2005年湖北省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年湖北省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}．若P={0, 2, 5}，Q={1, 2, 6}，则P+Q中元素的个数是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
2. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3. 已知向量a→=(-2, 2)，b→=(5, k)．若|a→+b→|不超过5，则k的取值范围是（ ）
A.[-4, 6] B.[-6, 4] C.[-6, 2] D.[-2, 6]
4. 函数y=e|lnx|-|x-1|的图象大致是( )
A. B. C. D.
5. 木星的体积约是地球体积的24030倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A.60倍 B.6030倍 C.120倍 D.12030倍
6. 双曲线x2m-y2n=1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为( )
A.316 B.38 C.163 D.83
7. 在y=2x，y=log2x，y=x2这三个函数中，当0
f(x1+x2)2恒成立的函数的个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8. 已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a // c；
②若a // b，b⊥c，则a⊥c；
③若a // β，b⊂β，则a // b；
④若a与b异面，且a // β，则b与β相交；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9. 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）
A.168 B.96 C.72 D.144
10. 若sinα+cosα=tanα(0<α<π2)，则α所在的区间（ ）
A.(0, π6) B.(π6, π4) C.(π4, π3) D.(π3, π2)
11. 在函数y＝x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
12. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，⋯，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
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④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A.②，③都不能为系统抽样 B.②，④都不能为分层抽样
C.①，④都可能为系统抽样 D.①，③都可能为分层抽样
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 函数f(x)=x-2x-3lg4-x的定义域是________．
14. (x3-2x)4+(x+1x)8的展开式中整理后的常数项等于________．
15. 函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为________．
16. 为了了解噪声污染的情况，某市环保局抽样调查了80个测量点的噪声声级（单位：分贝），并进行整理后分成五组，绘制出频率分布直方图，如图所示．已知从左至右前四组的频率分别是0.15，0.25，0.3，0.2，且噪声声级高于69.5分贝就会影响工作和生活，那么影响到工作和生活而需对附近区域进行治理的测量点有________个．
三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）
17. 已知向量a→=(x2, x+1)，b→=(1-x, t)，若函数f(x)=a→⋅b→在区间(-1, 1)上是增函数，求t的取值范围．
18. 在△ABC中，已知tanB=3，cosC=13，AC=36，求△ABC的面积．
19. 设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2-a1)＝b1．
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
20. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1．
（1）求BF的长；
（2）求点C到平面AEC1F的距离．
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21. 某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．
（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（3）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．
22. 设A、B是椭圆3x2+y2＝λ上的两点，点N(1, 3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
(Ⅰ)确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．
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参考答案与试题解析
2005年湖北省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
2.B
3.C
4.D
5.C
6.A
7.B
8.A
9.D
10.C
11.D
12.D
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.[2, 3)∪(3, 4)
14.38
15.2π-12
16.8
三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）
17.依定义f(x)＝x2(1-x)+t(x+1)＝-x3+x2+tx+t，则f'(x)＝-3x2+2x+t．
若f(x)在(-1, 1)上是增函数，则在(-1, 1)上f'(x)≥0恒成立．
∴ f'(x)≥0⇔t≥3x2-2x，在区间(-1, 1)上恒成立，
考虑函数g(x)＝3x2-2x，由于g(x)的图象是对称轴为x=13，开口向上的抛物线，
故要使t≥3x2-2x在区间(-1, 1)上恒成立⇔t≥g(-1)，即t≥5．
而当t≥5时，f'(x)在(-1, 1)上满足f'(x)>0，即f(x)在(-1, 1)上是增函数；
故t的取值范围是t≥5．
18.解：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，tanB=3，得B=60∘，sinB=32，cosB=12．
又sinC=1-cos2C=223，应用正弦定理得c=bsinCsinB=36×2232=8．
∴ sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=32×13+12×223=3+226．
故所求面积S△ABC=12bcsinA=12×36×8×3+226=62+83．
19.（1）：当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝2n2-2(n-1)2＝4n-2，
故{an}的通项公式为an＝4n-2，即{an}是a1＝2，公差d＝4的等差数列．
设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴ q=14．
故bn＝b1qn-1＝2×14n-1，即{bn}的通项公式为bn=24n-1．
(II)∵ cn=anbn=4n-224n-1=(2n-1)4n-1，
Tn＝c1+c2+...+cn
Tn＝1+3×41+5×42+...+(2n-1)4n-1
4Tn＝1×4+3×42+5×43+...+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n
两式相减得，3Tn＝-1-2(41+42+43+...+4n-1)+(2n-1)4n=13[(6n-5)4n+5]
∴ Tn=19[(6n-5)4n+5]
20.解法1：（1）过E作EH // BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH // AD，且EH=AD．
又∵ AF // EC1，∴ ∠FAD=∠C1EH．
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∴ Rt△ADF≅Rt△EHC1．∴ DF=C1H=2．∴ BF=BD2+DF2=26．
（2）延长C1E与CB交于G，连AG，
则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG．
过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，
由三垂线定理可知AG⊥C1M．由于AG⊥面C1MC，且
AG⊂面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC．在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离．
由EBCC1=BGCG可得，BG=1，从而AG=AB2+BG2=17．
由∠GAB=∠MCG知，CM=3cosMCG=3cosGAB=3×417=1217，∴ CQ=CM×CC1MC1=3×121732+12217=43311
解法2：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0, 0, 0)，B(2, 4, 0)，A(2, 0, 0)，C(0, 4, 0)，E(2, 4, 1)，C1(0, 4, 3)．设F(0, 0, z)．
∵ AEC1F为平行四边形，∴ 由AEC1F为平行四边形，∴ 由AF→=EC1→得，(-2, 0, z)=(-2, 0, 2)，∴ z=2．∴ F(0, 0, 2)．∴ BF→=(-2, -4, 2)．于是|BF→|=26，即BF的长为26．
（2）设n1→为平面AEC1F的法向量，显然n1→不垂直于平面ADF，故可设n1→=(x, y, 1)．
n1→⋅AF→=0˙⇒0×x+4×y+1=0-2×x+0×y+2=0即4y+1=0-2x+2=0∴ x=1y=-14.
