河北省石家庄市元氏县第四中学2019-2020学年高一第二学期摸底考试数学试1卷

河北省石家庄市元氏县第四中学2019-2020学年高一第二学期摸底考试数学试1卷

www.ks5u.com 数学试卷 一．选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（　　）‎ A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” ‎ B．“至多一个红球”与“都是红球” ‎ C．“都是红球”与“都是黄球” ‎ D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”‎ ‎【解答】解：从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，‎ 在A中，“至少一个红球”与“至少一个黄球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；‎ 在B中，“至多一个红球”与“都是红球”是对立事件，故B正确；‎ 在C中，“都是红球”与“都是黄球”是互斥事件，但不是对立事件，故C错误；‎ 在D中，“至少一个红球”与“至多一个黄球”能同时发生，不是互斥事件，故D错误．‎ 故选：B． ‎ ‎2．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：‎ ‎32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45‎ 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（　　）‎ A．522 B．324 C．535 D．578‎ ‎【解答】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适 则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，‎ 则第6个编号为578，‎ 故选：D．‎ ‎3．某班有60名学生，其中男生有40人，现将男、女学生用分层抽样法抽取12人观看校演讲总决赛，则该班中被抽取观看校演讲总决赛的女生人数为（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎【解答】解：由题意可得该班的女生人数为20，‎ 则该班中被抽取观看校演讲总决赛的女生人数为．‎ 故选：C．‎ ‎4．一元二次不等式2x2+x﹣6≥0的解集为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：一元二次不等式2x2+x﹣6≥0可化为 ‎（x+2）（2x﹣3）≥0，‎ 解得x≤﹣2或x≥，‎ 所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．‎ 故选：A． ‎ ‎5．已知等差数列{an}中，a3+a7＝8，则该数列前9项和S9等于（　　）‎ A．4 B．8 C．36 D．72‎ ‎【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a3+a7＝8＝a1+a9，‎ 则该数列前9项和S9＝＝＝36．‎ 故选：C． ‎ ‎6．某地有两个国家AAAA级旅游景区﹣﹣甲景区和乙景区．相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图．关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（　　）‎ A．甲景区月客流量的中位数为12950人 ‎ B．乙景区月客流量的中位数为12450人 ‎ C．甲景区月客流量的极差为3200人 ‎ D．乙景区月客流量的极差为3100人 ‎【解答】解：甲景区月客流量的中位数为12950人，‎ 乙景区月客流量的中位数为12450人．‎ 根据茎叶图的数据，可知甲景区月客流量的极差为3200人，‎ 乙景区月客流量的极差为3000人，‎ 故选：D．‎ ‎7．若等比数列{an}的各项均为正数，a2＝3，4a32＝a1a7，则a5＝（　　）‎ A． B． C．12 D．24‎ ‎【解答】解：数列{an}是等比数列，各项均为正数，4a32＝a1a7＝，所以，所以q＝2．‎ 所以a5＝＝3×23＝24．‎ 故选：D．‎ ‎8．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（　　）‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎6‎ m ‎3‎ ‎2‎ A．变量x，y之间呈现负相关关系 ‎ B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7 ‎ C．m＝4 ‎ D．该回归直线必过点（9，4）‎ ‎【解答】解：对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为，b＝﹣0.7＜0，负相关．‎ 对于B，当x＝20时，代入可得y＝﹣3.7．‎ 对于C：根据表中数据：＝＝9．可得＝4．即，解得：m＝5．‎ 对于D：由线性回归方程一定过（），即（9，4）．‎ 故选：C．‎ ‎9．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数，方差分别是（　　）‎ A．3， B．3， C．4， D．4，‎ ‎【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，‎ ‎∴另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数为：2×2﹣1＝3，‎ 方差为：＝．‎ 故选：A．‎ ‎10．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝，则A等于（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【解答】解：△ABC中，∵a＝2，b＝2，B＝，‎ ‎∴由正弦定理可得 ＝，‎ 解得 sinA＝，∴A＝，或 A＝，‎ 故选：C．‎ ‎11．已知正实数x，y满足x+y＝3，则的最小值（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．‎ ‎【解答】解：∵x+y＝3，x＞0，y＞0，∴（x+y）＝1，‎ ‎∴＝（）（x+y）＝（5++）≥（5+2）＝3，‎ 当且仅当x＝2y即x＝2，y＝1时“＝”成立，‎ 故选：B．‎ ‎12．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°（即∠BAC＝45°）的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在北偏东15°（即∠ABC＝75°）的方向上，仰角∠DBC为30°，则此山的高度CD＝（　　）‎ A．200m B．400m C．600m D．800m ‎【解答】解：△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝600，∠ABC＝75°，‎ ‎∴∠ACB＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ BC＝＝1200，‎ Rt△ABC中，∠DBC＝30°，‎ ‎∴CD＝BCtan∠DBC＝1200×＝400，‎ 则山高CD为400m．