【数学】2018届一轮复习苏教版（理）直线与椭圆的位置关系教案（江苏专用）

【数学】2018届一轮复习苏教版（理）直线与椭圆的位置关系教案（江苏专用）

第 48 课 直线与椭圆的位置关系 [最新考纲] 要求 内容 A B C 直线与椭圆的位置关系 √ 1．直线与椭圆的位置关系 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元二次方程： ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)． 考虑一元二次方程的判别式 Δ，有 (1)Δ＞0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切； (3)Δ＜0⇔直线与椭圆相离． 2．弦长公式 设斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 AB ＝ (x1－x2)＋(y1－y2)2＝ 1＋k2·|x1 － x2| ＝ 1＋k2· (x1＋x2)2－4x1x2＝ 1＋1 k2|y1－y2|. 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是直线 l 与椭圆 C 只有一个公共 点．(　　) (2)过x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)焦点的直线 x＝c 交曲线于 A，B 两点，则 AB＝b2 a .(　　) (3)直线 y＝kx(k≠0)与椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)交于不同的 A，B 两点，F 是椭 圆的右焦点，则 S△ABF 的最大值为 bc.(　　) (4)直线 y＝k(x－1)＋1 与椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 的位置关系随 k 的变化而变化．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2 4 ＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则 AB 的最大值为________． 4 10 5 　[设直线 l 的方程为 y＝x＋t，代入x2 4 ＋y2＝1 得 5 4x2＋2tx＋t2－1＝0， 由题意得 Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即 t2<5.∴AB＝4 2× 5－t2 5 ≤4 10 5 .] 3．已知 F1，F2 是椭圆x2 16 ＋y2 9 ＝1 的两焦点，过点 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为________． 6　[由椭圆定义知，Error!两式相加得 AB＋AF1＋BF1＝16， 即△AF1B 周长为 16，又因为在△AF1B 中，有两边之和是 10，所以第三边 长度为 16－10＝6.] 4．已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线 交 C 于 A，B 两点，且 AB＝3，则 C 的方程为__________． x2 4 ＋y2 3 ＝1　[依题意，设椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)． 过点 F2(1,0)且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长 AB＝3， ∴点 A (1，3 2)必在椭圆上， ∴ 1 a2 ＋ 9 4b2 ＝1.① 又由 c＝1，得 1＋b2＝a2.② 由①②联立，得 b2＝3，a2＝4. 故所求椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1.] 5．若椭圆x2 4 ＋y2 2 ＝1 中过点 P(1,1)的弦恰好被 P 平分，则此弦所在直线的方 程是________． x＋2y－3＝0　[设弦的两个端点分别为(x1，y1)，(x2，y2)则 Error! ①－②得1 4(x1＋x2)(x1－x2)＋1 2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 又 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∴y1－y2 x1－x2 ＝－1 2. 即所求直线的方程为 y－1＝－1 2(x－1)，即 x＋2y－3＝0.] 定点问题 　椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为1 2 ，其左焦点到点 P(2,1)的距离 为 10. (1)求椭圆 C 的标准方程． (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左、右顶点)， 且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点． 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标． [解]　(1)因为左焦点(－c,0)到点 P(2,1)的距离为 10，所以 (2＋c)2＋1＝ 10， 解得 c＝1. 又 e＝c a ＝1 2 ，解得 a＝2，所以 b2＝a2－c2＝3. 所以所求椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error! 消去 y 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，化为 3＋4k2>m2. 所以 x1＋x2＝－8mk 3＋4k2 ，x1x2＝4(m2－3) 3＋4k2 . y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2 ＝3(m2－4k2) 3＋4k2 . 