石景山区2016届高三一模数学（文）试题及答案

石景山区2016届高三一模数学（文）试题及答案

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷 高三数学（文）‎ 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的(　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．如图所示，已知正方形的边长为，点从点出发，按字母顺序沿线段，，运动到点，在此过程中的最大值是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．函数，的部分图象如图所示，则的值分别是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知抛物线的动弦的中点的横坐标为，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．将数字，，，，，书写在每一个骰子的六个表面上，做成枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图和所示的两个柱体，则柱体和的表面（不含地面）数字之和分别是( )‎ A B A． B． C． D．‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．双曲线的焦距是________，渐近线方程是________．‎ ‎10．若变量满足约束条件 则的最大值等于_______．‎ ‎11．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 ‎《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为14，20，则输出的＝______．‎ ‎12．设，，，则的大小关系是________．(从小到大排列)‎ ‎13．已知函数若直线与函数的图象只有一个交点，则实数的取值范围是____________．　‎ ‎14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．‎ 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 得分 甲 ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎5‎ 乙 ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎5‎ 丙 ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎6‎ 丁 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎？‎ 丁得了_______________分．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 已知在等比数列中，，且是和的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 设△的内角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求，的值．‎ ‎17．（本小题共13分）‎ 交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵．晚高峰时段()，从某市交通指挥中心选取了市区个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求出轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵路段各有多少个；‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法从交通指数在，，的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少1个路段为轻度拥堵的概率．‎ ‎18．（本小题共14分）‎ 如图，在直四棱柱中，，，点是棱上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）试确定点的位置，使得 平面⊥平面．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅲ）当时，方程无解，求的取值范围．‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设动点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于两点．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）△的面积是否存在最大值？若存在，求出此时△的面积；若不存在，说明理由．‎ 石景山区2015—2016学年第一学期期末考试 高三数学（文）参考答案 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B D C A C A B A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎，‎ ‎(第9题第一空2分， 第二空3分)‎ 三、解答题共6小题，共80分．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 解: （Ⅰ）设公比为，则，， …………1分 ‎∵是和的等差中项，‎ ‎∴，， ……………3分 解得或（舍）， ……………5分 ‎ ‎∴． .……………6分 ‎（Ⅱ），‎ 则． .……………13分 ‎16．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ），由正弦定理得，‎ ‎ .……………2分 在△中，，即， ……………4分 ‎． .……………6分 ‎（Ⅱ） ，由正弦定理得， .……………8分 由余弦定理，得，‎ ‎.……………10分 解得，∴． .……………13分 ‎17．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）由直方图可知：‎ ‎，，．‎ 所以这个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个，个，个．‎ ‎ .……………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知拥堵路段共有个，按分层抽样从个路段中选出个，每种情况分别为：，，，即这三个级别路段中分别抽取的个数为，，． .……………8分 ‎（Ⅲ）记（Ⅱ）中选取的个轻度拥堵路段为，选取的个中度拥堵路段为，选取的个严重拥堵路段为，‎ 则从个路段选取个路段的可能情况如下：‎ ‎，， ，，， ， ， ，，，，，，，共种可能，‎ 其中至少有个轻度拥堵的有：，， ，，， ， ， ，共种可能.‎ ‎∴所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为． .……………13分 ‎18．（本小题共14分）‎ 解:（Ⅰ）证明：由直四棱柱，‎ 得∥，，‎ ‎∴是平行四边形，∴∥ ..……………2分 ‎∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面 ..……………4分 ‎（Ⅱ）证明：∵平面，平面，∴.‎ 又∵，且，‎ ‎∴平面. .……………7分 ‎∵平面，∴. .……………9分 ‎（Ⅲ）当点为棱的中点时，平面平面. ……………10分 证明如下：‎ 取的中点，的中点，连接交于，连接，如图所示．‎ ‎∵是的中点，，‎ ‎∴.‎ 又∵是平面与平面的交线，‎ 平面⊥平面，‎ ‎∴平面 ..……………12分 由题意可得是的中点，‎ ‎∴∥且，‎ 即四边形是平行四边形．‎ ‎∴∥.‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，∴平面⊥平面 .……………14分 ‎19．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ），‎ 令解得，‎ 易知在上单调递减，在上单调递增，‎ 故当时，有极小值 ...……………4分 ‎（Ⅱ）令，则， ...……………5分 由（Ⅰ）知，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以. ..……………8分 ‎（Ⅲ）方程，整理得，‎ 当时，. ...……………9分 令，‎ 则， ...……………10分 令，解得，‎ 易得在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以时，有最小值， ...……………12分 而当越来越靠近时，的值越来越大，‎ 又当，方程无解，‎ 所以. ...……………14分 ‎20．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹是以点，为焦点，长半轴长为的椭圆，故曲线的方程为. ...……………3分 ‎ （Ⅱ）存在△面积的最大值． ...……………4分 因为直线过点，‎ 所以可设直线的方程为或(舍)．‎ 由条件得整理得，‎ ‎.‎ 设，其中.‎ 解得，， ...……………7分 则，‎ 则 ‎...……………10分 设，则，‎ 则在区间上为增函数，所以.‎ 所以，当且仅当时等号成立，即.‎ 所以的最大值为. ....……………13分 ‎【注：若有其它解法，请酌情给分】‎