‎ 故选：B．‎ 二．填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为　120　．‎ ‎【解答】解：q3＝＝27‎ ‎∴q＝3‎ ‎∴a1＝＝3‎ ‎∴S4＝＝120‎ 故答案为120‎ ‎14．已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，∠B＝60°，则边c＝　4　．‎ ‎【解答】由题意知，∠B＝60°，所以由余弦定理 cos60°＝，故c2﹣2c﹣8＝0，c＝4．‎ 故答案为：4．‎ ‎15．等差数列{an}中，a1＝﹣3，11a5＝5a8，则其前n项和Sn的最小值为　﹣4　．‎ ‎【解答】解：由11a5＝5a8，得6a1+9d＝0，又a1＝﹣3，故d＝2．‎ 故 an＝﹣3+（n﹣1）2＝2n﹣5，故此数列为递增数列．‎ 故等差数列{an}的前2项为负数，从第三项开始为正数，‎ 故前2项的和最小为﹣3+（﹣1）＝﹣4，‎ 故答案为﹣4．‎ ‎16．数列{an}满足前n项和Sn＝n2﹣3n+2，则数列an的通项公式为　an＝　．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足前n项和Sn＝n2﹣3n+2，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣3n+2﹣[（n﹣1）2﹣3（n﹣1）+2]＝2n﹣4，‎ 又∵当n＝1时，a1＝S1＝0≠2×1﹣4，‎ 故an＝．‎ 故答案为：an＝．‎ 三．解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）‎ ‎17．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）求这组数据的中位数；‎ ‎（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10＝1，解得x＝0.02．‎ ‎（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m﹣70）×0.03＝0.5，解得m＝75．‎ ‎（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2‎ 满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，‎ 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，‎ 基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），‎ ‎（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，‎ 利用古典概型概率公式可知P（A）＝0.4．‎ ‎18．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知csinB＝bcosC．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若，，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）因为csinB＝bcosC，根据正弦定理得sinCsinB＝sinBcosC，‎ 又sinB≠0，从而tanC＝1，‎ 由于0＜C＜π，所以．‎ ‎（2）根据余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，而，，，‎ 代入整理得a2﹣4a﹣5＝0，解得a＝5或a＝﹣1（舍去）．‎ 故△ABC的面积为．‎ ‎19．已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2．等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在等差数列{an}中，由题意可知，‎ 解得，‎ ‎∴an＝2n+2．‎ ‎（Ⅱ）在等比数列{bn}中，由题意可知，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎＝（4+6+…+2n+2）+22+24+…+2n+1‎ ‎＝‎ ‎＝n2+3n+2n+2﹣4．‎ ‎20．某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x（万元）与销售收入y（万元）进行了统计，得到相应数据如表：‎ 广告投入x（万元）‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎12‎ 销售收入y（万元）‎ ‎21‎ ‎23‎ ‎21‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎（1）求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程．‎ ‎（2）若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少．‎ 参考公式：‎ ‎【解答】解：（1），，‎ ‎＝，‎ ‎，‎ ‎∴销售收入y关于广告投入x的线性回归方程为；‎ ‎（2）在中，取y＝36，可得，即x＝30．‎ ‎∴若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为30万元．‎ ‎21．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，AB＝2，BD＝4．‎ ‎（1）求△ABD的面积．‎ ‎（2）若∠BAC＝120°，求sinC的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ADC＝60°，‎ ‎∴∠ADB＝120°，‎ 设AD＝t，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，即，‎ ‎∴t＝2（负值舍去），即AD＝2，‎ ‎∴；‎ ‎（2）在△ABD中，由余弦定理有，，‎ 又B为△ABD内角，故，‎ 又∠BAC＝120°，‎ 故×．‎ ‎22．数列{an}的公比q＝2，且a3+1是a2，a4的等差中项．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）在等比数列{an}中q＝2，‎ a2＝a1q＝‎2a1 ，‎ ‎∵a3+1是a2，a4的等差中项，‎ ‎∴2（a3+1）＝a2+a4⇒2（4a1+1）＝2a1+8a1，‎ 解得a1＝1∴，‎ ‎（2），‎ Sn＝b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn，‎ ‎∴Sn＝1×20+2×21+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1①，‎ ‎∴2Sn＝1×21+2×22+3×23+…（n﹣1）×2n﹣1+n×2n②，‎ ‎①﹣②⇒，‎ 整理得