安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考数学文试题（解析版）

安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考数学文试题（解析版）

高三年级三月份联考 数学（文科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到集合，再和集合求交集即可得出结果.‎ ‎【详解】解不等式得，所以，又，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2.设（，为虚数单位），则的表达式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的运算法则化简，再由复数相等求出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，又，所以，‎ 因此.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则以及复数相等的充要条件即可，属于基础题型.‎ ‎3.曲线在点处的切线经过点，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，求出，进而可得切线方程，再由切线过点，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，故，又，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，又该切线过点，所以，解得.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，先对函数求导，求出函数在点处的切线方程即可，属于常考题型.‎ ‎4.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）‎ A. 100000元 B. 95000元 C. 90000元 D. 85000元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据折线图求得年的就医费用，然后求得年的就医费用，这个费用除以即可求得年家庭总收入.‎ ‎【详解】由已知得，2017年的就医费用为元，故2018年的就医费用为12750元，所以该教师2018年的家庭总收入为元.故选D ‎【点睛】本小题主要考查阅读分析能力，图表分析能力，考查生活中的数学问题，属于基础题.‎ ‎5.已知，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值.‎ ‎【详解】，得，‎ 而.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.‎ ‎6.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所有截面都是等腰三角形，根据三角形的面积公式可知，当顶角为时，面积取得最大值，由此求得最大的截面面积.‎ ‎【详解】将三视图还原，可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥，故过其顶点的截面面积.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥的截面面积最大值的计算，考查三角形面积公式，属于中档题.‎ ‎7.若是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，则点在圆：内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，可知点构成正方形区域，求出正方形的面积以及圆的面积，即可由面积比得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，所以点的所有取值构成边长为4的正方形区域，且正方形面积为；‎ 如图所示，作出满足题意的正方形和圆，‎ 在圆：内，由可得，所以，所以；‎ 因此，‎ 所以阴影部分面积为，‎ 所以点在圆：内的概率为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎8.函数的部分图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令求得，排除选项.通过的值排除A选项.通过的值排除D选项.由此得到正确选项.‎ ‎【详解】当时，由知，选项C不正确；‎ 又因为 ，所以选项A不正确；‎ 当时，，故选项D不正确，‎ 可知选项B正确.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查特殊值法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎9.已知直线：与轴，轴分别交于点，，点在椭圆上运动，则面积的最大值为（ ）‎ A. 6 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线方程求出点，坐标，得到长度，再由椭圆方程设出点坐标，根据点到直线距离公式，求出三角形的高，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为：与轴，轴分别交于点，，所以，，因此，‎ 又点在椭圆上运动，所以可设，‎ 所以点到直线的距离为(其中)，所以.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，需要用到点到直线距离公式等，属于常考题型.‎ ‎10.已知锐角的角，，的对边分别为，，，且，三角形的面积，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的面积求得边上的高，设，用勾股定理求得的表达式，利用二次函数求值域的方法求得的取值范围.‎ ‎【详解】设边上的高为，‎ 则，则.以为直径作圆，显然在圆外，故为锐角，又、为锐角，设，因为已证为锐角，所以的取值因，为锐角限定，所以，所以 ，对称轴为，由，对称轴时取得最小值，两端是最大值（不能取得），可得的取值范围为.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查勾股定理，考查二次函数求值域的方法，属于中档题.‎ ‎11.在中，，，，过的中点作平面的垂线，点在该垂线上，当时，三棱锥外接球的半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，，可得，因此为底面外接圆圆心，所以外接球球心在上，记球心为，连结，即可结合勾股定理求解.‎ ‎【详解】因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则，‎ 所以，又，所以在中，，即，解得.