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文档介绍
2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷(全国Ⅱ卷)数学(理)
全国Ⅱ卷 数 学(理) 第 1页(共 6 页) 全国Ⅱ卷 数 学(理) 第 2页(共 6 页) 2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷 理科数学(全国Ⅱ卷) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷 上作答,答案无效。 3.考试结束,请将试题卷、答题卡一并收回。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知复数 1 2 3z i i (其中i 是虚数单位),则 z 在复平面内对应点在( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知集合 22 1 , 6 5 0A x B y y yx ,则 =A B ( ) A. 0,5 B. 0,5 C. 0,3 D. 0,3 3.今有一组实验数据如下: x 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 分别用下列函数模型来拟合变量 y 与 x 的相关关系,其中拟合效果最好的是( ) A. 21 12y x B. 1 2 logy x C. 2logy x D. 2 2.y x 4.《四元玉鉴》是元朝著名数学家朱世杰阐述多年研究成果的一部力著,是宋元数学集大成者。 全书共分 3 卷,24 门,288 问,书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关。其中有一首诗:“我 有一壶酒,携着游春走.遇店添一倍,逢友饮一斗.店友经三处,没了壶中酒.借问此壶中,当原 多少酒?”(“店友经三处”意思是,经过酒店三次,碰到朋友三次.)用程序框图表达如图所示,即 最终输出的 0x (斗),则一开始输入的 x 的值为( ) A. 3 4 B. 7 8 C.15 16 D. 31 32 5.已知向量 a , b 满足 =3a , =2 3b ,且 a a b ,则 a 在 b 方向上的投影为( ) A.3 B. 3 C. 3 3 2 D. 3 3 2 6.实数 x y, 满足 2 2 2 0 2 y x x y x ,则 z x y 的最大值是( ) A.2 B.4 C. 2 2 D.8 7.给出下列 4 个命题: ①方程 2 2 18 4 x y a a 表示双曲线的一个充分不必要条件是 4a ; ②命题 :p “存在 x0∈R,使得 2 0 0 1 0x x ”的否定是“对任意的 x∈R,均有 2 1 0x x < ”; ③回归直线 ˆˆ ˆy a bx ,恒过样本数据的中心 ,x y ; ④若直线 a 平行于平面 内的一条直线b ,则 a ∥ . 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8. △ ABC 的三内角 A,B,C 所对边长分别是 a,b,c,设向量 n=( 3a+c,sin B-sin A),m=(a +b,sin C),若 m∥n,则角 B 的大小为( ) A. π 6 B. π 3 C. 5π 6 D.2π 3 全国Ⅱ卷 数 学(理) 第 3页(共 6 页) 全国Ⅱ卷 数 学(理) 第 4页(共 6 页) 9.下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量“优良”, 空气质量指数大于 200 表示空气“重度污染”,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该 市,并停留两天(于第二天晚上离开).以下由统计图所做的推断中,不正确的是( ) A.此人停留的 2 天空气质量都“优良”的概率为 4 13 B.此人到达当日空气“重度污染”的概率为 2 13 C.此人到达当日空气“优良”的条件下,次日空气“优良”的概率为 2 3 D.此人停留两日至少一天空气“优良”的概率为 7 13 10.函数 ( ) xef x x x 的图象大致是( ) A B C D 11.正四面体 ABCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,则截面面积的最小 值为( ) A. 2π B. 4π C. 8π D.16π 12. 已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x 满足 (1 ) (1 )f x f x ,且当 0 1x 时, 21f x x ( ) .若直线 y x a 与曲线 ( )y f x 恰有三个公共点,那么实数 a 的取值的集合为( ) A. 5( +1 + ) Z4k k k , ( ) B. 52 +1 + Z4k k k ( ,2 )( ) C. 5(2 1) Z4k k k ,2 ( ) D. 5 1 Z4k k k ( , )( ) 第Ⅱ卷(13-21 为必做题,22-23 为选做题,共 90 分.) 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡相应的 题号后的横线上.) 13.在 3 1( )2 nx x 的展开式中,只有第5 项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 。 14.