河南省洛阳市2020届高三第一次统一考试 数学(理)(PDF版含答案)

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河南省洛阳市2020届高三第一次统一考试 数学(理)(PDF版含答案)

� 啊’ 츎型 � 馗 得 过中  叫4 洛阳市 2019 ̍ 2020 学年高中三年级第 一 次统 一 考试 数学试卷(理) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分.共150分.考 试 时间120 分钟. 第I 卷(选择题,共 60分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2. 考试结束,将答题卡交回. 一 、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一 项是符合题目要求的. 1.已知集合M二{.r I .r(x-2)·< O}, N = {-2, 一 1,0,1,2},则 M 门 N= A. { o, 1} B. { -2 , - 1-} C. { 1} D. { O, 1 ; 2} 2;已知复数z在复平面巾对 应的点 ( x, v)满足(X - 1) z. + yz = 1,则 I .z-1 I= A. o B. 1 C. ,ti D. 2 3.为了节能减排,发展低碳经济,我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源 汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息z跑跑隙V厅 去 都 相 悔 中国新能源汽车产销情况 一 览表 |\ 新能源汽车生产情况 新能惊汽车销售情况 产量 比上年同 销量 比上年同 (万辆)期增民(结) (万辆)期增长(呢) 201 8年3月 6. 8 105 6.8 117. 4 4月 8. 1 117. 7 8. 2 13.8. 4 5月 9.6 85. 6 10. 2 1 25.6 6月 8.6 31. 7 8.4 42. 9 7月 9 53.6 8. 4 47. 7 8月 9.9 39 10. 1 49.5 9月 12. 7 64.4 12. 1 54.8 10月 14. 6 58. 1 13.8 51 11月 17. 3 36.9 16. 9 37.6 1-12月 127 59.9 125.6 61. 7 2019年1月 9. 1 113 9. 6 138 2月 5.9 50. 9 5:. 3 53.6 根据上述图表信息,下列结论错误的是 2019年1 月份新能源 汽牢销量结构图 人2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3. 4万辆 B. 201 7年我国新能源汽车总销 量超过70万辆 C. 2018年8 月 份我国新能源 汽车 的销量高于产量 D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆 高三数学(理) 第 1页 (共4页) (2020. 01) 4. 已知正项等比数列(α,,?中,向向= 4,且肉,向+ l ,a7成等差数列,则该数列公比 q 为  A.+ B.÷ C. 2 - D. 4 5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜 想简述为“ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” (注:如果一个大于 1 的整 数除了1 和自身外无其他正因数,则称这个整数为素数〉,如40二 3+ 37. 在不超过 40的素数中,随机选取2个不同的数u这两个数的和等于40 的概率是 B. ]_ C.土 D .·1_.. 26 22 17 . 15 6.圆 乓 2 十 y z - 2元+ 4y+l=O关于宣线ax -by.一3 = 0(α> O,b>O)对称, 1 2则一十 丁 的最小值是a D A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 7函数f(x) = (矿 - e-.r� • c os3 x (e 为自然 对数的底数) 的大致图象为 二E �,�· - 』t I Ir I I 立 I HII I .:r: A C, ~ D s:正三棱锥的三视图如图所示.则 i亥正三棱锥的表面积为 A. 3 ./30 + 3./3 B. 3 J3百+9 �zll"if C. 12/3 o.f Jio +f 9. 已知点F i ,Fz 分别是双曲线C:�· .一乒= l(a > 0 ,b > 0). az bz 的左,右焦点,0 为坐标原点,点P在双曲线C 的右支上,且 满足 I F,F2 I= 2 I OP I ,tanL三PF2F1 = 4 ,则双曲线C 的离心率为 . /1 7 17 A.,/5 B. 5 C.工ι3 ' 9 10.设Jb: ) 是定义在 R上的函数,满足条件f(x+ 1) = f(-x+ 1),且当zζ1 时, f( 工)=e-"-3,YWa二JClogz7) ,b == f(3一句, C = f(3一1 . 5 .)的大小关系是 A.a.> b> c B.