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，右顶点为，以为圆心，（为坐标原点）为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到，，求出，再由双曲线的定义结合求出，两式相等，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可得，，因为，所以，又因点在双曲线的右支上，所以，因为，所以；因此，即，所以，解得，因为，所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知向量，，，若向量与向量共线，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量共线，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为向量，，所以；又，向量与向量共线，所以，解得.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型.‎ ‎14.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中数据求出抽样比，确定每乡抽取的人数，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以 北乡比南乡多抽人.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，只需依题意确定抽样比即可求解，属于基础题型.‎ ‎15.若，满足约束条件，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由约束条件作出可行域，再由目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，结合图像即可得出结果.‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域如下：‎ 因为目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，所以由图像可得或，由解得；由解得；‎ 所以，，因此的取值范围是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.‎ ‎16.已知函数，函数是定义域为的奇函数，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意求出，再由是定义域为的奇函数，求出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，，所以，即，‎ 又函数是定义域为的奇函数，所以，‎ 因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，熟记函数奇偶性定义即可，属于基础题型.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，，公差为.‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在，使成立？若存在，试找出所有满足条件的，的值，并求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，求出，即可求出结果；‎ ‎（2）由等差数列的前项和公式和，先得到，再分别取以及，逐一验证即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（1）当时，由，‎ 得，‎ 解得，‎ 所以.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由题可知,‎ 由，得,‎ 即，‎ 所以.‎ 令时，得不存在；‎ 时，得符合.‎ 此时数列的通项公式为；‎ 时，得不符合；‎ 时，得符合，‎ 此时数列的通项公式为；‎ 时，得符合.‎ 此时数列的通项公式为；‎ 时，得不符合，时，得不符合；‎ 时，得不符合，时，均不符合，‎ 所以存在3组，其解与相应的通项公式分别为 ‎，，；‎ ‎，，；‎ ‎，，.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎18.如图（一），在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置得到图（二），点为棱上的动点.‎ ‎（1）当在何处时，平面平面，并证明；‎ ‎（2）若，，证明：点到平面的距离等于点到平面的距离，并求出该距离.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先判断出点为棱中点时，平面平面；再根据面面垂直的判定定理即可得出结论成立；‎ ‎（2）先由(1)得到平面平面，且交线为，再过点作交的延长线于点，从而可得就是点到底面的距离，最后由，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：（1）当点为棱中点时，平面平面.‎ 证明如下：‎ 在图（一）的直角梯形中，，，，是的中点，‎ 所以.‎ 在图（二）中，有，，，平面，平面，‎ 所以平面.‎ 又平面，‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 由于，‎ 为的中点，‎ 所以.‎ 又因为，平面，平面，‎ 所以平面.‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）图（一）中，由及条件关系，‎ 得，‎ 由（1）的证明可知，在图（二）中有平面.‎ 所以平面平面，且交线为，‎ 所以过点作交的延长线于点，‎ 由平面平面，可知平面，‎ 所以就是点到底面的距离.‎ 由知，‎ 所以.‎ 设点到平面的距离为，‎ 由，‎ 得 ，‎ 即，‎ 即得点到平面的距离等于点到平面距离，且为.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，以及点到面的距离问题，需要考生熟记面面垂直的判定定理，灵活掌握等体积法等，属于常考题型.‎ ‎19.为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛，学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛，将参加预选赛的学生成绩（单位：分）按范围，，，分组，得到的频率分布直方图如图：‎ ‎（1）计算这次预选赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）若对得分在前的学生进行校内奖励，估计获奖分数线；‎ ‎（3）若这60名学生中男女生比例为，成绩不低于60分评估为“成绩良好”，否则评估为“成绩一般”，试完成下面列联表，是否有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关？‎ 成绩良好 成绩一般 合计 男生 女生 合计 附：，‎ 临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）56分；（2）67.5分；（3）有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）平均值等于每组的中间值乘以该组频率再求和，即可得出结果；‎ ‎（2）根据题意先求出获奖分数线所在的区间，设获奖分数线为，再由题意列出方程，即可求出结果；‎ ‎(3)先求出成绩落在区间的人数，根据60名学生中男女生比例为，求出男女生人数，即可完善列联表，再由公式求出,结合临界值表即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（1）预选赛的平均成绩为（分）.