （﹣1，﹣2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由（﹣3，3），（﹣5，﹣1），求得即可.‎ ‎【详解】因为（﹣3，3），（﹣5，﹣1）‎ 所以 - 21 -‎ 所以 故选：D ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎3.扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形的面积公式计算即可.‎ ‎【详解】由题意可得圆心角，半径，所以弧长,‎ 故扇形面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题型.‎ ‎4.tan255°=‎ A. －2－ B. －2+ C. 2－ D. 2+‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．‎ ‎【详解】详解：=‎ ‎【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．‎ - 21 -‎ ‎5.将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，则得到的图象的函数解析式是（　　）‎ A. y＝2sin（2x）+3 B. y＝2sin（2x）+3‎ C. y＝2sin（2x）+3 D. y＝2sin（2x）﹣3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的平移变换，左加右减，上加下减来求解.‎ ‎【详解】将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位，得到，再向上平移3个单位，得到 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题.‎ ‎6.已知向量，满足（x，1），（1，﹣2），若∥，则（　　）‎ A （4，﹣3） B. （0，﹣3） C. （，﹣3） D. （4，3）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据（x，1），（1，﹣2），且∥，求得向量的坐标，再求的坐标.‎ ‎【详解】因为（x，1），（1，﹣2），且∥，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 所以（，1），‎ - 21 -‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎7.设函数，则函数是（ ）‎ A. 偶函数，且在上是减函数 B. 奇函数，且在上是减函数 C. 偶函数，且在上是增函数 D. 奇函数，且在上是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 定义域为，因为，所以，所以函数为奇函数，为增函数，为增函数，所以在定义域内仍为增函数，故选D ‎8.已知,，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，‎ 所以T=．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，‎ 所以φ=．‎ 故选：A．‎ ‎9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg - 21 -‎ 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（　 ）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）‎ A. 1 B. 3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.‎ ‎【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,‎ x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，‎ 由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，‎ 所以，‎ ‎，‎ 两边取对数得，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎10.已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.‎ ‎【详解】解：由得，，‎ 由得，由得.‎ 在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，‎ 由图象知，，.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.‎ ‎11.已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，在线段DE取点F，使得DF＝2FE，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将用表示，再由三角形为边长为2的等边三角形，得到，最后用数量积公式计算 .‎ ‎【详解】根据题意， ，‎ - 21 -‎ ‎，‎ 又因为三角形为边长为2的等边三角形，‎ 所以 ，‎ 所以，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了向量的表示及运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.‎ ‎12.已知函数f（x），若0≤b＜a，且f（a）＝f（b），则bf（a）取值范围为（ ）‎ A. （，] B. [，+∞） C. [0，] D. [，]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数图象，易知b的范围，再将bf（a）转化为bf（b），用二次函数法求解.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 因为f（a）＝f（b），‎ 可知： ，‎ 所以bf（a）= b f（b）=b(b+ )= ，‎ - 21 -‎ 所以bf（a）的取值范围为（，].‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.‎ ‎13.设α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}．使y＝xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据单调性确定α值为负，然后再验证奇偶性.