2014年广东省高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2014年广东省高考数学试卷(理科)

‎2014年广东省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本小题共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1.(5分)已知集合M{﹣1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=(  )‎ A.{0,1} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2} D.{﹣1,0,1}‎ ‎2.(5分)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=(  )‎ A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i ‎3.(5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎4.(5分)若实数k满足0<k<9,则曲线﹣=1与曲线﹣=1的(  )‎ A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 ‎5.(5分)已知向量=(1,0,﹣1),则下列向量中与成60°夹角的是(  )‎ A.(﹣1,1,0) B.(1,﹣1,0) C.(0,﹣1,1) D.(﹣1,0,1)‎ ‎6.(5分)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(  )‎ A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10‎ ‎7.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.l1⊥l4 B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 ‎8.(5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{﹣1,0,1},i={1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为(  )‎ A.60 B.90 C.120 D.130‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)‎ ‎9.(5分)不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为   .‎ ‎10.(5分)曲线y=e﹣5x+2在点(0,3)处的切线方程为   .‎ ‎11.(5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为   .‎ ‎12.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=   .‎ ‎13.(5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=   .‎ ‎ ‎ ‎(二)、选做题(14~15题,考生只能从中选作一题)【坐标系与参数方程选做题】‎ ‎14.(5分)(极坐标与参数方程)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为   .‎ ‎ ‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若f(θ)+f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).‎ ‎17.(13分)随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:‎ 分组 频数 频率 ‎[25,30]‎ ‎3‎ ‎0.12‎ ‎(30,35]‎ ‎5‎ ‎0.20‎ ‎(35,40]‎ ‎8‎ ‎0.32‎ ‎(40,45]‎ n1‎ f1‎ ‎(45,50]‎ n2‎ f2‎ ‎(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;‎ ‎(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.‎ ‎18.(13分)如图,四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.‎ ‎(1)证明:CF⊥平面ADF;‎ ‎(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.‎ ‎19.(14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n,n∈N*,且S3=15.‎ ‎(1)求a1,a2,a3的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎20.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.‎ ‎21.(14分)设函数f(x)=,其中k<﹣2.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);‎ ‎(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;‎ ‎(3)若k<﹣6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).‎ ‎ ‎ ‎2014年广东省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本小题共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1.(5分)已知集合M{﹣1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=(  )‎ A.{0,1} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2} D.{﹣1,0,1}‎ ‎【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵集合M{﹣1,0,1},N={0,1,2},‎ ‎∴M∪N={﹣1,0,1,2},‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=(  )‎ A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i ‎【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得z的值.