2020届高考数学一轮复习单元检测（理·新人教A版）七不等式推理与证明提升卷

2020届高考数学一轮复习单元检测（理·新人教A版）七不等式推理与证明提升卷

单元检测七 不等式、推理与证明(提升卷) 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4 页． 2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上． 3．本次考试时间 100 分钟，满分 130 分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整． 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1．若 a －b C．|a|>－b D. 1 a－b >1 b 答案 A 解析 因为 a0，即1 a >1 b ，A 不成立；－a>－b>0， －a> －b，B 成 立；－a＝|a|>|b|＝－b，C 成立；当 a＝－3，b＝－1 时， 1 a－b ＝－1 2 ，1 b ＝－1，故 1 a－b >1 b ， D 成立． 2．不等式2x＋1 3－x ≤0 的解集为( ) A. －1 2 ，3 B. －1 2 ，3 C. －∞，－1 2 ∪(3，＋∞) D. －∞，－1 2 ∪[3，＋∞) 答案 C 解析 不等式2x＋1 3－x ≤0 可化为 2x＋13－x≤0， 3－x≠0， ∴ 2x＋1x－3≥0， 3－x≠0， 解得 x≤－1 2 或 x>3， ∴不等式2x＋1 3－x ≤0 的解集为 －∞，－1 2 ∪(3，＋∞)． 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．某校高三有 8 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，3 班有 52 人，由此推测各班人数都超 过 50 人 B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质 C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝1 2 an－1＋ 1 an－1 ，由此归纳出{an}的通项公式 答案 C 解析 因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项 C 符合要求，平行四边形对角线互相平分， 菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分． 4．“1＋ 3 x－1 ≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 1＋ 3 x－1 ≥0，得x＋2 x－1 ≥0，等价于(x－1)(x＋2)≥0，且 x≠1，解得 x≤－2 或 x>1. 由(x＋2)(x－1)≥0，得 x≤－2 或 x≥1，所以“1＋ 3 x－1 ≥0”能推出“(x＋2)·(x－ 1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋ 3 x－1 ≥0”，故“1＋ 3 x－1 ≥0”是“(x＋2)(x －1)≥0”的充分不必要条件，故选 A. 5．若 x>0，y>0，且 2x＋8y－xy＝0，则 xy 的最小值为( ) A．8B．14C．16D．64 答案 D 解析 ∵x>0，y>0，且 2x＋8y－xy＝0， ∴xy＝2x＋8y≥2 16xy，∴ xy≥8， ∴xy≥64，当且仅当 x＝16，y＝4 时取等号， ∴xy 的最小值为 64，故选 D. 6．已知实数 a>0，b>0， 1 a＋1 ＋ 1 b＋1 ＝1，则 a＋2b 的最小值是( ) A．3 2B．2 2C．3D．2 答案 B 解析 ∵a>0，b>0， 1 a＋1 ＋ 1 b＋1 ＝1， ∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3 ＝[(a＋1)＋2(b＋1)]· 1 a＋1 ＋ 1 b＋1 －3 ＝ 1＋2＋2b＋1 a＋1 ＋a＋1 b＋1 －3≥3＋2 2－3＝2 2， 当且仅当2b＋1 a＋1 ＝a＋1 b＋1 ，即 a＝ 2，b＝ 2 2 时取等号， ∴a＋2b 的最小值是 2 2，故选 B. 7．若直线 l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆 C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16 分成面积相等的两部 分，则 1 2a ＋2 b 的最小值为( ) A．10B．8C．5D．4 答案 B 解析 由题意知，已知圆的圆心 C(－4，－1)在直线 l 上，所以－4a－b＋1＝0，所以 4a＋b ＝1.所以 1 2a ＋2 b ＝(4a＋b) 1 2a ＋2 b ＝4＋ b 2a ＋8a b ≥4＋2 b 2a ·8a b ＝8，当且仅当 b 2a ＝8a b ，即 a ＝1 8 ，b＝1 2 时，等号成立．所以 1 2a ＋2 b 的最小值为 8.故选 B. 8．在不等式组 x－y＋1≥0， x＋y－2≤0， y≥0 所表示的平面区域内随机地取一点 M，则点 M 恰好落在第 二象限的概率为( ) A.2 3 B.3 5 C.2 9 D.4 7 答案 C 解析 如图，不等式组 x－y＋1≥0， x＋y－2≤0， y≥0 所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为 1 2 ×3×3 2 ＝9 4 ，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为1 2 ×1×1＝1 2 .所以点 M 恰好 落在第二象限的概率为 1 2 9 4 ＝2 9 ，故选 C. 9．(2018·河南名校联盟联考)已知变量 x，y 满足 x＋y≤2， 2x－y≥－2， 2y－x≥1， 则 z＝3y－x 的取值范 围为( ) A．[1,2]B．[2,5]C．[2,6]D．