2013三明5月份质检理数试卷

2013三明5月份质检理数试卷

‎2013年三明市普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．‎ ‎4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据，…，的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中为底面面积，为高 其中为球的半径 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．命题“”的否定是 A. B. C. D. ‎ ‎2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的共轭复数是 A． B． C． D．‎ ‎3．设等比数列的前项和为，若，，则等于 A．16 B. ‎31 ‎ C. 32 D.63‎ ‎4．阅读右边程序框图，下列说法正确的是 A．该框图只含有顺序结构、条件结构 B．该框图只含有顺序结构、循环结构 C．该框图只含有条件结构、循环结构 D．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构 ‎5．函数的最小正周期是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知函数，则是 A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，且在上单调递增 C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 ‎8．在中，“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．过双曲线，的左焦点作圆: 的两条切线，‎ ‎ 切点为，，双曲线左顶点为，若,则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． ‎ ‎10．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”.如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎11．已知随机变量，若，则 ．‎ ‎12．若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为 ．‎ ‎13．在二项式(x－)6的展开式中, 常数项是＿＿＿． ‎ ‎14．由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是＿＿＿． ‎ ‎15．已知函数，（，‎ ‎.若,且函数的图像关于点对称，并在处取得最小值，则正实数的值构成的集合是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A C D B E F ‎16．(本小题满分13分)‎ 如图，在几何体中，平面，，是等腰直角三角形，，且，点是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ 今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其影响生意冷清．A市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题：‎ ‎（Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率；‎ ‎（Ⅱ）从该市市民中随机抽取位，若连续抽取到两位愿意购买本地家禽的市民，或 抽取的人数达到4位，则停止抽取，求的分布列及数学期望．‎ ‎18．(本小题满分13分)‎ 已知椭圆的离心率为，且椭圆的右焦点与抛物 线的焦点重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，设直线与椭圆交于 两点（其中点在第一象限），且 直线与定直线交于点，过 作直线交轴于点，试 判断直线与椭圆的公共点个数．‎ ‎19．(本小题满分13分)‎ B A C D 某企业有两个生产车间，分别位于边长是的等边三角形的顶点处（如图），现要在边上的点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知叉车每天要往返车间5次，往返车间20次，设叉车每天往返的总路程为.（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）‎ ‎(Ⅰ）按下列要求确定函数关系式：‎ ①设长为，将表示成的函数关系式；‎ ②设，将表示成的函数关系式.‎ ‎(Ⅱ）请你选用(Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程 的最小值，并指出点的位置．‎ ‎20．(本小题满分14分)‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ）当时，在曲线上是否存在两点，使得曲线在两点处的切线均与直线交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；‎ ‎(Ⅲ）若在区间存在最大值，试构造一个函数，使得同时满足以下三个条件：①定义域，且；②当时，；③在中使取得最大值时的值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数即可）‎ ‎21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵，绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵；‎ ‎（Ⅱ）若曲线：在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线的方程．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，）．‎ ‎（Ⅰ）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2013年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1．C 2．A 3．B 4．B 5．B ‎6．C 7．A 8．C． 9．A 10.D 二．填空题：‎ ‎11．0.2； 12．3； 13．15； 14．； 15．．‎ A C D B E F 三、解答题：‎ ‎16．解法一：（Ⅰ）取的中点，连结，‎ 则，且，……………2分 又，∴且，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 则， ………………5分 又因为平面，平面，‎ 所以平面． …………………6分 ‎（Ⅱ）依题得，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，‎ x y z A C D B E F 则，，，，，，‎ 所以，．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则即，‎ 取，得，． ………………10分 又设与平面所成的角为，，‎ 则， ‎ 故与平面所成角的正弦值为．…………………………………13分 A C D B E F 解法二：（Ⅰ）取的中点，连结，‎ 则，‎ 又因为平面，平面，‎ 平面，平面，‎ 所以平面，平面，‎ 又，所以平面平面，‎ 平面，∴平面．……………6分 ‎（Ⅱ）同解法一． …………………………………13分 ‎17．解：（Ⅰ）依题意可得，任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为， ‎ 从而任意抽取一位市民不会购买本地家禽的概率为．‎ 设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件，则，‎ 故至少有一位市民会购买本地家禽的概率．…………………………6分 ‎（Ⅱ）的所有可能取值为：2，3，4．‎ ‎，，，‎ 所以的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎． …………………………13分 ‎18．解：（Ⅰ）设，易知，又，得，于是有．‎ 故椭圆的标准方程为． ……………4分 ‎（Ⅱ）联立得，‎ 的坐标为．故．‎ 依题意可得点的坐标为．设的坐标为， ‎ 故．‎ 因为，所以，解得，‎ 于是直线的斜率为， …………………………8分 从而得直线的方程为：，代入，‎ 得，‎ 即，知，‎ 故直线与椭圆有且仅有一个公共点． …………………………13分 B A C D ‎19．解：(Ⅰ）①在中，，，，‎ 由余弦定理，，‎ 所以．………………3分 ‎②在中，，，， ‎ ‎.‎ 由正弦定理，，‎ 得，，‎ 则． …………6分 ‎(Ⅱ）选用(Ⅰ）中的②的函数关系式，，‎ ‎，‎ 由得，，记，‎ 则当时，，；当时，，；‎ 所以当，时，总路程最小值为，‎ 此时，，‎ 答：当时，总路程最小,最小值为． ……………………13分 ‎20．解：（Ⅰ）依题可得 ，‎ 当时，恒成立，函数在上单调递增；‎ 当时，由，解得或，‎ 单调递增区间为和． ……………………………4分 ‎（Ⅱ）设切线与直线的公共点为，当时，，‎ 则，因此以点为切点的切线方程为．‎ 因为点在切线上，所以，即．‎ 同理可得方程. ……………………………6分 设，则原问题等价于函数至少有两个不同的零点.‎ 因为，‎ 当或时，，单调递增，当时，，单调递减．‎ 因此，在处取极大值，在处取极小值．‎ 若要满足至少有两个不同的零点，则需满足解得．‎ 故存在，且交点纵坐标的取值范围为． …………………………………10分 ‎(Ⅲ）由(Ⅰ）知，，即． ………………………………11分 本题答案不唯一，以下几个答案供参考：‎ ‎①，其中；‎ ‎②其中；‎ ‎③其中． ………………14分 ‎21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 解：（Ⅰ）由已知得，矩阵． ………………3分 ‎（Ⅱ）矩阵，它所对应的变换为解得 把它代人方程整理，得 ， ‎ 即经过矩阵变换后的曲线方程为 .　 ……………………7分 ‎（注：先计算，再求曲线方程，可相应酌情给分）‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 解法一：（Ⅰ）由得，，‎ 即曲线的直角坐标方程为． ………………………………3分 ‎（Ⅱ）由直线经过点，得直线的直角坐标方程是，‎ 联立，消去，得，又点是抛物线的焦点，‎ 由抛物线定义，得弦长． ……………………7分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ………………………………3分 ‎（Ⅱ）由直线经过点，得，直线的参数方程为 将直线的参数方程代入，得，‎ 所以． ……………………7分 ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）因为，且，所以，由柯西不等式 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴的最小值为． ……………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为，由题意可得，∴，‎ ‎ 则实数的取值范围为． ……………………………7分