‎ ‎【解答】解:∵复数z满足(3+4i)z=25,则z====3﹣4i,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=2x+y,得y=﹣2x+z,‎ 平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A,‎ 直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小,‎ 由,解得,‎ 即A(﹣1,﹣1),此时z=﹣2﹣1=﹣3,此时n=﹣3,‎ 平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B,‎ 直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,‎ 由,解得,‎ 即B(2,﹣1),此时z=2×2﹣1=3,即m=3,‎ 则m﹣n=3﹣(﹣3)=6,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)若实数k满足0<k<9,则曲线﹣=1与曲线﹣=1的(  )‎ A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 ‎【分析】根据k的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及a,b,c的大小关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:当0<k<9,则0<9﹣k<9,16<25﹣k<25,‎ 即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=25,b2=9﹣k,c2=34﹣k,‎ 曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=25﹣k,b2=9,c2=34﹣k,‎ 即两个双曲线的焦距相等,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断a,b,c是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知向量=(1,0,﹣1),则下列向量中与成60°夹角的是(  )‎ A.(﹣1,1,0) B.(1,﹣1,0) C.(0,﹣1,1) D.(﹣1,0,1)‎ ‎【分析】根据空间向量数量积的坐标公式,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:不妨设向量为=(x,y,z),‎ A.若=(﹣1,1,0),则cosθ==,不满足条件.‎ B.若=(1,﹣1,0),则cosθ===,满足条件.‎ C.若=(0,﹣1,1),则cosθ==,不满足条件.‎ D.若=(﹣1,0,1),则cosθ==,不满足条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算,根据向量的坐标公式是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(  )‎ A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10‎ ‎【分析】根据图1可得总体个数,根据抽取比例可得样本容量,计算分层抽样的抽取比例,求得样本中的高中学生数,再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.‎ ‎【解答】解:由图1知:总体个数为3500+2000+4500=10000,‎ ‎∴样本容量=10000×2%=200,‎ 分层抽样抽取的比例为,‎ ‎∴高中生抽取的学生数为40,‎ ‎∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样的特征是关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥‎ l4,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.l1⊥l4 B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 ‎【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得,∴l1与l4的位置关系不确定.‎ ‎【解答】解:∵l1⊥l2,l2⊥l3,∴l1与l3的位置关系不确定,‎ 又l4⊥l3,∴l1与l4的位置关系不确定.‎ 故A、B、C错误.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定,考查了学生的空间想象能力,在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{﹣1,0,1},i={1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为(  )‎ A.60 B.90 C.120 D.130‎ ‎【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手,讨论xi所有取值的可能性,分为5个数值中有2个是0,3个是0和4个是0三种情况进行讨论.‎ ‎【解答】解:由于|xi|只能取0或1,且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”,因此5个数值中有2个是0,3个是0和4个是0三种情况:‎ ‎①xi中有2个取值为0,另外3个从﹣1,1中取,共有方法数:;‎ ‎②xi中有3个取值为0,另外2个从﹣1,1中取,共有方法数:;‎ ‎③xi中有4个取值为0,另外1个从﹣1,1中取,共有方法数:.‎ ‎∴总共方法数是++=130.‎ 即元素个数为130.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题看似集合题,其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中,分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法,也是高考中一定会考查到的思想方法.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)‎ ‎9.(5分)不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为 (﹣∞,﹣3]∪[2,+∞) .‎ ‎【分析】把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.‎ ‎【解答】解:由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5,可得①,或 ②,或 ③.‎ 解①求得x≤﹣3,解②求得 x∈∅,解③求得x≥2.‎ 综上,不等式的解集为(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞),‎ 故答案为:(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞).‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)曲线y=e﹣5x+2在点(0,3)处的切线方程为 y=﹣5x+3. .‎ ‎【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率,点斜式写出切线方程.‎ ‎【解答】解;y′=﹣5e﹣5x,∴k=﹣5,‎ ‎∴曲线y=e﹣5x+2在点(0,3)处的切线方程为y﹣3=﹣5x,即y=﹣5x+3.‎ 故答案为:y=﹣5x+3‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为  .