专题37+数学归纳法（押题专练）-2018年高考数学（理）一轮复习精品资料

专题37+数学归纳法（押题专练）-2018年高考数学（理）一轮复习精品资料

专题37+数学归纳法 ‎1．用数学归纳法证明“3n≥n3(n≥3，n∈N)”时，第一步证明中的初始值为(　　)‎ A．n＝1　　 B．n＝2　　‎ C．n＝3　　 D．n＝4‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：由题意知n0＝3.‎ ‎2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)‎ A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1‎ B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1‎ C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1‎ D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k ‎【答案】：D ‎【解析】：由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项，故选D.‎ ‎3．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<.则可归纳出1＋＋＋＋…＋＋小于(　　)‎ A.　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎【答案】：A ‎ ‎ ‎4．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法证明的过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式成立．‎ 根据(1)和(2)可知对任何n∈N*，＜n＋1都成立．则上述证法(　　)‎ A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 ‎【答案】：D ‎【解析】：在证明n＝k＋1时，没有用到归纳假设，所以选D.‎ ‎5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an 的表达式为(　　)‎ A.　　 B． C.　　 D． ‎【答案】：C ‎ ‎ ‎6．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取 (　　)． ‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8. ‎ ‎7．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是 (　　)．‎ A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立 ‎【答案】　D ‎【解析】　A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．‎ ‎8．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上 (　　)．‎ A. B．－ C.－ D.＋ ‎【答案】　C ‎ ‎ ‎9．对于不等式n2＋2n.‎ ‎①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；‎ 由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)‎ 都有2n>n2＋2n成立．‎ ‎17．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；‎ ‎(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．‎ 即xn＋1－xn＝－x＋c>0，即证xn<对任意n≥1成立．‎ 下面用数学归纳法证明当0xn，即{xn}是递增数列．‎ 由①②知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.‎ ‎18．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．‎ ‎ 19．已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan.‎ ‎(1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值；‎ ‎(2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)．‎ ‎【解析】(1)解　a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r.‎ ‎∵48＋4r＝64，∴r＝4.‎ ‎(2)证明　用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n.‎ ‎①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．‎ ‎②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，‎ T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k ‎＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．‎ 根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n＝－4n.‎ ‎20．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋λa＋(n∈N*)．‎ ‎(1)若λ＝μ＝1，证明数列{lg(an＋1) }为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若λ＝0，是否存在实数μ，使得an≥2对一切n∈N*恒成立？若存在，求出μ的取值范围，若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎(2)方法一：由a2＝2a1＋＝4＋≥2，得μ≥－3，‎ 猜想μ≥－3时，对一切n∈N*，an≥2恒成立．[zzstep ‎①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，ak≥2，‎ 则由an＋1＝得 ak＋1－2＝＝ ‎≥＝≥0，‎ ‎∴n＝k＋1时，ak＋1≥2，猜想成立．‎ 由①②知，当μ≥－3时，对一切n∈N*，恒有an≥2.[]‎ ‎ ‎