因为以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 D(2,0)，kAD·kBD＝－1， 所以 y1 x1－2· y2 x2－2 ＝－1， 所以 y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 所以3(m2－4k2) 3＋4k2 ＋4(m2－3) 3＋4k2 ＋ 16mk 3＋4k2 ＋4＝0. 化为 7m2＋16mk＋4k2＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－2k 7 . 且满足 3＋4k2－m2>0. 当 m＝－2k 时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾； 当 m＝－2k 7 时，l: y＝k(x－2 7)，直线过定点(2 7 ，0). 综上可知，直线 l 过定点(2 7 ，0). [规律方法]　定点问题的求解策略 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而 该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐 标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． [变式训练 1]　已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，右顶点为 A，且 AF＝1. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P，且与直线 x＝4 交 于点 Q，问：是否存在一个定点 M(t,0)，使得MP → ·MQ → ＝0.若存在，求出点 M 的 坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：62172265】 图 48­1 [解]　(1)由 c＝1，a－c＝1，得 a＝2，∴b＝ 3，故椭圆 C 的标准方程为x2 4 ＋ y2 3 ＝1. (2)由Error! 消去 y 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12) ＝0，即 m2＝3＋4k2. 设 P(xp，yp)，则 xp＝－ 4km 3＋4k2 ＝－4k m ， yp＝kxp＋m＝－4k2 m ＋m＝3 m ，即 P(－4k m ，3 m). ∵M(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴MP → ＝(－4k m －t，3 m)，MQ → ＝(4－t,4k＋m)，∴MP → ·MQ → ＝(－4k m －t)·(4－t)＋ 3 m·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋4k m(t－1)＝0 恒成立， 故Error!即 t＝1. ∴存在点 M(1,0)符合题意. 定值问题 　(2017·南京模拟)已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率 e＝ 2 2 ，一条准 线方程为 x＝2.过椭圆的上顶点 A 作一条与 x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于 另一点 P，P 关于 x 轴的对称点为 Q. 图 48­2 (1)求椭圆的方程； (2)若直线 AP，AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为 m，n，求证：mn 为常数， 并求出此常数. 【导学号：62172266】 [解]　(1)因为c a ＝ 2 2 ，a2 c ＝2， 所以 a＝ 2，c＝1，所以 b＝ a2－c2＝1. 故椭圆的方程为x2 2 ＋y2＝1. (2)法一：设 P 点坐标为(x1，y1)，则 Q 点坐标为(x1，－y1)． 因为 kAP＝y1－1 x1－0 ＝y1－1 x1 ，所以直线 AP 的方程为 y＝y1－1 x1 x＋1. 令 y＝0，解得 m＝－ x1 y1－1. 因为 kAQ＝－y1－1 x1－0 ＝－y1＋1 x1 ，所以直线 AQ 的方程为 y＝－y1＋1 x1 x＋1. 令 y＝0，解得 n＝ x1 y1＋1. 所以 mn＝ －x1 y1－1 × x1 y1＋1 ＝ x21 1－y21. 又因为(x1，y1)在椭圆x2 2 ＋y2＝1 上，所以x21 2 ＋y21＝1，即 1－y21＝x21 2 ， 所以 x21 1－y21 ＝2，即 mn＝2. 所以 mn 为常数，且常数为 2. 法二：设直线 AP 的斜率为 k(k≠0)，则 AP 的方程为 y＝kx＋1，令 y＝0， 得 m＝－1 k. 联立方程组Error! 消去 y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得 xA＝0，xP＝－ 4k 1＋2k2 ， 所以 yP＝k×xP＋1＝1－2k2 1＋2k2 ， 则 Q 点的坐标为(－ 4k 1＋2k2，－1－2k2 1＋2k2). 所以 kAQ＝ －1－2k2 1＋2k2－1 － 4k 1＋2k2 ＝ 1 2k ，故直线 AQ 的方程为 y＝ 1 2kx＋1. 令 y＝0，得 n＝－2k， 所以 mn＝(－1 k )×(－2k)＝2. 所以 mn 为常数，常数为 2. [规律方法]　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入 代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式， 再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式 进行化简、变形即可求得． [变式训练 2]　(2017·扬州期中)如图 48­3，已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)， 离心率为1 2.过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)．点 D 在椭圆 C 上，且 AD⊥AB. 图 48­3 (1)若椭圆 C 的右准线方程为：x＝4，求椭圆 C 的方程； (2)设直线 BD，AB 的斜率分别为 k1，k2，求k1 k2 的值． [解]　(1)∵Error!