‎ ‎【分析】根据条件确定当中位数为6时,对应的条件即可得到结论 ‎【解答】解:从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,有C107种方法,‎ 若七个数的中位数是6,则只需从0,1,2,3,4,5,选3个,从7,8,9中选3个不同的数即可,有C63种方法,则这七个数的中位数是6的概率P==,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查古典概率的计算,注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则= 2 .‎ ‎【分析】已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,再利用正弦定理变形即可得到结果.‎ ‎【解答】解:将bcosC+ccosB=2b,利用正弦定理化简得:sinBcosC+sinCcosB=2sinB,‎ 即sin(B+C)=2sinB,‎ ‎∵sin(B+C)=sinA,‎ ‎∴sinA=2sinB,‎ 利用正弦定理化简得:a=2b,‎ 则=2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20= 50 .‎ ‎【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5,然后利用对数的运算性质化简后得答案.‎ ‎【解答】解:∵数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,‎ ‎∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,‎ ‎∴a10a11=e5,‎ ‎∴lna1+lna2+…lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10‎ ‎=ln(e5)10=lne50=50.‎ 故答案为:50.‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的运算性质,考查对数的运算性质,考查了计算能力,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎(二)、选做题(14~15题,考生只能从中选作一题)【坐标系与参数方程选做题】‎ ‎14.(5分)(极坐标与参数方程)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为 (1,1) .‎ ‎【分析】首先运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,将极坐标方程化为普通方程,然后组成方程组,解之求交点坐标.‎ ‎【解答】解:曲线C1:ρsin2θ=cosθ,即为ρ2sin2θ=ρcosθ,‎ 化为普通方程为:y2=x,‎ 曲线ρsinθ=1,化为普通方程为:y=1,‎ 联立,‎ 即交点的直角坐标为(1,1).‎ 故答案为:(1,1).‎ ‎【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化,考查解方程的运算能力,属于基础题 ‎ ‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= 9 .‎ ‎【分析】利用ABCD是平行四边形,点E在AB上且EB=2AE,可得=,利用△CDF∽△AEF,可求.‎ ‎【解答】解:∵ABCD是平行四边形,点E在AB上且EB=2AE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴△CDF∽△AEF,‎ ‎∴=()2=9.‎ 故答案为:9.‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定,考查三角形的面积比,属于基础题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若f(θ)+f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).‎ ‎【分析】(1)由函数f(x)的解析式以及f()=,求得A的值.‎ ‎(2)由(1)可得 f(x)=sin(x+),根据f(θ)+f(﹣θ)=,求得cosθ 的值,再由 θ∈(0,),求得sinθ 的值,从而求得f(﹣θ) 的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.‎ ‎∴Asin(+)=Asin=A•=,‎ ‎∴A=.‎ ‎(2)由(1)可得 f(x)=sin(x+),‎ ‎∴f(θ)+f(﹣θ)=sin(θ+)+sin(﹣θ+)=2sincosθ=cosθ=,‎ ‎∴cosθ=,再由 θ∈(0,),可得sinθ=.‎ ‎∴f(﹣θ)=sin(﹣θ+)=sin(π﹣θ)=sinθ=.‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换,同角三角函数的基本关系,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:‎ 分组 频数 频率 ‎[25,30]‎ ‎3‎ ‎0.12‎ ‎(30,35]‎ ‎5‎ ‎0.20‎ ‎(35,40]‎ ‎8‎ ‎0.32‎ ‎(40,45]‎ n1‎ f1‎ ‎(45,50]‎ n2‎ f2‎ ‎(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;‎ ‎(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.‎ ‎【分析】(1)利用所给数据,可得样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;‎ ‎(2)根据上述频率分布表,可得样本频率分布直方图;‎ ‎(3)利用对立事件可求概率.‎ ‎【解答】解:(1)(40,45]的频数n1=7,频率f1=0.28;(45,50]的频数n2=2,频率f2=0.08;‎ ‎(2)频率分布直方图:‎ ‎(3)设在该厂任取4人,没有一人的日加工零件数落在区间(30,35]为事件A,则至少有一人的日加工零件数落在区间(30,35]为事件,‎ 已知该厂每人日加工零件数落在区间(30,35]的概率为,‎ ‎∴P(A)==,‎ ‎∴P()=1﹣P(A)=,‎ ‎∴在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为.‎ ‎【点评】本题考查了频数分布表,频数分布直方图和概率的计算,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)如图,四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.‎ ‎(1)证明:CF⊥平面ADF;‎ ‎(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.