α> C >b .C. b >α> c D.c > b>α 11.正方体ABCD-A,B,CiD, 的棱长为1,点E为棱cc,的 中点.下列结论:①线段 BD上存在点F,使得CFf 平面AD1E;②线段BD上存在点F,使得CF_l平面 AD,E; ③平面AD1E把正方体分成两部分,较小部分的体积为工.其巾所有正确24 的序号是 高三数学(理) 第 2页 (共4页 ) (2020. 01) A① B.③ C.①③ D.①②③ 12.已知正项数列{a,,}的前 11 项和为S,,,α1> 1,且65,, =αf十3a”+2.若对于任意 实数αε[-'-2,2],不等式卫!±.!_ < 2t2 + at 一 l( 11 εN 铃 )恒成立,则实数t的取值n+ 1 范围为 A. (一 ∞, 一 2] LJ [2.+=) C. <一 ∞, 一 1] LJ [2,+oo) B. (一 =,-2] U [l, + =) ‘ D.[-2,2] 第H卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.平面向量;与 5的夹角为60 。 ,且� = (3 ,o), I b I= 1,则I 二牛 2b I= ly::S二 x, 14.若实数 _漿·,y 满足约束条件4 元 + y 《4,贝lj z = 2x+ y 的最小值是 l_y》- 3. 15.巳知椭圆C:ζ+妥= 1(α>b>O),A为右顶 ,点,过坐标原点。的直线交椭圆Cα - IF 于 P,Q 两点,线段 AP的r:J-•.• �为M,直线QM交 .T 轴于N(2,0),椭圆C的离心率为3,则 椭圆C的标准方程为 16.已知函数 f(x) = ln工+2仰,别工)=上 -·a ,且 f(工 )g (工)ζ。在定义域内恒成 立,则实数α的取值范阁为 三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17. (本小题满分12分) 在 t6.ABC 中,角A,B,C对应边分别为 a ,b,c. (1)若61-BC的而积S满足4J3S+c2 =α2 +t/.,c =汀,α = 4且b>c ,求b的倍; (2)若a = J 言 ,A = 互‘且 6ABC 为锐角三角形,求.6ABC 周长的范围.3 18. (木小题满分12分) 如阁,已知四边形 ABCD 为等腰梯形,BDEF 为正方形,平面 BDEF _l平面ABCD ,AD II BC ,AD= AB= 1 ,ζABC= 60 。 . (1)求证:平面 CDE J_平面BDEF; (2)点M为线段EF上一动点,求ED 与平面BCM 所成角正弦 值的取值范到. 19� (本小题满分12分) 过点P(O. 2)的直线与抛物线C:x2 = 4y相交于A、B两点. (1)若灭Ji= z PB ,_§.点A在第一象限,求直线AB的方程; 高三数学(理) 第3页 (共4页) (2020. 01) (2)若A,B在直线y = -2上的射影分别为儿,Bi,线段A1B1的 中点为Q, 求证 BQ II PA1. 20. (本小题满分 12分) 1 1 设函数 f( X) = e x ( X - 2) 一 -k x 3 十一位 2 3 2 (1)若k=l,求!<川的单调区间; (2)若 f(x ) 存在三个极值点 X1, X2 , 句,且 X1 < X2 <町,求元的取值范围, 并证 明: X1 十X3 > Zxz. 21. (本小题满分12分) “公平正义 ” 是社会主义和谐社会的重要特征.是社会主义法治理念的价值追求.“考 试” 作为一种公平公正选拔人才的有效途径,正被广泛采用.每次考试过后 ,考生最关心 的问题是:自己的考试名次是多少?自己能否被录取?能获得什么样的职位?… 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名,其中 275个高薪职位 和25个普薪职位.实际报名人数为2000名,考试满分为400分.〈 一 般地,对于一次成功的 考试来说,考试成绩应服从正态分布.)考试后考试成绩的部分统计结果如下: 考试平均成绩是180分, 360分及其以上的高分考生30名. (1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数) (2)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位?若不能被录取 ,请说明 理由. 参考资料:(1)当X~N怡,σZ )时,令 Y = 主二丘,则Y~N(O;l).σ (2)当Y~N(O,l)时· ,P(Yζ2. 17) 勾 0. 985 ,P a 一 I x+l I对·x εR成立, 求实数a的取值范围. 高三数学(理) 第4页 (共4页) (2020. 01) 理 数学试卷参考答案 一、选择题 1- 5 CBDCB 二、填空题 11-12 CA6-10 BCACB 16. {a I a = e 2 或 α《 ι }t:.,e 15.豆+ i. = 136 20 14. -913. ,/f百 三、解答题 分分17. (1)由条件和正弦定理 得 4./3 S + c2 = 2./3 ahsinC + c2 = a2 + b2 , 即 2./3 ah sinC =α2 + b2 _ c 2 . 