[1,6] 答案 D 解析 画出不等式组 x＋y≤2， 2x－y≥－2， 2y－x≥1 表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC 边界 及其内部)． 因为 z＝3y－x，所以 y＝1 3 x＋1 3 z.当直线 y＝1 3 x＋z 3 在 y 轴上的截距有最小值时，z 有最小值； 当在 y 轴上的截距有最大值时，z 有最大值．由图可知，当直线 y＝1 3 x＋z 3 经过点 A(－1,0)， 在 y 轴上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；经过点 C(0,2)时，在 y 轴上的截距最大，zmax＝ 3×2－0＝6.所以 z＝3y－x 的取值范围为[1,6]，故选 D. 10．小王计划租用 A，B 两种型号的小车安排 30 名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩， A 与 B 两种型号的车辆每辆的载客量都是 5 人，租金分别为 1000 元/辆和 600 元/辆，要求 租车总数不超过 12 辆，不少于 6 辆，且 A 型车至少有 1 辆，则租车所需的最少租金为( ) A．1000 元 B．2000 元 C．3000 元 D．4000 元 答案 D 解析 设分别租用 A，B 两种型号的小车 x 辆、y 辆，所用的总租金为 z 元，则 z＝1000x＋ 600y，其中 x，y 满足不等式组 5x＋5y≥30， 6≤x＋y≤12， x≥1， (x，y∈N)，作出可行域，如图阴影部分 (包括边界)所示． 易知当直线 y＝－5 3 x＋ z 600 过点 D(1,5)时，z 取最小值，所以租车所需的最少租金为 1×1000 ＋5×600＝4000(元)，故选 D. 11．(2018·贵州贵阳一中月考)若变量 x，y 满足约束条件 x2＋y2≤4， y≥－x， y≤x＋2， 则 t＝y－2 x－3 的取 值范围是( ) A. 0，3 2 B. 0，12 5 C. 0，12 5 D. －12 5 ，0 答案 B 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)． t＝y－2 x－3 表示可行域内的点与点 M(3,2)连线的斜率．由图可知，当可行域内的点与点 M 的连 线与圆 x2＋y2＝4 相切时斜率分别取最大值和最小值．设切线方程为 y－2＝k(x－3)，即 kx －y－3k＋2＝0，则有|3k－2| 1＋k2 ＝2，解得 k＝12 5 或 k＝0，所以 t＝y－2 x－3 的取值范围是 0，12 5 ， 故选 B. 12．已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为 x(单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为 z(单 位：L)，其中装有体积为 y(单位：L)的水(xz，每次倾倒后甲容器都有剩余，则 anxy z ，故 C 错误；对于 D，当 n→＋∞时，甲乙两容器浓度 趋于相等，当 x＋y≤z 时，an＝ xy x＋y ，当 x＋y>z 时，an< xy x＋y ，故选 D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 13．若在关于 x 的不等式 x2－(a＋1)x＋a<0 的解集中至多包含 2 个整数，则实数 a 的取值 范围是____________． 答案 [－2,4] 解析 关于 x 的不等式 x2－(a＋1)x＋a<0 可化为(x－1)(x－a)<0.当 a＝1 时，(x－1)2<0， 无解，满足题意；当 a>1 时，不等式的解集为{x|10. 因为 f(x)＝2x＋ 2 x＋1 ＝2x＋2＋ 2 x＋1 －2≥4－2＝2，所以 f(x)≥2， 当且仅当 2x＋2＝ 2 x＋1 ，即 x＝0 时取等号． 故 f(x)的最小值为 2，此时 x＝0. (2)由 f(x)≥2x＋2，得－2x x＋1 ≥0，所以－10，b>0，求 ab 的最大值； (2)当 x∈[0,1]时，f(x)≤1 恒成立，且 2a＋3b≥3，求 z＝a＋b＋2 a＋1 的取值范围． 解 (1)因为 f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f 2 3 ＝20 3 ， 所以 a＋b－4 3 ＝20 3 ，即 a＋b＝8. 因为 a>0，b>0， 所以 a＋b≥2 ab，即 4≥ ab，所以 ab≤16， 当且仅当 a＝b＝4 时等号成立， 所以 ab 的最大值为 16. (2)因为当 x∈[0,1]时，f(x)≤1 恒成立，且 2a＋3b≥3， 所以 f0≤1， f1≤1， 且 2a＋3b≥3，即 b－a≤1， b＋2a≤3， 2a＋3b≥3， 作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)． 由图可得经过可行域内的点(a，b)与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是 2 5 ，2 ， 所以 z＝a＋b＋2 a＋1 ＝b＋1 a＋1 ＋1 的取值范围是 7 5 ，3 . 19．(13 分)2019 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本 2 500 万 元 ， 每 生 产 x 百 辆 新 能 源 汽 车 ， 需 另 投 入 成 本 C(x) 万 元 ， 且 C(x) ＝ 10x2＋100x，01500，所以当 x＝100，即 2019 年年产量为 100 百辆时，该企业所获利润最大， 且最大利润为 1800 万元． 20．(13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 4Sn 与 2an 的等差中项为 3(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数 k，使不等式 k(－1)na2 nb1；当 n≥2 时，bn＋1

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