2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)

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2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)

‎2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)设z=,则z的共轭复数为(  )‎ A.﹣1+3i B.﹣1﹣3i C.1+3i D.1﹣3i ‎2.(5分)设集合M={x|x2﹣3x﹣4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=(  )‎ A.(0,4] B.[0,4) C.[﹣1,0) D.(﹣1,0]‎ ‎3.(5分)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则(  )‎ A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b ‎4.(5分)若向量、满足:||=1,(+)⊥,(2+)⊥,则||=(  )‎ A.2 B. C.1 D.‎ ‎5.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(  )‎ A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 ‎6.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1‎ ‎7.(5分)曲线y=xex﹣1在点(1,1)处切线的斜率等于(  )‎ A.2e B.e C.2 D.1‎ ‎8.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(  )‎ A. B.16π C.9π D.‎ ‎9.(5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若 ‎|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于(  )‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎11.(5分)已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是(  )‎ A.y=g(x) B.y=g(﹣x) C.y=﹣g(x) D.y=﹣g(﹣x)‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)的展开式中x2y2的系数为   .(用数字作答)‎ ‎14.(5分)设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为   .‎ ‎15.(5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于   .‎ ‎16.(5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.‎ ‎18.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,a2为整数,且Sn≤S4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.‎ ‎(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;‎ ‎(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.‎ ‎20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;‎ ‎(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.‎ ‎21.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.‎ ‎22.(12分)函数f(x)=ln(x+1)﹣(a>1).‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:<an≤(n∈N*).‎ ‎ ‎ ‎2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)设z=,则z的共轭复数为(  )‎ A.﹣1+3i B.﹣1﹣3i C.1+3i D.1﹣3i ‎【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则z的共轭可求.‎ ‎【解答】解:∵z==,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)设集合M={x|x2﹣3x﹣4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=(  )‎ A.(0,4] B.[0,4) C.[﹣1,0) D.(﹣1,0]‎ ‎【分析】求解一元二次不等式化简集合M,然后直接利用交集运算求解.‎ ‎【解答】解:由x2﹣3x﹣4<0,得﹣1<x<4.‎ ‎∴M={x|x2﹣3x﹣4<0}={x|﹣1<x<4},‎ 又N={x|0≤x≤5},‎ ‎∴M∩N={x|﹣1<x<4}∩{x|0≤x≤5}=[0,4).‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则(  )‎ A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b ‎【分析】可得b=sin35°,易得b>a,c=tan35°=>sin35°,综合可得.‎ ‎【解答】解:由诱导公式可得b=cos55°=cos(90°﹣35°)=sin35°,‎ 由正弦函数的单调性可知b>a,‎ 而c=tan35°=>sin35°=b,‎ ‎∴c>b>a 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)若向量、满足:||=1,(+)⊥,(2+)⊥,则||=(  )‎ A.2 B. C.1 D.‎ ‎【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得(+)•=0,(2+)•=0,由此求得||.‎ ‎【解答】解:由题意可得,(+)•=+=1+=0,∴=﹣1;‎ ‎(2+)•=2+=﹣2+=0,∴b2=2,‎ 则||=,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(  )‎ A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 ‎【分析】‎ 根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,‎ 再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,‎ 则不同的选法共有15×5=75种;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1‎ ‎【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程.‎ ‎【解答】解:∵△AF1B的周长为4,‎ ‎∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,‎ ‎∴4a=4,‎ ‎∴a=,‎ ‎∵离心率为,‎ ‎∴,c=1,‎ ‎∴b==,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)曲线y=xex﹣1在点(1,1)处切线的斜率等于(  )‎ A.2e B.e C.2 D.1‎ ‎【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率.‎ ‎【解答】解:函数的导数为f′(x)=ex﹣1+xex﹣1=(1+x)ex﹣1,‎ 当x=1时,f′(1)=2,‎ 即曲线y=xex﹣1在点(1,1)处切线的斜率k=f′(1)=2,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(  )‎ A. B.16π C.9π D.‎ ‎【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积.‎ ‎【解答】解:设球的半径为R,则 ‎∵棱锥的高为4,底面边长为2,‎ ‎∴R2=(4﹣R)2+()2,‎ ‎∴R=,‎ ‎∴球的表面积为4π•()2=.