吉林省长春外国语学校2019届高三下学期开学考试 数学（文）（PDF版）

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- 1 - 长春外国语学校 2018-2019 学年第二学期开学考试 高三年级 数学试卷（文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 ,a b R ，复数 2 1 ia bi i ， ab( ) A． 2 B．1 C．0 D． 2 2. 已知集合  2 2M x x x   ，  N x x a，若 MN ，则 a 的取值范围为（ ） A．  ,1  B．  ,2 C． 2, D． 1,  3. 已知向量 a (1,2) ，b ( , 1)m，若 a∥b，则实数 m 的值为 ( ) A． 3 B． 3 C． 1 2 D． 1 2 4. 若 4cos 5  ，且 为第二象限角，则 tan （ ） A． 4 3 B． 3 4 C． 4 3 D． 3 4 5. 在等差数列 na 中，若 3453a a a   ， 8 8a  ，则 12a 的值是（ ） A． 64 B． 31 C． 30 D．15 6. 函数 y＝xsin x＋1 x2的部分图象大致为( ) - 2 - 7. 已知平面 ，  和直线 a ，b ，则下列说法正确的是（ ） A.若 ∥ ， ∥ ，且 ∥ ，则 ∥ B. 若a  ， b  ，且 ∥ ，则 ∥ C. 若a  ， b  ，且 ∥ ，则 ∥ D.若 ， ， ，则 ab 8. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力， 是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素 之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想： 对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘 3 再加 1，如果它是偶数，对它除以 2，这样循 环，最终结果都能得到 1.下面是根据考拉兹猜 想设计的一个程序框图，则输出的i 为 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 已知实数 x ， y 满足 :p 22( 1) ( 1) 1xy    ， :q 实数 ， 满足 1 1 1 xy xy y      ，则 p 是q 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 在四面体 ABCD 中，若 AB＝CD＝ 3，AC＝BD＝2，AD＝BC＝ 5，则四面体 ABCD 的外接球的表面 积为( ) A． 2 B． 4 C．6 D．8 11. 已知双曲线 :C 22 221xy ab ( 0, 0)ab的左焦点为 1F ，离心率为 5 2 ，P 是双曲线C 的右支上的 动点，若 ( ,2 )Q c a （ c 为焦半距），且 1PF PQ 的最小值为8 ，则双曲线 的方程式 ( ) - 3 - A. 2 2 12 yx  B. 2 2 12 x y C. 2 2 14 yx  D. 2 2 14 x y 12. 已知函数 ln() xfx x ，若方程 2( ) ( ) 1f x tf x   有四个不同的实数根，则实数t 的取值范围是 （ ） A． ( , )e  B． 1( , )e e   C．( , 2)  D． 1( , 2)e e   第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13. 点 )2,3(A 是圆 9)1()2( 22  yx 内一点，则过点 A 的最短弦长为 ． 14. 函数 ( ) sin 3cosf x x x ( 0)  的图像在 y 轴右侧的第一个最低点的横坐标为11 12  ，则实数   ． 15.在区间 1,1 上随机取一个数 k ，则直线 ( 2)y k x与圆 221xy有公共点的概率为 ． 16. 在△ABC 中，已知AB→·AC→＝9，sin B＝cos A·sin C，S△ABC＝6，P 为线段 AB 上的点，且CP→＝x·CA→ | |CA→ ＋ y·CB→ | |CB→ ，则 xy 的最大值为 ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分）已知数列 na 是公比大于 1 的等比数列， nS 是 na 的前 n 项和.若 21,4 32  Sa ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）令 14log  nn ab ，求数列       1 2 nnbb 的前 项和 nT ． - 4 - 18. （12 分）如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA ⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC， PA＝AB＝BC＝2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点. （Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面 BDE⊥平面 PAC； （Ⅲ）当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E－BCD 的体积. 19.（12 分）某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学 科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生 有12人． （Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数； （Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取 5 人，进行综合素质测试，将他们的综 合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析； （Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有 3 人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随 机抽取 2 人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率． 