解得Error!∴b2＝3，∴椭圆方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)法一：设 A(x1，y1)，D(x2，y2)，则 B(－x1，－y1)． ∵A，D 在椭圆上， ∴Error!∴ 1 a2(x1＋x2)(x1－x2)＋ 1 b2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴ 1 a2 ＋ 1 b2kAD·kBD＝0，∵e＝c a ＝1 2 ，∴b2 a2 ＝3 4 ，∴k1＝－ 3 4kAD. ∵AD⊥AB，∴k2＝－ 1 kAD ，∴k1 k2 ＝ － 3 4kAD － 1 kAD ＝3 4. 法二：设 A(x0，y0)，D(x1，y1)，则 B(－x0，－y0)． 则 kAD·kBD＝y1－y0 x1－x0·y1＋y0 x1＋x0 ＝y21－y20 x21－x20 ＝ b2(1－x21 a2)－b2(1－x20 a2) x21－x20 ＝－b2 a2 ，下同法一. 最值(范围)问题 　已知椭圆x2 2 ＋y2＝1 上两个不同的点 A，B 关于直线 y＝mx＋ 1 2 对 称． 图 48­4 (1)求实数 m 的取值范围； (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． [解]　(1)由题意知 m≠0，可设直线 AB 的方程为 y＝－1 mx＋b.由Error!消去 y， 得 (1 2 ＋ 1 m2)x2－2b mx＋b2－1＝0. 因为直线 y＝－1 mx＋b 与椭圆x2 2 ＋y2＝1 有两个不同的交点， 所以 Δ＝－2b2＋2＋ 4 m2>0.① 将线段 AB 中点 M( 2mb m2＋2 ， m2b m2＋2) 代入直线方程 y＝mx＋1 2 解得 b＝－m2＋2 2m2 .② 由①②得 m<－ 6 3 或 m> 6 3 . 故 m 的取值范围是(－∞，－ 6 3 )∪( 6 3 ，＋∞). (2)令 t＝1 m ∈(－ 6 2 ，0)∪(0， 6 2 )， 则 AB＝ t2＋1· －2t4＋2t2＋3 2 t2＋1 2 . 且 O 到直线 AB 的距离为 d＝ t2＋1 2 t2＋1 . 设△AOB 的面积为 S(t)， 所以 S(t)＝1 2AB·d ＝1 2 －2(t2－1 2)2＋2≤ 2 2 ， 当且仅当 t2＝1 2 ，即 m＝± 2时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为 2 2 . [规律方法]　解决圆锥曲线中的取值范围问题的 5 种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值 范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个 参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域， 从而确定参数的取值范围． [变式训练 3]　(2017·常州模拟)已知圆 x 2＋y2＝1 过椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0) 的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线 l：y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＝1 相切， 与椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 相交于 A，B 两点．记 λ＝OA → ·OB → ，且2 3 ≤λ≤3 4. (1)求椭圆的方程； (2)求 k 的取值范围； (3)求△OAB 的面积 S 的取值范围． [解]　(1)由题意知 2c＝2，所以 c＝1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点， 从而 b＝1，故 a＝ 2， 所以所求椭圆方程为x2 2 ＋y2＝1. (2)因为直线 l：y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＝1 相切， 所以原点 O 到直线 l 的距离为 |m| 12＋k2 ＝1， 即 m2＝k2＋1. 由Error! 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－4km 1＋2k2 ，x1x2＝2m2－2 1＋2k2 . λ＝OA → ·OB → ＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝ k2＋1 1＋2k2 ， 由2 3 ≤λ≤3 4 ，得1 2 ≤k2≤1， 即 k 的取值范围是[－1，－ 2 2 ]∪[ 2 2 ，1]. (3)AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝2－ 2 (2k2＋1)2 ， 由1 2 ≤k2≤1，得 6 2 ≤AB≤4 3. 设△OAB 的 AB 边上的高为 d，则 d＝1， 则 S＝1 2ABd＝1 2AB， 所以 6 4 ≤S≤2 3. 即△OAB 的面积 S 的取值范围是[ 6 4 ，2 3]. [思想与方法] 1．有关弦的三个问题 涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及 垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问 题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解． 2．圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些 问题． (2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及 意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种 明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本 不等式法、配方法及导数法求解． [易错与防范] 1．