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵双曲线C的离心率为2,‎ ‎∴e=,即c=2a,‎ 点A在双曲线上,‎ 则|F1A|﹣|F2A|=2a,‎ 又|F1A|=2|F2A|,‎ ‎∴解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,||F1F2|=2c,‎ 则由余弦定理得cos∠AF2F1===.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于(  )‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵数列{an}是等比数列,a4=2,a5=5,‎ ‎∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.‎ ‎∴lga1+lga2+…+lga8‎ ‎=lg(a1a2•…•a8)‎ ‎=‎ ‎4lg10‎ ‎=4.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB与CD所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案.‎ ‎【解答】解:如图,过A点做AE⊥l,使BE⊥β,垂足为E,过点A做AF∥CD,过点E做EF⊥AE,连接BF,‎ ‎∵AE⊥l ‎ ‎∴∠EAC=90°‎ ‎∵CD∥AF 又∠ACD=135°‎ ‎∴∠FAC=45°‎ ‎∴∠EAF=45°‎ 在Rt△BEA中,设AE=a,则AB=2a,BE=a,‎ 在Rt△AEF中,则EF=a,AF=a,‎ 在Rt△BEF中,则BF=2a,‎ ‎∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF,‎ ‎∴cos∠BAF===.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是(  )‎ A.y=g(x) B.y=g(﹣x) C.y=﹣g(x) D.y=﹣g(﹣x)‎ ‎【分析】设P(x,y)为y=f(x)的反函数图象上的任意一点,则P关于y=x的对称点P′(y,x)一点在y=f(x)的图象上,P′(y,x)关于直线x+y=0的对称点P″(﹣x,﹣y)在y=g(x)图象上,代入解析式变形可得.‎ ‎【解答】解:设P(x,y)为y=f(x)的反函数图象上的任意一点,‎ 则P关于y=x的对称点P′(y,x)一点在y=f(x)的图象上,‎ 又∵函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,‎ ‎∴P′(y,x)关于直线x+y=0的对称点P″(﹣x,﹣y)在y=g(x)图象上,‎ ‎∴必有﹣y=g(﹣x),即y=﹣g(﹣x)‎ ‎∴y=f(x)的反函数为:y=﹣g(﹣x)‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)的展开式中x2y2的系数为 70 .(用数字作答)‎ ‎【分析】‎ 先求出二项式展开式的通项公式,再令x、y的幂指数都等于2,求得r的值,即可求得展开式中x2y2的系数.‎ ‎【解答】解:的展开式的通项公式为 Tr+1=•(﹣1)r••=•(﹣1)r••,‎ 令 8﹣=﹣4=2,求得 r=4,‎ 故展开式中x2y2的系数为 =70,‎ 故答案为:70.‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为 5 .‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得C(1,1).‎ 化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得.‎ 由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大.‎ 此时zmax=1+4×1=5.‎ 故答案为:5.‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于  .‎ ‎【分析】设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值,可得cosθ、tanθ 的值,再根据tan2θ=,计算求得结果.‎ ‎【解答】解:设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,‎ 且点A与圆心O之间的距离为OA==,‎ 圆的半径为r=,‎ ‎∴sinθ==,‎ ‎∴cosθ=,tanθ==,‎ ‎∴tan2θ===,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是 (﹣∞,2] .‎ ‎【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令t=sinx换元,根据给出的x的范围求出t的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围.‎ ‎【解答】解:由f(x)=cos2x+asinx ‎=﹣2sin2x+asinx+1,‎ 令t=sinx,‎ 则原函数化为y=﹣2t2+at+1.‎ ‎∵x∈(,)时f(x)为减函数,‎ 则y=﹣2t2+at+1在t∈(,1)上为减函数,‎ ‎∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下,且对称轴方程为t=.‎ ‎∴,解得:a≤2.‎ ‎∴a的取值范围是(﹣∞,2].‎ 故答案为:(﹣∞,2].‎ ‎【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.‎ ‎【分析】由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)即可得出.‎ ‎【解答】解:∵3acosC=2ccosA,‎ 由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,‎ ‎∴3tanA=2tanC,‎ ‎∵tanA=,‎ ‎∴2tanC=3×=1,解得tanC=.‎ ‎∴tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)=﹣=﹣=﹣1,‎ ‎∵B∈(0,π),‎ ‎∴B=‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,a2为整数,且Sn≤S4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)通过Sn≤S4得a4≥0,a5≤0,利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4,进而可得结论;‎ ‎(2)通过an=13﹣3n,分离分母可得bn=(﹣),并项相加即可.‎ ‎【解答】解:(1)在等差数列{an}中,由Sn≤S4得:‎ a4≥0,a5≤0,‎ 又∵a1=13,‎ ‎∴,解得﹣≤d≤﹣,‎ ‎∵a2为整数,∴d=﹣4,‎ ‎∴{an}的通项为:an=17﹣4n;‎ ‎(2)∵an=17﹣4n,‎ ‎∴bn===﹣(﹣),‎ 于是Tn=b1+b2+……+bn ‎=﹣[(﹣)+(﹣)+……+(﹣)]‎ ‎=﹣(﹣)‎ ‎=.‎ ‎【点评】本题考查求数列的通项及求和,考查并项相加法,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.‎ ‎(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;‎ ‎(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得;‎ ‎(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,解三角形由反三角函数可得.