2018-2019学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．与终边相同的角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由终边相同的角的计算公式得到.‎ ‎【详解】‎ 解：∵2019°＝6×360°﹣141°，‎ ‎∴与2018°终边相同的是﹣141°．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同角的求解，是基础题．‎ ‎2．下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为A项是奇函数，故错，C，D两项项是偶函数，但在上是减函数，故错，只有B项既满足是偶函数，又满足在区间上是增函数，故选B．‎ ‎【考点】函数的奇偶性，单调性．‎ ‎3．下列各式不能化简为的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：利用向量的加减法来进行判定。‎ ‎4．函数的零点个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．3 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数与方程的关系将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点个数的问题.‎ ‎【详解】‎ 由=0，得2x=sin2x，‎ 令t=2x，分别做出y=t的图像和y=sint的图像，只有一个交点，又t=2x单调，‎ 所以只有一个零点.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点个数问题，转化为两个函数图像的交点个数问题是解题的关键.‎ ‎5．函数 的大致图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】化简函数的解析式，然后根据函数类型判断函数的图象.‎ ‎【详解】‎ 解：﹣＜x＜⇒cosx＞0，故函数y＝cosx|tanx|＝|sinx|，‎ 函数y＝cosx|tanx|（﹣＜x＜）的大致图象是：C．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简，函数图象的判断，考查计算，推理能力．‎ ‎6．已知函数的图象（部分）如图所示则（ ）‎ A．1 B．－1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数图象可得周期T、振幅A，利用周期公式求出ω，利用最高点求出φ的值，即可确定函数解析式．‎ ‎【详解】‎ 解：∵根据图象判断，周期为T＝4×（﹣）＝2，A＝2，‎ ‎∴＝2，解得：ω＝π；‎ 又2sin（π×+φ）＝2，‎ ‎∴+φ＝2kπ+，k∈z，‎ ‎∴φ＝2kπ+，k∈z；‎ ‎∴f（x）的解析式为f（x）＝2sin（πx+），x∈R．‎ ‎∴f（1）=2sin（）=-1‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式的应用问题，是基础题．‎ ‎7．已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化求解.‎ ‎【详解】‎ 解：不等式f（x+1）﹣f（2）＜0等价为f（x+1）＜f（2），‎ ‎∵f（x）＝x2+log2|x|，‎ ‎∴f（﹣x）＝（﹣x）2+log2|﹣x|＝x2+log2|x|＝f（x），‎ 则函数f（x）是偶函数，‎ 且当x＞0时，f（x）＝x2+log2x为增函数，‎ 则不等式f（x+1）＜f（2）等价为f（|x+1|）＜f（2），‎ ‎∴|x+1|＜2且x+1≠0，‎ 即﹣2＜x+1＜2且x≠﹣1，‎ 则﹣3＜x＜1且x≠﹣1，‎ ‎∴不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．‎ ‎8．若 ，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取，则：‎ ‎，选项A错误；‎ ‎，选项C错误；‎ ‎，选项D错误；‎ 对于选项C：在为减函数，‎ 又∴ ，选项B正确.‎ 本题选择B选项.‎ ‎9．将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数的图象变换规律得到，由正弦函数的图象的对称性可得，从而求得的最小值．‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的，‎ 纵坐标不变，可得的图象；‎ 再将所得图象向右平移个单位后，‎ 可得的图象．‎ 因为所得到的图象关于原点对称，‎ 所以，，即，‎ 则令，可得的最小值为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．对于函数，由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.‎ ‎10．如图在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E为边CD的中点，，若则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量线性运算法则可得，利用平面向量数量积公式，即可求出的值．‎ ‎【详解】‎ 因为平行四边形中，，，是边的中点，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴,故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的线性运算以及平面向量数量积公式的应用问题，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.‎ ‎11．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎【答案】D ‎【解析】设至少需要过滤次，则，结合指数与对数的互化解不等式，由此可得结论．‎ ‎【详解】‎ 设至少需要过滤次，则，‎ 即,‎ 所以，‎ 即，‎ 又，所以，‎ 所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求,故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数与对数的运算，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎ ‎12．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数，由f（x）=0，由，可得 ‎ ‎ ，，因此，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎ ‎ 由，可得 ‎ 解得 ， ‎ ‎∵ 在区间内没有零点， .‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．设且，则的值为___________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】先将x＝2代入解析式求出f（2），列出方程求出t；将x＝代入解析式求出f（）；判断出f（）的范围，将其值代入相应的解析式求值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由f（2）＝logt（22﹣1）＝logt3＝1，‎ ‎∴t＝3，‎ 又＞2，‎ 所以f（f（））＝f（log3（5﹣1））＝f（log34）＝2×＝2×4＝8．‎ 故答案为8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求分段函数的函数值，关键是判断出自变量的范围，将其代入解析式求值.‎ ‎14．已知都是单位向量，夹角为60°，若向量，则称在基底下的坐标为，已知在基底下的坐标为（2，－3），则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量在基底下的坐标形式表示出，然后利用模的运算对进行平方，从而求出.‎ ‎【详解】‎ 解：因为在基底下的坐标为（2，－3），所以=，‎ ‎= ‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题是新概念的问题，关键是把的线性关系正确的表示出来.‎ ‎15．