数学二等奖 学生得分 语文二等奖 学生得分 7 9 1 4 8 9 4 7 6 2 0 3 9 频率 等级 一等 二等 三等 16.0 38.0 科目：语文 淘汰 O 频率 等级 一等 二等 三等 10.0 26.0 40.0 科目：数学 淘汰 O - 5 - 20. （12 分）已知两点 A(－ 2，0)，B( 2，0)，动点 P 在 y 轴上的投影是 Q， 且 2PA→·PB→＝|PQ→ |2. （Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）过 F(1，0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹 C 于点 G，H 和 M，N，且 E1，E2 分别是 GH，MN 的 中点.求证：直线 E1E2 恒过定点. - 6 - 21.（12 分）已知函数 ( ) lnf x x a x ， 1( ) , ( R).ag x ax    （Ⅰ）若 1a  ，求函数 ()fx的极值； （Ⅱ）设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x，求函数 ()hx的单调区间； (Ⅲ)若在 1,e （ e 2.718... ）上存在一点 0x ，使得 0()fx  0()gx 成立，求 a 的取值范围. - 7 - （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.(10 分) 选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 C1 的极坐标 方程为 2 2 3 1 2cos   ，直线 l 的极坐标方程为 4 sin cos   . （Ⅰ）写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 Q 为曲线 C1 上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值． 23.选修 4－5: 不等式选讲 已知函数 ,1 () 1 , 0 1 xx fx xx    ， ( ) ( ) 2 ,g x af x x a R    . （Ⅰ）当 0a  时，若 ( ) 1g x x b   对任意 (0, )x   恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）当 1a  时，求函数 ()y g x 的最小值． 数学试卷（文科）参考答案 - 8 - 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D B D A C B C C D B 二、填空题 13. 27 14. 2 15. 3 3 16. 3 三、解答题 17. 【解析】Ⅰ由题意，设公比为 ( 1)qq> ，则         211 1 4 3 1 1 q qa qa ………………2 分 解得      4 11 q a 或      4 1 161 q a （舍） ……………………………………………………5 分 所以 14n na -= …………………………………………………………………………6 分 Ⅱ由题意， 4log 4n nbn==， 所以 1 2 2 1 12( 1) 1nnb b n n n n+ = = -++ （ ） ………9 分 所以 1 2 3 4 1n n nT b b b b b b-= + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 121 2 2 3 3 4 4 5 1 1n n n n- + - + - + - + + - + --+ （ ） = 121 1n- + （ ）= 2 1 n n + ……………………………………………………12 分 18. 【解析】(1)证明 因为 PA⊥AB，PA ⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面 ABC，所以 PA ⊥平面 ABC. 又因为 BD⊂平面 ABC，所以 PA⊥BD. (2)证明 因为 AB＝BC，D 是 AC 的中点，所以 BD⊥AC. 由(1)知 PA ⊥BD， 又 AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面 PAC，所以 BD⊥平面 PAC. 又 BD⊂平面 BDE，所以平面 BDE⊥平面 PAC. (3)解 因为 PA ∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE，所以 PA ∥DE. 因为 D 为 AC 的中点，所以 DE＝1 2PA＝1，BD＝DC＝ 2. 由(1)知 PA ⊥平面 ABC，所以 DE⊥平面 ABC， 所以三棱锥 E－BCD 的体积 V＝1 3DE·S△BDC＝1 6BD·DC·DE＝1 3. 19. 