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,‎ ‎∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC ‎∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,‎ 由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,‎ 又AC1⊥BC,A1C∩BC=C,‎ ‎∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,‎ ‎∴AC1⊥A1B;‎ ‎(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,‎ ‎∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,‎ 作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,‎ 又直线AA1∥平面BCC1B1,‎ ‎∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=,‎ ‎∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D=A1E=,‎ 作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,‎ 又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D=A1,‎ ‎∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF ‎∴A1F⊥AB,‎ ‎∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,‎ 由AD==1可知D为AC中点,‎ ‎∴DF==,‎ ‎∴tan∠A1FD==,‎ ‎∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan ‎【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;‎ ‎(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.‎ ‎【分析】记Ai表示事件:同一工作日乙丙需要使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需要设备,C表示事件,丁需要设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备 ‎(Ⅰ)把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求.‎ ‎(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出PXi,再利用数学期望公式计算即可.‎ ‎【解答】解:由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为 ‎0.6×0.5×0.5×0.4+(1﹣0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1﹣0.5)×0.5×0.4+0.6×0.5×(1﹣0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1﹣0.4)=0.31.‎ ‎(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4‎ P(X=0)=(1﹣0.6)×0.52×(1﹣0.4)=0.06‎ P(X=1)=0.6×0.52×(1﹣0.4)+(1﹣0.6)×0.52×0.4+(1﹣0.6)×2×0.52×(1﹣0.4)=0.25‎ P(X=4)=P(A2•B•C)=0.52×0.6×0.4=0.06,‎ P(X=3)=P(D)﹣P(X=4)=0.25,‎ P(X=2)=1﹣P(X=0)﹣P(X=1)﹣P(X=3)﹣P(X=4)=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38.‎ 故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2‎ ‎【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望,关键是找到独立的事件,计算要有耐心,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得 p的值,可得C的方程.‎ ‎(Ⅱ)设l的方程为 x=my+1 (m≠‎ ‎0),代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px(p>0),‎ 可得x0=,∵点P(0,4),∴|PQ|=.‎ 又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,‎ ‎∴+=×,求得 p=2,或 p=﹣2(舍去).‎ 故C的方程为 y2=4x.‎ ‎(Ⅱ)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,y2=4x的焦点F(1,0),‎ 设l的方程为 x=my+1(m≠0),‎ 代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0,显然判别式△=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1•y2=﹣4.‎ ‎∴AB的中点坐标为D(2m2+1,2m),弦长|AB|=|y1﹣y2|==4(m2+1).‎ 又直线l′的斜率为﹣m,∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3.‎ 过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,‎ 把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4(2m2+3)=0,∴y3+y4=,y3•y4=﹣4(2m2+3).‎ 故线段MN的中点E的坐标为(+2m2+3,),∴|MN|=|y3﹣y4|=,‎ ‎∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,‎ ‎∴+DE2=MN2,‎ ‎∴4(m2+1)2 ++=×,化简可得 m2﹣1=0,‎ ‎∴m=±1,∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0,或 x+y﹣1=0.‎ ‎【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)函数f(x)=ln(x+1)﹣(a>1).‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:<an≤(n∈N*).‎ ‎【分析】(Ⅰ)求函数的导数,通过讨论a的取值范围,即可得到f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)利用数学归纳法即可证明不等式.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(﹣1,+∞),f′(x)=,‎ ‎①当1<a<2时,若x∈(﹣1,a2﹣2a),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(﹣1,a2﹣2a)上是增函数,‎ 若x∈(a2﹣2a,0),则f′(x)<0,此时函数f(x)在(a2﹣2a,0)上是减函数,‎ 若x∈(0,+∞),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎②当a=2时,f′(x)≥0,此时函数f(x)在(﹣1,+∞)上是增函数,‎ ‎③当a>2时,若x∈(﹣1,0),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(﹣1,0)上是增函数,‎ 若x∈(0,a2﹣2a),则f′(x)<0,此时函数f(x)在(0,a2‎ ‎﹣2a)上是减函数,‎ 若x∈(a2﹣2a,+∞),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(a2﹣2a,+∞)上是增函数.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a=2时,此时函数f(x)在(﹣1,+∞)上是增函数,‎ 当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=0,‎ 即ln(x+1)>,(x>0),‎ 又由(Ⅰ)知,当a=3时,f(x)在(0,3)上是减函数,‎ 当x∈(0,3)时,f(x)<f(0)=0,ln(x+1)<,‎ 下面用数学归纳法进行证明<an≤成立,‎ ‎①当n=1时,由已知 ‎,故结论成立.‎ ‎②假设当n=k时结论成立,即,‎ 则当n=k+1时,an+1=ln(an+1)>ln(),‎ ak+1=ln(ak+1)<ln(),‎ 即当n=k+1时,成立,‎ 综上由①②可知,对任何n∈N•结论都成立.‎ ‎【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及利用数学归纳法证明不等式,综合性较强,难度较大.‎ ‎ ‎
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