2020届二轮复习离散型随机变量的分布列2学案（全国通用）

2020届二轮复习离散型随机变量的分布列2学案（全国通用）

‎　离散型随机变量的分布列(二)‎ 学习目标　1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布.‎ 知识点一　两点分布 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率.‎ 知识点二　超几何分布 思考1　在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式.‎ 答案　.‎ 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列 X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ 为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.‎ 类型一　两点分布 例1　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列.‎ 解　由题设可知X服从两点分布 P(X＝0)＝＝；‎ P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P 反思与感悟　两步法判断一个分布是否为两点分布 ‎(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.‎ ‎(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.‎ 跟踪训练1　篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列.‎ 解　由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎0.15‎ ‎0.85‎ 类型二　超几何分布 例2　一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.‎ ‎(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率.‎ ‎(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列.‎ 解　(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝＝.‎ ‎(2)由题意知X＝0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 反思与感悟　超几何分布的求解步骤 ‎(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.‎ 具有该特征的概率模型为超几何分布模型.‎ ‎(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义.‎ ‎(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来.‎ 跟踪训练2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列.‎ 解　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.‎ 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.‎ ‎(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 类型三　分布列的实际应用 例3　某项大型运动会即将举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高(单位：cm)编成如下茎叶图：‎ 若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.‎ ‎(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？‎ ‎(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”‎ 的人数，试写出ξ的分布列.‎ 解　(1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人.用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人.‎ 用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有‘高个子’被选中”，‎ 则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.‎ 因此，至少有1人是“高个子”的概率是.‎ ‎(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.‎ 因此，ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 反思与感悟　(1)在求某些比较难计算的事件的概率时，我们可以先求随机变量取其他值时的概率，再根据概率之和为1的性质即可解决问题.‎ ‎(2)在解决含有“至少”“至多”的问题时，利用对立事件进行求解不失为一种好方法.‎ 跟踪训练3　袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：‎ ‎(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎(2)随机变量X的概率分布列；‎ ‎(3)计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率.‎ 解　(1)方法一　“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.‎ 方法二　“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件.‎ 因为P(B)＝＝，‎ 所以P(A)＝1－＝.‎ ‎(2)由题意，X所有可能的取值是2,3,4,5，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，‎ P(X＝5)＝＝.‎ 所以随机变量X的概率分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.‎ ‎1.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为(　　)‎ A. B. C.1－ D. 答案　D 解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，‎ 则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.‎ ‎2.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率等于的是(　　)‎ A.P(ξ＝2) B.P(ξ≤2)‎ C.P(ξ＝4) D.P(ξ≤4)‎ 答案　C 解析　由P(ξ＝4)＝可得.‎ ‎3.若随机变量ξ只能取两个值0,1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.‎ 解　由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以P(ξ＝1)＝，故P(ξ＝0)＝.所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ P ‎4.交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.‎ 解　设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10.‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ P(ξ＝10)＝＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ P ‎1.两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布、两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量.‎ ‎2.超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N、M和n就可以根据公式：‎ P(X＝k)＝求出X取不同值k时的概率.学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M、N、n、k的含义.‎ 一、选择题 ‎1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(　　)‎ A. B. C.1－ D. 答案　C 解析　出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为，故答案为1－.‎ ‎2.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)‎ A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B.从7名男生3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 答案　B 解析　由超几何分布的定义可知B正确.‎ ‎3.10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a＝(　　)‎ A.1 B.2或8 C.2 D.8‎ 答案　B 解析　由题意知，＝，‎ 解得：a＝2或8.‎ ‎4.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)‎ A.0 B. C. D. 答案　B 解析　设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.‎ 依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.‎ 故p(ξ＝0)＝1－p＝.‎ ‎5.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　　)‎ A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的 答案　C 解析　“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，‎ 则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4).∴P(X＝1)＝，‎ P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.‎ ‎6.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X＝3)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　“X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P(X＝3)＝＝＝，选D.‎ 二、填空题 ‎7.若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.‎ 答案　0.8‎ 解析　由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，‎ ‎∴P(Y＝－2)＝0.8.‎ ‎8.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________.‎ 答案　 解析　设10个球中有白球m个，‎ 则＝1－，解得：m＝5.‎ P(X＝2)＝＝.‎ ‎9.有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________.(用式子表示)‎ 答案　 解析　二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台.‎ ‎10.袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________.‎ 答案　 解析　由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝.‎ 三、解答题 ‎11.一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球.‎ ‎(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；‎ ‎(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列.‎ 解　(1)X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎(2)∵P(X＝0)＝＝，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎12.一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列.‎ 解　依题意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11.‎ 则有P(η＝5)＝＝，‎ P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，‎ P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，‎ P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.‎ 所以η的分布列为：‎ η ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ P ‎13.某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被派的机会是相同的.‎ ‎(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，试求出n与x的值；‎ ‎(2)记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列.‎ 解　(1)从n位优秀毕业学生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为C＝，2位学生中恰有1位女生的结果数为CC＝(n－3)×3.‎ 依题意可得＝＝，‎ 化简得n2－11n＋30＝0，‎ 解得n1＝5，n2＝6.‎ 当n＝5时，x＝5－3＝2；‎ 当n＝6时，x＝6－3＝3，‎ 故所求的值为n＝5，x＝2或n＝6，x＝3.‎ ‎(2)①当n＝5，x＝2时，X可能的取值为0,1,2，‎ X＝0表示只选派2位男生，‎ P(X＝0)＝＝，‎ X＝1表示选派1位男生与1位女生，‎ P(X＝1)＝＝，‎ X＝2表示选派2位女生，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎②当n＝6，x＝3时，X可能的取值为0,1,2.‎ X＝0表示只选派2位男生，P(X＝0)＝＝，‎ X＝1表示选派1位男生与1位女生，‎ P(X＝1)＝＝，‎ X＝2表示选派2位女生，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P