‎ ‎【详解】因为y＝xa在（0，+∞）上单调递减，‎ 所以α ，‎ 当α=-2时，， 是偶函数，‎ 当时，，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，‎ 当时，，是奇函数.‎ 故答案为：-1‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎14.在平面直角坐标系中，向量（3，4），向量，（λ＜0），若＝1，则向量的坐标是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由向量（3，4）及，表示向量的坐标，再利用＝1求解.‎ ‎【详解】因为向量（3，4），‎ 所以向量，‎ - 21 -‎ 所以，‎ 所以 ，‎ 又因为λ＜0，‎ 所以.‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎15.计算lgln的结果是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将lgln，变形为，再利用对数的性质求解.‎ ‎【详解】lgln，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎16.对于函数y＝f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）＝1成立，则称函数f（x）具有性质M．‎ ‎（1）下列函数中具有性质M的有____‎ ‎①f（x）＝﹣x+2‎ ‎②f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）‎ ‎③f（x）＝x，（x∈（0，+∞））‎ - 21 -‎ ‎④f（x）‎ ‎（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，则实数a的取值范围是____．‎ ‎【答案】 (1). ①②④ (2). a或a＞0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①因为f（x）＝﹣x+2，若存在，则，解一元二次方程即可.②若存在，则，即，再利用零点存在定理判断.③若存在，则，直接解方程.④若存在，则，即，令，再利用零点存在定理判断.‎ ‎（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，则ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，将问题转化 ：当 时， 有解，当 时， 有解，分别用二次函数的性质求解.‎ ‎【详解】（1）①因为f（x）＝﹣x+2，若存在，则，‎ 即，所以 ，存在.‎ ‎②因为f（x）＝sinx（x∈[0，2π]），若存在，则，‎ 即，‎ 令，‎ 因为，‎ 所以存在 .‎ - 21 -‎ ‎③因为f（x）＝x，（x∈（0，+∞）），若存在，则，‎ 即，所以不存在.‎ ‎④因为f（x），（x∈（0，+∞）），若存在，则，‎ 即，‎ 令，‎ 因为，‎ 所以存在.‎ ‎（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，‎ 则ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，‎ 当 时， 有解，‎ 令 ，‎ 所以 .‎ 当 时， 有解，‎ 令 ，‎ 所以 .‎ 综上：实数a的取值范围是a或a＞0.‎ 故答案为：(1). ①②④ (2). a或a＞0‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ - 21 -‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.已知不共线的向量满足，，的夹角为θ．‎ ‎（1）θ＝30°，求的值；‎ ‎（2）若，求cosθ的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，的夹角θ＝30°，通过求解.‎ ‎（2）由，得，展开求解.‎ ‎【详解】（1）因为，，的夹角）θ＝30°，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以 .‎ ‎【点睛】本题主要考查了数量积的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎18.已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}．‎ ‎（1）若m＝2，求（∁RA）∩B；‎ ‎（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|3≤x＜5}；（2）（﹣∞，1]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ ‎（1）先化简集合A，再求得∁RA，由m＝2，得B＝{x|1＜x＜5}，然后求（∁RA）∩B.‎ ‎（2）由A∩B＝B，得到B⊆A，再分B＝∅时，由m﹣1≥2m+1求解，当B≠∅时，有求解，最后取并集.‎ ‎【详解】（1）集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}＝{x|﹣x2﹣x+12＞0}＝{x|﹣4＜x＜3}，‎ 所以∁RA＝{x|x≤﹣4或x≥3}，‎ 当m＝2时，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}＝{x|1＜x＜5}，‎ 所以（∁RA）∩B＝{x|3≤x＜5}.‎ ‎（2）因为A∩B＝B，所以B⊆A，‎ 当B＝∅时，m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；‎ 当B≠∅时，有，解得﹣2＜m≤1，‎ 综上：实数m的取值范围是（﹣∞，1].‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的关系及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎19.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P的坐标是（3a，a），其中a≠0．‎ ‎（1）求cos（α）的值；‎ ‎（2）若tan（2α+β）＝1，求tanβ的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，当a＞0时，点P在第一象限，求出cosα，sinα，再利用两角差的余弦求解，同理，当a＜0时，点P在第三象限，按同样的方法求解 ‎（2）由终边上点P（3a，a），可得tan，用二倍角公式求出tan2α，又因为 - 21 -‎ ‎ tan（2α+β）＝1，利用角的变换转为tanβ＝求解.