求范围问题要注意变量自身的范围． 2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证 Δ>0 或说明中点在 曲线内部． 3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法． 课时分层训练(四十八) A 组　基础达标 (建议用时：30 分钟) 1．如图 48­5，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)过点 A(2,1)，离心率为 3 2 . 图 48­5 (1)求椭圆的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于 B，C 两点(异于点 A)，线段 BC 被 y 轴平分，且 AB⊥AC，求直线 l 的方程. 【导学号：62172267】 [解]　(1)由条件知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为 e＝c a ＝ 3 2 ， 所以 b2＝a2－c2＝1 4a2. 又点 A(2,1)在椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)上， 所以 4 a2 ＋ 1 b2 ＝1， 解得Error! 所以，所求椭圆的方程为x2 8 ＋y2 2 ＝1. (2)将 y＝kx＋m(k≠0)代入椭圆方程，得 x2＋4(kx＋m)2－8＝0， 整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0.　① 由线段 BC 被 y 轴平分，得 xB＋xC＝－ 8mk 1＋4k2 ＝0， 因为 k≠0，所以 m＝0. 因为当 m＝0 时，B，C 关于原点对称，设 B(x，kx)，C(－x，－kx)， 由方程①，得 x2＝ 8 1＋4k2 ， 又因为 AB⊥AC，A(2,1)， 所以AB → ·AC → ＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k 2)x2＝5－8(1＋k2) 1＋4k2 ＝0， 所以 k＝±1 2. 由于 k＝1 2 时，直线 y＝1 2x 过点 A(2,1)，故 k＝1 2 不符合题设． 所以，此时直线 l 的方程为 y＝－1 2x. 2．已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 P 到两个焦点 F1， F2 的距离之和为 4，离心率为 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 y＝kx＋1 与曲线 C 交于 A，B 两点，求△OAB 面积的取值范围． [解]　(1)设椭圆的标准方程为y2 a2 ＋x2 b2 ＝1(a>b>0)， 由条件可得 a＝2，c＝ 3，b＝1，故椭圆 C 的方程y2 4 ＋x2＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0， 故 x1＋x2＝－ 2k k2＋4 ，x1x2＝－ 3 k2＋4. 设△OAB 的面积为 S，由 x1x2＝－ 3 k2＋4<0， 知 S＝1 2(|x1|＋|x2|)＝1 2|x1－x2| ＝1 2 (x1＋x2)2－4x1x2＝2 k2＋3 (k2＋4)2 ， 令 k2＋3＝t，知 t≥3，∴S＝2 1 t＋1 t ＋2 ， 对函数 y＝t＋1 t(t≥3)，知 y′＝1－1 t2 ＝t2－1 t2 >0， ∴y＝t＋1 t 在 t∈[3，＋∞)上单调递增， ∴t＋1 t ≥10 3 ，∴0< 1 t＋1 t ＋2 ≤ 3 16 ，∴S∈(0， 3 2 ]. B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2017·苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝ 1(a>b>0)过点 P(1，3 2)，离心率为1 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点． ①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为 t， 求 t 的最大值； ②若直线 l 的斜率为 3 2 ，试探究 OA2＋OB2 是否为定值？若是定值，则求出 此定值；若不是定值，请说明理由. 【导学号：62172268】 [解]　(1) 1 a2 ＋ 9 4b2 ＝1， a2－b2 a ＝1 2 ，得 a2＝4，b2＝3. 所以椭圆 C：x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)①设直线 l 的方程为 x＝my＋1，直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x 1，y1)， B(x2，y2)， 由Error!化简得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知 Δ>0， 所以 y1＋y2＝－ 6m 3m2＋4 ，y1y2＝－ 9 3m2＋4 ， 所以 kAP·kBP＝ y1－3 2 x1－1· y2－3 2 x2－1 ＝ y1－3 2 my1 · y2－3 2 my2 ＝ 1 m2· y1y2－3 2 (y1＋y2)＋9 4 y1y2 ＝－1 m －3 4 ， 所以 t＝kAB·kAP·kBP＝－ 1 m2 － 3 4m ＝－(1 m ＋3 8)2＋ 9 64 ， 所以当 m＝－8 3 时，t 有最大值 9 64. ②设直线 l 的方程为 y＝ 3 2 x＋n，直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，Error!得 3x2＋2 3nx＋2n2－6＝0， Δ＝(2 3n)2－4×3(2n2－6)>0，即－ 6

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