‎ ‎【分析】(1)结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF,即得所求;‎ ‎(2)由已知数据求出必要的线段的长度,建立空间直角坐标系,由向量法计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,‎ 又CD⊥AD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD,‎ ‎∴AD⊥PC,又AF⊥PC,‎ ‎∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF;‎ ‎(2)设AB=1,在RT△PDC中,CD=1,∠DPC=30°,‎ ‎∴PC=2,PD=,由(1)知CF⊥DF,‎ ‎∴DF=,AF==,‎ ‎∴CF==,又FE∥CD,‎ ‎∴,∴DE=,同理可得EF=CD=,‎ 如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,0,1),E(,0,0),F(,,0),P(,0,0),C(0,1,0)‎ 设向量=(x,y,z)为平面AEF的法向量,则有,,‎ ‎∴,令x=4可得z=,∴=(4,0,),‎ 由(1)知平面ADF的一个法向量为=(,1,0),‎ 设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ,可知θ为锐角,‎ cosθ=|cos<,>|===‎ ‎∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为:‎ ‎【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值,建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n,n∈N*,且S3=15.‎ ‎(1)求a1,a2,a3的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎【分析】(1)在数列递推式中取n=2得一关系式,再把S3变为S2+a3得另一关系式,联立可求a3,然后把递推式中n取1,再结合S3=15联立方程组求得a1,a2;‎ ‎(2)由(1)中求得的a1,a2,a3的值猜测出数列的一个通项公式,然后利用数学归纳法证明.‎ ‎【解答】解:(1)由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n,n∈N*,得:‎ S2=4a3﹣20 ①‎ 又S3=S2+a3=15 ②‎ 联立①②解得:a3=7.‎ 再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1,得:‎ a1=2a2﹣7 ③‎ 又S3=a1+a2+7=15 ④‎ 联立③④得:a2=5,a1=3.‎ ‎∴a1,a2,a3的值分别为3,5,7;‎ ‎(2)∵a1=3=2×1+1,a2=5=2×2+1,a3=7=2×3+1.‎ 由此猜测an=2n+1.‎ 下面由数学归纳法证明:‎ ‎1、当n=1时,a1=3=2×1+1成立.‎ ‎2、假设n=k时结论成立,即ak=2k+1.‎ 那么,当n=k+1时,‎ 由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n,得,‎ ‎,‎ 两式作差得:.‎ ‎∴‎ ‎==2(k+1)+1.‎ 综上,当n=k+1时结论成立.‎ ‎∴an=2n+1.‎ ‎【点评】本题考查数列递推式,训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题,考查了学生的灵活应变能力和计算能力,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.‎ ‎【分析】(1)根据焦点坐标和离心率求得a和b,则椭圆的方可得.‎ ‎(2)设出切线的方程,带入椭圆方程,整理后利用△=0,整理出关于k的一元二次方程,利用韦达定理表示出k1•k2,进而取得x0和y0的关系式,即P点的轨迹方程.‎ ‎【解答】解:(1)依题意知,求得a=3,b=2,‎ ‎∴椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P的坐标为(±3,±2),符合题意,‎ ‎②当两条切线斜率均存在时,设过点P(x0,y0)的切线为y=k(x﹣x0)+y0,‎ ‎+=+=1,整理得(9k2+4)x2+18k(y0﹣kx0)x+9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,‎ ‎∴△=[18k(y0﹣kx0)]2﹣4(9k2+4)×9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,‎ 整理得(x02﹣9)k2﹣2x0×y0×k+(y02﹣4)=0,‎ ‎∴﹣1=k1•k2==﹣1,‎ ‎∴x02+y02=13.‎ 把点(±3,±2)代入亦成立,‎ ‎∴点P的轨迹方程为:x2+y2=13.‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程,轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程,最重要的是建立模型求得x和y关系.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)设函数f(x)=,其中k<﹣2.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);‎ ‎(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;‎ ‎(3)若k<﹣6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).‎ ‎【分析】(1)利用换元法,结合函数成立的条件,即可求出函数的定义域.‎ ‎(2)根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.‎ ‎(3)根据函数的单调性,即可得到不等式的解集.‎ ‎【解答】解:(1)设t=x2+2x+k,则f(x)等价为y=g(t)=,‎ 要使函数有意义,则t2+2t﹣3>0,解得t>1或t<﹣3,‎ 即x2+2x+k>1或x2+2x+k<﹣3,‎ 则(x+1)2>2﹣k,①或(x+1)2<﹣2﹣k,②,‎ ‎∵k<﹣2,∴2﹣k>﹣2﹣k,‎ 由①解得x+1>或x+1,即x>﹣1或x,‎ 由②解得﹣<x+1<,即﹣1﹣<x<﹣1+,‎ 综上函数的定义域为(﹣1,+∞)∪(﹣∞,﹣1﹣)∪(﹣1﹣,﹣1+).‎ ‎(2)f′(x)==‎ ‎=﹣,‎ 由f'(x)>0,即2(x2+2x+k+1)(x+1)<0,则(x+1+)(x+1﹣)(x+1)<0‎ 解得x<﹣1﹣或﹣1<x<﹣1+,结合定义域知,x<﹣1﹣或﹣1<x<﹣1+,‎ 即函数的单调递增区间为:(﹣∞,﹣1﹣),(﹣1,﹣1+),‎ 同理解得单调递减区间为:(﹣1﹣,﹣1),(﹣1+,+∞).‎ ‎(3)由f(x)=f(1)得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)﹣3=(3+k)2+2(3+k)﹣3,‎ 则[(x2+2x+k)2﹣(3+k)2]+2[(x2+2x+k)﹣(3+k)]=0,‎ ‎∴(x2+2x+2k+5)(x2+2x﹣3)=0‎ 即(x+1+)(x+1﹣)(x+3)(x﹣1)=0,‎ ‎∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1,‎ ‎∵k<﹣6,‎ ‎∴1∈(﹣1,﹣1+),﹣3∈(﹣1﹣,﹣1),‎ ‎∵f(﹣3)=f(1)=f(﹣1﹣)=f(﹣1+),‎ 且满足﹣1﹣∈(﹣∞,﹣1﹣),﹣1+∈(﹣1+,+∞),‎ 由(2)可知函数f(x)在上述四个区间内均单调递增或递减,结合图象,要使f(x)>f(1)的集合为:‎ ‎()∪(﹣1﹣,﹣3)∪(1,﹣1+)∪(﹣1+,﹣1+).‎ ‎【点评】本题主要考查函数定义域的求法,以及复合函数单调性之间的关系,利用换元法是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.‎ ‎ ‎
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