已知 ，则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知条件两式相加，构造出的函数式.根据函数的奇偶性和单调性得出的关系，再求向量的数量积即可.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以 即 ‎ 即 令则f（x）为奇函数，且f（x）单调递增.‎ 所以由 可得 即 .‎ 又= ‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积，两角和与差的正弦，关键是由已知条件转化为两角的函数关系.‎ ‎16．函数满足，，则__________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由函数的对称性和周期性可知f（x）为奇函数且周期为6，从而得到函数在同一个周期的零点的函数值的关系，根据周期性可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 f（x）关于（6,0）对称.‎ 因为，所以f(x)周期为6，所以f（x）关于（0,0）对称，f（x）为奇函数.‎ 所以f（0）=0，f（6）=0，f（3）=0，f（5）=f（5-6）=-f（1），f（4）=f（-2）=-f（2），‎ 所以+f（6）=0，‎ 又2021=3366+5，‎ 所以3360+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ f（4）+ f（5）=0‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的对称性和周期性，解题的关键是奇函数半周期处为0.‎ 三、解答题 ‎17．已知，‎ 求（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】把转化为，然后利用两角和与差公式即可求出；（2）利用角的恒等变换把转化为，然后利用两角和与差公式即可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）＝‎ ‎（2） ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数恒等变换以及两角和与差的应用，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎18．给定平面向量，，，且， .‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）求在方向上的投影.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）根据向量平行与垂直的坐标关系列出方程组，解出x，y即可；（2）利用投影公式计算.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），即 ‎ ，‎ 得 ‎，‎ ‎（2），‎ 故，在方向上的投影为 ‎【点睛】‎ 本题考查向量平行与垂直的线性运算以及投影公式，考查公式的转化，属于基础题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）求的周期，单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）分子分母同除1，利用，把分母变形，然后分子分母同除 ，利用齐次式求，（2）利用辅助角公式把f（x）化为的形式，再利用正余弦函数的单调性求单调区间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，‎ ‎（2）‎ 周期为 由 可得 ‎ 所以递增区间.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数齐次式的应用，三角函数辅助角公式以及求单调区间，解题关键是转化为齐次式，属于基础题.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）存在使得不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）解关于的二次方程，然后再解指数方程即可；（2）恒成立问题转化为分离参数后再求函数的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得 解得 ‎ ‎（2）由得 当时，‎ 由题意知 ‎【点睛】‎ 本题考查含指数函数的二次方程的求解，恒成立问题分离参数最值，转化的思想，考查一定的运算能力，属于中档题.‎ ‎21．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表：‎ 时刻 ‎0：00‎ ‎3：00‎ ‎6：00‎ ‎9：00‎ ‎12：00‎ ‎15：00‎ ‎18：00‎ ‎21：00‎ ‎24：00‎ 水深 ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎9.9‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎10.1‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ ‎（1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；‎ ‎（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米。‎ Ⅰ)如果该船是旅游船，1：00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？‎ Ⅱ）如果该船是货船，在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10：00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？‎ ‎【答案】（1）；（2）Ⅰ）16小时，Ⅱ）见解析 ‎【解析】分析：（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.结合点的特征可认为函数解析式为；‎ ‎（2）Ⅰ）由题意，就可以进出港，结合(1)的结论可得在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是16小时.‎ Ⅱ）由题意结合三角函数的性质和一次函数的性质整理计算可得为了安全，货船最好在整点时刻6点之前停止卸货.‎ 详解：‎ ‎（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.如图.‎ 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系.‎ 从数据和图象可以得出 ‎ 由得，‎ 所以，这个港口水深与时间的关系可用近似描述.‎ ‎（2）Ⅰ）由题意，就可以进出港，令 得，如图，‎ 在区间内，函数与直线有两个交点，‎ 由，得，由周期性得，‎ 由于该船从1：00进港，可以17：00离港，‎ 所以在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是16小时.‎ Ⅱ）设在时刻货船航行的安全水深为y，那么.‎ 在同一坐标系下画出这两个函数的图象.‎ 设，由 且知，‎ 为了安全，货船最好在整点时刻6点之前停止卸货.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的实际应用，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．‎ ‎（1）若，证明：函数必有局部对称点；‎ ‎（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用题中所给的定义，通过二次函数的判别式大于0，证明二次函数有局部对称点；(2)利用方程有解，通过换元，转化为打钩函数有解问题，利用函数的图象，确定实数c的取值范围；(3)利用方程有解，通过换元，转化为二次函数在给定区间有解，建立不等式组，通过解不等式组，求得实数的取值范围.‎ 试题解析：(1)由得=,代入得,‎ ‎=,得到关于的方程=).‎ 其中,由于且,所以恒成立,‎ 所以函数=)必有局部对称点.‎ ‎(2)方程=在区间上有解,于是,‎ 设),,,‎ 其中，所以.‎ ‎(3),由于,‎ 所以=.‎ 于是=()在上有解.‎ 令),则,‎ 所以方程()变为=在区间内有解,‎ 需满足条件:.‎ 即,，化简得.‎