【解析】（Ⅰ）依题意：获数学二等奖的考生的比例是 24.04.026.01.01  ， 所以考生总人数 - 9 - 为： 5024.0 12  （人）． ………………………………………2 分 所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为： 4)238.016.01(50  （人）． ………………………………………3 分 （Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为 1x 、 2x 、 2 1s 、 2 2s ， 885 9290938481 1 x ，…………………………………………4 分 855 8786848979 2 x ，…………………………………………5 分 225 42547 22222 2 1 s ， ………………………………………6 分 6.115 11246 22222 2 2 s ． ………………………………………7 分 所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差． ……………………………………8 分 （Ⅲ）两科均为一等奖共有3 人，仅数学一等奖有2 人，仅语文一等奖有1人 ………………………………………9 分 设两科成绩都是一等奖的3 人分别为 1A 、 2A 、 3A ，只有数学一科为一等奖的2 人分别是 1B 、 2B , 只有语文一科为一等奖的1人是C ，所以随机抽取两人的基本事件为： 21 AA 、 31 AA 、 11BA 、 21BA 、 CA1 、 32 AA 、 12BA 、 22BA 、 CA2 、 13BA 、 23BA CA3 、 21BB 、 CB1 、 CB2 共 15 种． …………………………………10 分 而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为： 、 、 共3 种．……11 分 所以两人的两科成绩均为一等奖的概率 5 1 15 3 P . …………………………12 分 20. 【解析】(1)解 设点 P 的坐标为(x，y)，∴点 Q 的坐标为(0，y). ∵2PA→·PB→＝|PQ→|2，PA→＝(－ 2－x，－y)， PB→＝( 2－x，－y)，|PQ→|＝|x|， ∴2[(－ 2－x)( 2－x)＋y2]＝x2， 化简得点 P 的轨迹方程为x2 4＋y2 2＝1. (2)证明 当两直线的斜率都存在且不为 0 时， 设 lGH：y＝k(x－1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)， - 10 - lMN：y＝－1 k(x－1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)， 联立   x2 4＋y2 2＝1， y＝kx－1， 消去 y 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 则 Δ>0 恒成立. ∴x1＋x2＝ 4k2 2k2＋1，x1x2＝2k2－4 2k2＋1. ∴GH 中点 E1 的坐标为   2k2 2k2＋1， －k 2k2＋1 . 同理，MN 中点 E2 的坐标为   2 k2＋2， k k2＋2 ， ∴ 12EEk ＝ －3k 2k2－1， ∴ 12EEl 的方程为 y－ k k2＋2＝ －3k 2k2－1   x－ 2 k2＋2 ， 即 y＝ －3k 2k2－1 x－2 3 ， ∴直线 E1E2 恒过定点 2 3，0 ； 当两直线的斜率分别为 0 和不存在时， 的方程为 y＝0，也过点 2 3，0 . 综上所述， 过定点 2 3，0 . 21. 【解析】解：（Ⅰ） ()fx的定义域为 (0, ) ， ……………………1 分 当 1a  时， ( ) lnf x x x ， 11( ) 1 xfx xx     ， ………………2 分 所以 ()fx在 1x  处取得极小值1. ………………3 分 （Ⅱ） 1( ) lnah x x a xx    ， x (0,1) 1 (1, ) ()fx — 0 + ()fx 极小 - 11 - 2 2 2 2 1 (1 ) ( 1)[ (1 )]( ) 1 a a x ax a x x ahx x x x x             ………………4 分 ① 当 10a 时，即 1a  时，在 (0,1 )a 上 ( ) 0hx  ，在(1 , )a  上 ( ) 0hx  ， 所以 ()hx在 上单调递减，在 上单调递增； …………………5 分 ②当10a，即 1a  时，在 (0, ) 上 ( ) 0hx  ， 所以，函数 在 上单调递增. ……………6 分 （III）在 1,e 上存在一点 0x ，使得 0()fx  0()gx 成立，即 在 1,e 上存在一点 ，使得 0( ) 0hx  ，即 函数 1( ) lnah x x a xx    在 上的最小值小于零. …………………7 分 由（Ⅱ）可知 ①即1ea，即 e1a 时， 在 1,e 上单调递减， 所以 ()hx的最小值为 (e)h ，由 1(e) e 0e aha    可得 2e1 e1a   ， 因为 2e1e1e1   ，所以 ； ……………………8 分 ②当11a，即 0a  时， 在 1, e 上单调递增， 所以 ()hx最小值为 (1)h ，由 (1) 1 1 0ha    可得 2a  ； ……………………9 分 ③当1 1 ea   ，即 0 e 1a   时， 可得 ()hx最小值为 (1 )ha ， 因为 0 ln(1 ) 1a   ，所以， 0 ln(1 )a a a   故 (1 ) 2 ln(1 ) 2h a a a a      此时， (1 ) 0ha不成立. …………………11 分 综上讨论可得所求 a 的范围是： 或 . ……………………12 分 22. 【解析】解：(1)C1：3x2＋y2＝3，l：x＋y＝4. (2)法 1：设 Q(cos θ， 3sin θ)，则点 Q 到直线 l 的距离 d＝|cos θ＋ 3sin θ－4| 2 ＝   2   1 2cos θ＋ 3 2 sin θ －4 2 ＝   2sin    θ＋π 6 －4 2 ≥ 2 2 ＝ 2当且仅当 θ - 12 - ＋π 6 ＝2kπ＋π 2 ，即 θ＝2kπ＋π 3 (k∈Z)时，Q 点到直线 l 距离的最小值为 2. 法 2：设 Q(x，y)，直线 l：x＋y＝c 与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出 c，则 Q 点到直线 l 距 离的最小值为两平行直线间的距离． 23. 【解析】解：(1)当 a＝0 时，g(x)＝－|x－2|(x>0)，g(x)≤|x－1|＋b －b≤|x－1|＋|x－2| |x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1，当且仅当 1≤x≤2 时取等号，实数 b[－1，＋∞)． (2)当 a＝1 时，g(x)＝  1 x＋x－2， 02 ，当 02 x·1 x－2＝0；当 x≥1 时，g(x)≥0，当且仅当 x＝1 等号成立；故当 x＝1 时， y＝g(x)取得最小值 0.