‎ ‎（2）因为成绩落在区间的频率是，成绩落在区间的频率是，，‎ 所以获奖分数线落在区间.‎ 设获奖分数线为，则，‎ 解得，‎ 即获奖分数线为67.5分.‎ ‎（3）成绩落在区间的人数为，‎ 又60人中男女生比例为，故男生40人，女生20人，‎ 可得列联表如下：‎ 成绩良好 成绩一般 合计 男生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 女生 ‎3‎ ‎17‎ ‎20‎ 合计 ‎18‎ ‎42‎ ‎60‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均值的计算，以及独立性检验问题，熟记公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎20.已知抛物线：，圆：.‎ ‎（1）若过抛物线的焦点的直线与圆相切，求直线方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若直线交抛物线于，两点，轴上是否存在点使（为坐标原点）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）切线方程为或.（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得抛物线的焦点，根据点斜式设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的方程.（2）联立直线的方程和抛物线的方程，化简后写出韦达定理，根据，则列方程，解方程求得的值，进而求得点的坐标.‎ ‎【详解】解：（1）由题知抛物线的焦点为，‎ 当直线的斜率不存在时，过点的直线不可能与圆相切；‎ 所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，‎ 设直线斜率为，则所求的直线方程为，即，‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 当直线与圆相切时，有，‎ 所以所求的切线方程为或.‎ ‎（2）由（1）知，不妨设直线：，交抛物线于，两点，‎ 联立方程组，‎ 所以，，‎ 假设存在点使，‎ 则.‎ 而，，‎ 所以 ‎，‎ 即，‎ 故存在点符合条件.‎ 当直线：时，‎ 由对称性易知点也符合条件.‎ 综合可知在（1）的条件下，存在点使.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线方程，考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的交点，综合性较强，属于中档题.直线和圆的位置关系，主要利用的是圆心到直线的距离来求解，也即圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交，若距离等于半径，则直线和圆相切，若距离大于半径，则直线和圆相离.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；‎ ‎（2）将代入函数解析式，得到，根据(1)中结果，得到函数单调性，求出函数极值，即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（1）由，‎ 得，‎ 令，‎ 所以，‎ 所以当时，，恒成立，‎ 即恒成立，‎ 所以单调递增；‎ 当时，，此时方程有两个不相等的根，，不妨设，‎ 令 ，‎ 所以，，‎ 所以当时，，‎ 即，所以单调递增；‎ 当时，，‎ 即，所以单调递减；‎ 当时，，‎ 即，所以单调递增.‎ 综上，当时，在上单调递增；‎ 当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.‎ ‎（2）当时，，‎ 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，函数有极大值，且 ，‎ 当时，函数有极小值，‎ 且 .‎ 又因为，，‎ 所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，‎ 所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法研究函数的单调性和极值等，属于常考题型.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），过点作斜率为的直线与圆交于，两点.‎ ‎（1）若圆心到直线的距离为，求的值；‎ ‎（2）求线段中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由圆的参数方程消去参数得到圆的普通方程，由题意设直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求出结果；‎ ‎（2）由题意，设直线的参数方程为（为参数），代入圆的方程，结合韦达定理写出点E坐标，进而可求出结果.‎ ‎【详解】解：（1）由题知，圆的普通方程为，‎ 即圆的圆心为，半径.‎ 依题可设过点的直线的方程为，即，‎ 设圆心到直线的距离为，‎ 则，‎ 解得.‎ ‎（2）设直线的参数方程为（为参数），，代入圆：，‎ 得.‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，‎ 所以，.‎ 又点的坐标满足，‎ 所以点的轨迹的参数方程为，即 ，‎ 化为普通方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可求解，属于常考题型.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象；‎ ‎（2）若当时，不等式恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）-6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将函数写出分段函数的形式，在坐标系内作出每段的图像即可；‎ ‎(2) 当时，由(1)可求出数的图象与轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，再由不等式恒成立，可求出的范围，进而可求出结果.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎，‎ 其图象如下图：‎ ‎（2）若，由（1）知函数的图象与轴的交点的纵坐标为3，‎ 各部分所在直线的斜率的最小值为-3，‎ 故当且仅当且时时，不等式恒成立，‎ 所以，所以，‎ 故的最大值为-6.‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，通常需要分情况去绝对值求解，属于常考题型.‎