2021高考数学一轮复习第7章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案文北师大版

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2021高考数学一轮复习第7章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案文北师大版

第7章 不等式、推理与证明 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 ‎1.考查形式 本章在高考中一般考查1~2道小题,分值5~10分.‎ ‎2.考查内容 从考查内容来看,对不等式解法的考查隐含在集合、函数、数列等问题中,对线性规划的考查重点考查求目标函数的最值问题.‎ ‎3.备考策略 ‎(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ‎①一元二次不等式的解法问题;‎ ‎②线性规划问题;‎ ‎③基本不等式求最值问题.‎ ‎(2)重视数形结合、分类讨论、转化化归思想的应用.‎ 第一节 不等式的性质与一元二次不等式 ‎[最新考纲] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的算法框图.‎ ‎(对应学生用书第107页)‎ ‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2.不等式的性质 ‎(1)对称性:a>b⇔bb,b>c⇒a>c;‎ ‎(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;‎ a>b,c>d⇒a+c>b+d;‎ - 11 -‎ ‎(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;‎ a>b,c<0⇒acb>0,c>d>0⇒ac>bd;‎ ‎(5)乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n≥2,n∈N);‎ ‎(6)开方法则:a>b>0⇒>(n≥2,n∈N);‎ ‎(7)倒数性质:设ab>0,则a.‎ ‎3.“三个二次”的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x10‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ‎{x|x1b+d D.a+d>b+c C [由同向不等式具有可加性可知C正确.]‎ ‎4.若不等式ax2+bx+2>0的解集为,则a+b=________.‎ ‎-14 [由题意知x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,‎ 则 解得(经检验知满足题意).‎ ‎∴a+b=-14.]‎ ‎(对应学生用书第108页)‎ ‎⊙考点1 比较大小与不等式的性质 ‎ 比较大小的五种常用方法 ‎(1)作差法:直接作差判断正负即可(常用变形手段:因式分解、配方、有理化、通分等).‎ ‎(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.‎ - 11 -‎ ‎(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较.‎ ‎(4)不等式的性质法.‎ ‎(5)特殊值排除法:可以多次取特殊值,根据特殊值比较大小,从而得出结论.‎ ‎ 1.若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A.a+c≥b-c    B.(a-b)c2≥0‎ C.ac>bc D.≤ B [(不等式的性质法)a,b,c∈R,且a>b,可得a-b>0,因为c2≥0,所以(a-b)c2≥0.故选B.]‎ ‎2.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为(  )‎ A.pq D.p≥q B [法一: (作差法)p-q=+-a-b ‎=+=(b2-a2)· ‎==,‎ 因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.‎ 若a=b,则p-q=0,故p=q;‎ 若a≠b,则p-q<0,故pb时,3a>3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当a>b时,a3>b3,即a3-b3>0,故C正确;当b1.‎ 若a<0,原不等式等价于(x-1)>0,‎ 解得x<或x>1.‎ 若a>0,原不等式等价于(x-1)<0.‎ ‎①当a=1时,=1,(x-1)<0无解;‎ ‎②当a>1时,<1,解(x-1)<0得1,解 (x-1)<0得11};‎ 当01时,解集为.‎ ‎[母题探究]‎ 将本例(2)中不等式改为x2-(a+1)x+a<0(a∈R),求不等式的解集.‎ ‎[解] 原不等式可化为(x-a)(x-1)<0,‎ 当a>1时,原不等式的解集为(1,a);‎ 当a=1时,原不等式的解集为;‎ 当a<1时,原不等式的解集为(a,1).‎ ‎ 解含参不等式的分类讨论依据 - 11 -‎ 提醒:含参数讨论问题最后要综上所述.‎ ‎[教师备选例题]‎ 解不等式:x2-2ax+2≤0(a∈R).‎ ‎[解] 对于方程x2-2ax+2=0,因为Δ=4a2-8.‎ ‎(1)当Δ<0,即-<a<时,x2-2ax+2=0无实根.又二次函数y=x2-2ax+2的图像开口向上,所以原不等式的解集为;‎ ‎(2)当Δ=0,即a=±时,x2-2ax+2=0有两个相等的实根,‎ 当a=时,原不等式的解集为{x|x=},‎ 当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};‎ ‎(3)当Δ>0,即a>或a<-时,x2-2ax+2=0有两个不相等的实根,分别为x1=a-,x2=a+,且x1<x2,所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.‎ 综上,当a>或a<-时,解集为{x|a-≤x≤a+};当a=时,解集为{x|x=};当a=-时,解集为{x|x=-};当-<a<时,解集为.‎ ‎ 1.(2019·济南模拟)已知不等式ax2-5x+b>0的解集为,则不等式bx2-5x+a>0的解集为(  )‎ A. B. C.{x|-32}‎ C [由题意知a>0,且,-是方程ax2-5x+b=0的两根,∴解得 ‎∴bx2-5x+a=-5x2-5x+30>0,‎ 即x2+x-6<0,‎ 解得-3a2(a∈R).‎ ‎[解] 原不等式可化为12x2-ax-a2>0,‎ 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,‎ 解得x1=-,x2=.‎ 当a>0时,不等式的解集为∪;‎ 当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);‎ 当a<0时,不等式的解集为∪.‎ ‎⊙考点3 一元二次不等式恒成立问题 ‎ 在R上恒成立,求参数的范围 ‎  一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2+bx+c>0‎ a>0,Δ<0‎ ax2+bx+c≥0‎ a>0,Δ≤0‎ ax2+bx+c<0‎ a<0,Δ<0‎ ax2+bx+c≤0‎ a<0,Δ≤0‎ ‎ 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(-2,2] [当a-2=0,即a=2时,不等式即为-4<0,对一切x∈R恒成立,‎ 当a≠2时,则有 即∴-20时,g(x)在[1,3]上是增函数,‎ 所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,‎ 所以m<,所以00,‎ 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.‎ 因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.‎ 所以m的取值范围是.‎ - 11 -‎ ‎[母题探究]‎ 若将“f(x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)<5-m成立”,如何求m的取值范围?‎ ‎[解] 由题意知f(x)<5-m有解,‎ 即m<有解,则m3} [对任意的k∈[-1,1],x2+(k-4)x+4-2k>0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0,在k∈[-1,1]时恒成立.‎ 只需g(-1)>0且g(1)>0,即 解得x<1或x>3.]‎ ‎ 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.‎ ‎ 函数f(x)=x2+ax+3.‎ ‎(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;‎ - 11 -‎ ‎(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.‎ ‎[解](1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,‎ 需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,解得-6≤a≤2.‎ ‎∴实数a的取值范围是[-6,2].‎ ‎(2)当x∈[-2,2]时,设g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):‎ ‎①如图1,当g(x)的图像与x轴不超过1个交点时,‎ 有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.‎ ‎②如图2,g(x)的图像与x轴有2个交点,‎ 但当x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,‎ 即即 可得 解得a∈.‎ ‎③如图3,g(x)的图像与x轴有2个交点, ‎ 但当x∈(-∞,2]时,g(x)≥0.‎ 即即 可得∴-7≤a<-6,‎ 综上,实数a的取值范围是[-7,2].‎ ‎(3)令h(a)=xa+x2+3.‎ 当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.‎ 只需即 解得x≤-3-或x≥-3+.‎ ‎∴实数x的取值范围是 ‎(-∞,-3-]∪[-3+,+∞).‎ - 11 -‎
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