设当 x 时,函数 ( ) sin 2cosf x x x 取得最大值,则 cos ________。 15.一种酒杯是抛物线 2 4x y 绕 y 轴旋转而成的,将长为定值 的质地均匀的玻璃棒随意地放入 酒杯内(假设杯壁足够高,能没入玻璃棒),则玻璃棒的重心到杯底水平线的最小距离 d 关于棒长 的关系式 =d 。 16.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 A1D1 的中点,点 P 在侧面 BCC1B1 上运动.现 有下列命题: ①若点 P 总保持 PA⊥BD,则动点 P 的轨迹是一条线段; ②若点 P 到点 A 的距离为 2 3 3 ,则动点 P 的轨迹是一段圆弧; ③若 P 满足∠PAC1=∠MAC1,则动点 P 的轨迹是一段抛物线; ④若 P 到直线 AD 与直线 CC1 的距离相等,则动点 P 的轨迹是一段抛物线; ⑤若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离比为 1:2,则动点 P 的轨迹是一段双曲线; 其中真命题是 . (写出所有真命题的序号) 全国Ⅱ卷 数 学(理) 第 5页(共 6 页) 全国Ⅱ卷 数 学(理) 第 6页(共 6 页) 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必做题,每个 试题考生都必修作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)设数列 na 的前 n 项和为 nS ,点 *,n na S n N 在直线 2 1 0x y 上. (1)求证:数列 na 是等比数列,并求其通项公式; (2)设直线 nx a 与函数 2f x x 的图象交于点 nA ,与函数 2( ) logg x x 的图象交于点 nB , 记 n n nb OA OB (其中O 为坐标原点),求数列 nb 的前 n 项和 .nT 18.(12 分)本市摄影协会准备在 2019 年 10 月举办主题为“庆祖国 70 华诞——我们都是追梦人”摄影 图片展。通过平常人的镜头,记录国强民富的幸福生活,向祖国母亲的生日献礼.摄影协会收到了 来自社会各界的大量作品, 打算从众多照片中选取 100 张照片展出,其参赛者年龄集中在[ 25 85 ], 之 间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下: 0.005 0.020 25 35 45 55 65 75 85 频率/组距 年龄 0.015 0.025 0.030 0.035 0.010 (1)求这 100 位作者年龄的样本平均数 x 和样本方差 2s (同一组数据用该区间的中点值作代 表); (2)由频率分布直方图可以认为,作者年龄 X 服从正态分布 2( , )N ,其中 近似为样本平 均数 x , 2 近似为样本方差 2s . (i)利用该正态分布,求 (60 73.4)P X ; 附: 4.13180 ,若 2~ ( , )X N ,则 ( ) 0.6826P X , ( 2 2 ) 0.9544P X , ( 3 3 ) 0.9974P X . (ii)摄影协会从年龄在[ 45 55 ], 和[ 65 75 ], 的作者中,按照分层抽样的方法,抽出了 7 人参加 “讲述图片背后的故事”座谈会,现要从中选出 3 人作为代表发言,设这 3 位发言者的年龄落在区 间[ 45 55 ], 的人数是 Y,求变量 Y 的分布列和数学期望. 19.(12 分)一个多面体的三视图和直观图如图所 示,其中正视图和俯视图均为矩形,侧视图为直 角三角形,M 是 AB 的中点. (1)求证:CM⊥平面 FDM; (2)若 N 为线段 FC 上一点,且 FN FC , 二面角 F DM N 的余弦值为 3 3 ,求 的值. 20.(12 分)已知直线 : 1l y kx 与曲线 :C 2 2 2 2 1x y a b ( 0, 0)a b 交于不同的两点 ,A B , O 为坐标 原点. (1)若 1,k | | | |OA OB ,求证:曲线 C 是一个圆; (2)若曲线C 过(0,2)、(1,0),是否存在一定点Q ,使得 QA QB 为定值?若存在,求出定 点 Q 和定值;若不存在,请说明理由. 21.(12 分) 已知函数 2( ) 1 .xf x e x ax (1)当 0x 时,若不等式 0f x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)求证: 0x 时, 2 ln 3sin 2.xe x x x (二)选考题:共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题记分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 已知曲线 1 1 2 2 x tC y t : (t 为参数);以直角坐标系的原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 6sin . (1)分别求曲线 1 2C C、 的直角坐标方程; (2)若曲线 1 2C C、 交于两点 A B, , 点 P 是曲线 2C 上异于点 A B, 任意一点,求 △ PAB 的面积 S 的最大值. 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知函数 3 6f x x x ( ) (1)求不等式 12f x ( ) 的解集; (2)对于正实数 , ,a b c 若不等式 1 2 3f x a b c ( ) 对任意实数 x 恒成立,求 2 3a b c 的最小值.查看更多