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，‎ 当a＞0时，点P在第一象限，‎ cosα，sinα，‎ 所以cos（），‎ 当a＜0时，点P在第三象限，‎ cos，sin，‎ 所以cos（）.‎ ‎（2）由题意可得，tan，‎ 故tan2α，‎ 因为tan（2α+β）＝1，‎ 故tanβ＝.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.已知向量（2sinx，cosx），（cosx，2cosx）．‎ ‎（1）若x≠kπ，k∈Z，且，求2sin2x﹣cos2x值；‎ ‎（2）定义函数f（x），求函数f（x）的单调递减区间；并求当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）单调递减区间为[k]，k∈Z，值域[1，4]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ ‎（1）由，得，从而求得tanx，再用商数关系，转化2sin2x﹣cos2x求解.‎ ‎（2）化简函数f（x）=2sin（2x）+2，利用整体思想，令2x可求得减区间.由x，得到2x，从而有sin（2x）求解.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 因为x，所以cosx≠0，‎ 所以tanx，‎ 所以2sin2x﹣cos2x.‎ ‎（2）f（x）＝2sinxcosx+2cos2x+1cos2x+2＝2sin（2x）+2，‎ 令2x，‎ 解得，，‎ 故函数的单调递减区间为[k]，k∈Z.‎ 因为x，‎ 所以2x，‎ 所以sin（2x），‎ - 21 -‎ 所以函数f（x）的值域[1，4]．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量与三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知奇函数f（x），函数g（θ）＝cos2θ+2sinθ，θ∈[m，]．m，b∈R．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；‎ ‎（3）当x∈[0，1]时，函数g（θ）最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）b＝0；（2）在[0，1]上的单调递增，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数f（x）为奇函数，令f（0）＝0求解. ‎ ‎（2）函数f（x）在[0，1]上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.‎ ‎（3）根据（2）知，函数f（x）在[0，1]上的单调递增，得到．即g（θ）的最小值为，再令t＝sinθ，转化为二次函数求解.‎ ‎【详解】（1）因为函数f（x）为R上的奇函数，‎ 所以f（0）＝0，解得b＝0．‎ ‎（2）函数f（x）在[0，1]上的单调递增．‎ 证明：设 则：f（x2）﹣f（x1），‎ 因为，‎ 所以x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，‎ 所以，‎ - 21 -‎ 即f（x2） f（x1），‎ 所以函数f（x）在[0，1]上的单调递增．‎ ‎（3）由（2）得：函数f（x）在[0，1]上的单调递增，‎ 所以．所以g（θ）的最小值为．‎ 令t＝sinθ，所以y的最小值为，‎ 令 解得 所以，‎ 即，‎ 所以 ‎ 又因为θ∈[m，]．m，b∈R，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于难题.‎ ‎22.已知函数y＝f1（x），y＝f2（x），定义函数f（x）．‎ ‎（1）设函数f1（x）＝x+3，f2（x）＝x2﹣x，求函数y＝f（x）的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，g（x）＝mx+2（m∈R），函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）设函数f1（x）＝x2﹣2，f2（x）＝|x﹣a|，函数F（x）＝f1（x）+f2（x），求函数F（x）的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数f（x）的定义，两个函数中取小的.‎ ‎（2）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，即方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根，因为函数 是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.‎ ‎（3）根据题意F（x）．按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.‎ ‎【详解】（1）∵f1（x）＝x+3，，‎ 当f1（x）≤f2（x），即x≥3或x≤﹣1时，f（x）＝x+3，‎ 当f1（x）＞f2（x），即﹣1＜x＜3时，，‎ 综上：．‎ ‎（2）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，‎ 即方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根，‎ 因为函数，函数g（x）＝mx+2（m∈R），‎ 所以当x≤﹣1或x≥3时，mx+2＝x+3恰有一个实数解，‎ 所以或，‎ - 21 -‎ 解得，．‎ 当﹣1＜x＜3时，mx+2＝x2﹣x恰有两个不同的实数解，‎ 即当﹣1＜x＜3时x2﹣（m+1）x﹣2=0恰有两个不同的实数解，‎ 设函数h（x）＝x2﹣（m+1）x﹣2，‎ 由题意可得，‎ 所以，‎ 解得，‎ 综上，m的取值范围为．‎ ‎（3）F（x）＝f1（x）+f2（x）＝x2+|x﹣a|﹣2．‎ ‎①若a，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，‎ 此时，函数F（x）的最小值为；‎ ‎②若，则函数F（x）在（﹣∞，a）上是单调减函数，在（a，+∞）上是单调增函数，‎ 此时，函数F（x）的最小值为F（a）＝a2﹣2；‎ - 21 -‎ ‎③若，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，‎ 此时，函数F（x）的最小值为；‎ 综上：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了分类讨论，运算求解的能力，属于难题.‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