又CC1→=(0, 0, 3)，设CC1→与n→的夹角为a，则cosα=|CC1→|⋅|n1→|˙33×1+116+1=43333．
∴ C到平面AEC1F的距离为d=|CC1→|cosα=3×43333=43311．
21.解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．
所以寿命为1∼2年的概率应为p1-p2．其分布列为：
寿命
0∼1
1∼2
2∼
P
1-P1
P1-P2
P2
（1）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到
在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p15，需要更换2只灯泡的概率为C52p13(1-p1)2；
（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：
①在第1、2次都更换了灯泡的概率为(1-p1)2；
②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)．
故所求的概率为p=(1-p1)2+p1(1-p2)．
（3）由（2）当p1=0.8，p2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率p=(1-p1)2+p1(p1-p2)=0.22+0.8×0.7=0.6．
在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：
①换5只的概率为p5=0.65；
②换4只的概率为C51p4(1-p)=5×0.64(1-0.6)，
故至少换4只灯泡的概率为：p3=0.65+5×0.64×0.4=0.34．
即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.34．
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22.（1）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y＝k(x-1)+3，
代入3x2+y2＝λ，整理得：(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ＝0①
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1，x2是方程①的两个不同的根，
∴ △＝4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，②
且x1+x2=2k(k-3)k2+3．由N(1, 3)是线段AB的中点，得x1+x2＝2，
∴ k(k-3)＝k2+3解得k＝-1，代入②得λ>12，
即λ的取值范围是(12, +∞)．
于是直线AB的方程为y-3＝-(x-1)，即x+y-4＝0．
解法二：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则有3x12+y12=λ3x22+y22=λ. ⇒3 (x1-x2) (x1+x2)+(y1-y2)＝0．
依题意，x1≠x2，∴ kAB=-3(x1+x2)y1+y2．
∵ N(1, 3)是AB的中点，∴ x1+x2＝2，y1+y2＝6，从而kAB＝-1．
又由N(1, 3)在椭圆内，∴ λ>3×12+32＝12，
∴ λ的取值范围是(12, +∞)．
直线AB的方程为y-3＝-(x-1)，即x+y-4＝0．
（2）解法一：∵ CD垂直平分AB，
∴ 直线CD的方程为y-3＝x-1，即x-y+2＝0代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ＝0．③
又设C(x3, y3)，D(x4, y4)，CD的中点为M(x0, y0)，
则x3，x4是方程③的两根，
∴ x3+x4＝-1，且x0=x3+x42=-12，y0＝x0+2=32，即M(-12, 32)
于是由弦长公式可得|CD|==+(-1k)2⋅|x3-x4|=2(λ-3)．④
将直线AB的方程x+y-4＝0代入椭圆方程得4x2-8x+16-λ＝0．⑤
同理可得|AB|=1+k2⋅|x1-x2|=2(λ-12)．⑥
∵ 当λ>12时，2(λ-3)>2(λ-12)，
∴ |AB|<|CD|．
假设存在λ>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．
点M到直线AB的距离为d=|x0+y0-4|2=|-12+32-4|2=322．⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|2＝|MB|2＝d2+|AB2|2=92+λ-122=λ-32=|CD2|2．
故当λ>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|CD2|为半径的圆上．
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆⇔ACD为直角三角形，A为直角⇔|AN|2＝|CN|⋅|DN|，
即(|AB|2)2=(|CD2|+d)(|CD2|-d)．⑧
由⑥式知，⑧式左边=λ-122，
由④⑦知，⑧式右边＝(2(λ-3)2+322)(2(λ-3)2-322)=λ-32-92=λ-122．
∴ ⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）
解法二：由(Ⅱ)解法一知λ>12，
∵ CD垂直平分AB，
∴ 直线CD的方程为y-3＝x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ＝0．③
将直线AB的方程x+y-4＝0代入椭圆方程整理得4x2-8x+16-λ＝0．⑤
解③和⑤式可得x1,2=2±λ-122，x3,4=-1±λ-32，
不妨设A(1+12λ-12, 3-12λ-12)，
C(-1-λ-32, 3-λ-32)，D(-1+λ-32, 3+λ-32)．
∴ CA→=(3+λ-12+λ-32, 3-λ-12+λ-32)，
DA→=(3+λ-12-λ-32, 3-λ-12-λ-32)，
计算可得CA→⋅DA→=0，
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∴ A在以CD为直径的圆上．
又B为A关于CD的对称点，
∴ A、B、C、D四点共圆．
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