山西省应县第一中学校2018-2019学年高二上学期第一次月考（9月）数学（理）试题

山西省应县第一中学校2018-2019学年高二上学期第一次月考（9月）数学（理）试题

应 县 一 中 高 二 年 级 月 考 一 ‎ 数 学 试 题（理） 2018.9‎ 时间：120分钟 满分：150分 命题人：于文君 一．选择题（共12题，每题5分）‎ ‎1．若直线与直线所成的角相等,则的位置关系为( )‎ A.相交    B.平行 C.异面    D.以上答案都有可能 ‎2．下列说法中正确的是(   )‎ A.棱柱的侧面可以是三角形 B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C.所有的几何体的表面都能展成平面图形 D.棱柱的各条棱都相等 ‎3．给定下列命题，其中正确命题为（　　）‎ A．若一直线与一个平面不平行，则此直线与平面内所有直线不平行，‎ B．若一直线平行于一个平面，则此直线平行于平面内所有直线；‎ C．若一直线与一个平面不垂直，则此直线与平面内所有直线不垂直；‎ D．若一直线垂直于一个平面，则此直线垂直于平面内所有直线；‎ ‎4．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AC⊥AB，BC⊥BD，平面ABC⊥平面BCD．‎ ‎①AC⊥CD②AD⊥BC③平面ABC⊥平面ABD④平面ACD⊥平面ABD．‎ 以上结论正确的个数有（　　）‎ A．1 B．2 ‎ C．4 D．5‎ ‎5.,为异面直线, 平面,平面,直线满足,,,,则(   )‎ A. 且 B. 且 C. 与相交,且交线垂直于 D. 与相交,且交线平行于 ‎6．已知A（5，2），B（﹣1，4），则AB的垂直平分线方程为（　　）‎ A．x﹣3y+7=0 B．3x﹣y﹣3=0 C．3x+y﹣7=0 D．3x﹣y﹣7=0‎ ‎7．下列说法中正确的是(　　)‎ A．平行的两条直线的斜率相等 B．只有斜率相等的两条直线才平行 C．平行的两条直线的倾斜角一定相等 D．垂直的两直线的斜率之积为－1‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎9．过点（2，3），且到原点的距离最大的直线方程是（　　）‎ A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣13=0 C．x=2 D．x+y﹣5=0‎ ‎10．一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面(   )‎ A.至多有一个是直角三角形 B.至多有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形 ‎11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在（　　）位置时，平面D1BQ∥平面PAO．‎ A．Q与C重合 B．Q与C1重合 C．Q为CC1的三等分点 D．Q为CC1的中点 ‎12．棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q是上两动点，且PQ=1，则三棱锥P—AQD的体积为（ ）‎ A. 8 B. C. 3 D. ‎ 二．填空题（共4题，每题5分）‎ ‎13．两个不重合的平面可以把空间分成__________部分.‎ ‎14．已知直线m，n与平面α，β，若m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为　 　．‎ ‎15．已知M（﹣2，1），N（3，2），直线y=kx+1与线段MN有交点，则k的范围是　 　．‎ ‎16．将正方形沿对角线折成直二面角,有如下四个结论: ①;②是等边三角形;③与平面成的角;④与所成的角为。其中正确的编号是　 　． ‎ 三．解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分）‎ ‎17．在空间四边形中，、、、分别是边、、、的中点，对角线且它们所成的角为。‎ ‎( 1 )求证：，( 2 )求四边形的面积。‎ ‎18．过点引三条长度相等不共面的线段、、,且, ,求证:平面平面。‎ ‎19. 已知一个几何体的三视图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求此几何体的表面积；‎ ‎（Ⅱ）正视图中，如果点A为所在线段中点，‎ 点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到 点B的最短路径的长．‎ ‎20. 在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中 点，E，F分别边AB，BC上的点，且==．求证：‎ ‎①点E，F，G，H四点共面；‎ ‎②直线EH，BD，FG相交于一点．‎ ‎21.已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．‎ ‎( 1 )证明：平面PED⊥平面PAB；‎ ‎( 2 )求二面角P－AB－F的平面角的余弦值．‎ ‎22.如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.‎ ‎(1)证明：BC⊥平面POM；‎ ‎(2)若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．‎ 高二月考一理数答案2018.9‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B D B D B C C B C D D ‎13. 三或四 14. 平行或相交或异面 15. k≤0或 16. ①②④‎ ‎17．解：⑴在中，、分别是边、的中点，‎ ‎∴∥，‎ 在中，、分别是边、的中点，‎ ‎∴∥，‎ ‎ ∴∥且，‎ 同理：∥且，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴四边形为菱形，∴。‎ ‎⑵∵∥，∥， ‎ ‎∴（或的补角）即为异面直线与所成的角，‎ 由已知得：四边形的面积为：。‎ ‎18.证明：作平面,为垂足, ∵,, ∴,同理, ∴, ∴为△的外心, 又, 故为中点, 即在平面内, 所以平面平面。‎ ‎19.解：（Ⅰ）由三视图知：该几何体是一个圆锥与圆柱的组合体，‎ 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和；‎ 则S圆锥侧=×（2π×2）•（2）=4π，‎ S圆柱侧=（2π×2）×4=16π，‎ S圆柱底=π•22=4π，‎ 所以S表面积=4π+16π+4π=4π+20π；…（6分）‎ ‎（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示：‎ 则AB===2，‎ 所以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．（12分）‎ ‎20. 证明：①如图所示，‎ 空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，∴HG∥AC；‎ 又==，∴EF∥AC，∴EF∥HG，E、F、G、H四点共面；‎ ‎②设EH与FG交于点P，‎ ‎∵EH⊂平面ABD ‎∴P在平面ABD内，‎ 同理P在平面BCD内，‎ 且平面ABD∩平面BCD=BD，‎ ‎∴点P在直线BD上，‎ ‎∴直线EH，BD，FG相交于一点．‎ ‎21（1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°，‎ ‎∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，‎ AB面ABCD，∴AB⊥PD．‎ ‎∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD＝D，‎ ‎∴AB⊥面PED，∵AB面PAB．∴面PED⊥面PAB．‎ ‎（2）解：∵AB⊥平面PED， PE面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵ EF面PED，∴AB⊥EF．∴ ∠PEF为二面角P－AB－F的平面角．‎ 设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝．‎ 在△PEF中，PE＝，EF＝2，PF＝1‎ ‎∴cos∠PEF＝‎ 即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为．‎ ‎22.. 解：(1)证明：如图，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，AM，则AO⊥OB.因为∠BAD＝，‎ 故OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1，‎ 又因为BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，‎ OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM ‎＝12＋2－2×1××cos＝.‎ 所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.‎ 又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，OP都垂直，‎ 所以BC⊥平面POM.‎ ‎(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝.‎ 设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.‎ 由△POM也是直角三角形，‎ 故PM2＝PO2＋OM 2＝a2＋.‎ 在△ABM中，‎ AM2＝AB2＋BM2－2 AB·BM·cos∠ABM ‎＝22＋2－2×2××cos＝.‎ 由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则 PA2＋PM2＝AM 2，即a2＋3＋a2＋＝，得a＝，a＝－(舍去)，‎ 即PO＝.‎ 此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝·AO·OB＋·BM·OM＝××1＋××＝.‎ 所以四棱锥PABMO的体积 VPABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝.‎