将余弦定理 a 2 + b2 -c 2 = 2ahcosC 代人上式时sinC = cosC, NP tanC =子,因为 Cε 川,所以 C=号 …4 分 将 c = 疗,α = 4,C = 互代人 c 2 = a 2 + b2 2ahcosC ,得 b2 4./3 b + 9 = 0 6 …6 分结合条件 b>c 得 b = 3./3. (2)由正 弦定理得一ι=一ι= _____£_ = 2sinA sinB sinC …7分 所以 b十 c = 2(sinB十sinC) = 2[sinB + sin(rr B 互)] = 2[sinB + sin(� B)]3 =2个inB +字叫) = 2./3 sin(B +号) …9分 因为 A十B+C = π ,且 A = 互及锐角=角形得 Bεco, 王)且(主- B)εco'3 - 2 3 分 2π ./3 .π 所以互 < B + 互<一即一< sm(B +一) ζ1. 所以 (b十c)ε (3,2./3]. 6 3 . 2 6 主 ), 所以互 < B < 互 2 6 ……11分 …12分所以周长α+b十c 范围是 C3 +疗,3♂]. 18. (1)证明:在等腰梯形 ABCD 中, AD II BC ,AD = AB = 1 ,ζABC= 60 。 , ζBAD = ζCDA = 120 。 ,ζADB = 30 。 , BD = ,/AB 2 +AD2 -2AB •AD • cosl20 。 =./3. ζ CDB = 90 。 …2分 (2020. 01) (共 5 页)第1页高兰数学答案(理) 即 BD _l CD. ……3 分 又 ·.· 平面 BDEF i平面 ABCD,平面 BDEF n 平面ABCD=BD,CD C平 面 ABCD, CD 上平面 BDEF, ……4 分 CD C平面 CDE, .·.平面 CDE i平面 BDEF. ……5分 (2)解:由(1)知,分别以直线 DB,町,DE 为z轴,y轴,z轴建立空间直角坐标 系,设 EM = m(O 《 m 《 ./3),则 B(.j言,0,0),C (0,1,0) ,D(0,0,0) ,M(m,0,./3), 揤=(- ./言,1,0),B政=(m - ./言,0,./3),1冠=(疗,0,0), ……6 分 设平面 BMC 的法向量为n = (x,y,材, (二百二 0 tv'3x + 户。→一+ ,即〈 ν η • BM = 0 l Cm-./3)x 十./3z=O 令 X = .j言,则 y = 3,z = J3 m, 平面 BM C 的一个法向量为二 =(./言, 3,./3-m). ……8分 设 BD 与平面 BCM 所成角为⌉ sin() = I cos <二,揤>| _ l�·BDI _ J3 一|们·南DI -V ( m-./3) 2 十12’ 当 m = 0时取最小值子,当 m = ./3 时取最大值÷, 故皿与平面 BCM 所成角正弦值的取值范围为[宁主] 分分 …12 分 19.解:(1) 设 AB 方程为y二是x + 2(k > 0) ,A(x1 ,Y1 ) ,B(x2 ,Y2 ) ,x1 > 0, rx 2 = 4y, 联立方程{ 消去y 得:x 2 - 4kx - 8 = 0,.6 = 16 厅十 32 > 0. ly = kx + 2. - (冉冉 = 8, …·2 分 X1 +岛 = 性. 又䪦=( 屿,2 Y1 ),PB = (岛,只 2) 由䪦=2n得:工1 = 2x2 ……4分 代人①解得k = _!__, ……5分2 直线 AB 的方程为:y = _!__x+2,即 z 2 y+4 = 0.2 ω 由ω 得A1 Cx1 , -2) ,B1 Cx2 , -2) ,Q咛旦, - 2)' …6 分 …7分 高兰数学答案(理) 第 2 页 (共 5 页) (2020. 01) (2) J' (x) = ex (x - 2) + ex - kx2 + kx = (ex - kx ) (x -1)' f(x) 有三个极值点, 方程 ex -kx=O 有两个不等根,且都不是1, 令 g(x) = ex 一缸 , 是《 0时,g(x) 单调递增,以x) = 0至多有一根, k>O 解g'(x) > 0 得 X > lnk,解g'(x) < 0 得 X < lnk. g(x) 在(一=,lnk)上递减,在( lr埠,+∞)上递增, g(lnk) = e1nk - klnk = k(l - lnk) < 0 ,k > e, 此时,g(O) = 1 > O,lnk > l,g(l) = e k < O,x →+∞时 g(x) →+∞. k>e时,J'(x) = 0有三个根矶山2 ,岛,且 0 < X1 < 1 = Xz <巧, 是 4-PA. 一 㘀 ,i x, f二+ 2 ? X2 2 + 8 是阳= = , r:A.l x, 十 Xz 2(x2 - x1 ) ' Xz 一一 亏一- X2 2 十 8 , 4 x,xz2 + 8x, + 8(x2 x,) 是阳- kp咀 = +一一 r:A.l PA1 2 (x2 - x1 ) 1 x1 2x, (xz - x,) ’ x,xz2 + 8x2 x2 (x1x2 + 8) " 2x1 (x2 -- x1 ) 2x1 (二日 -x,) - kPl:1. = kPA1 . PA, II BQ. 1 • 1 ? 20. Cl) f(x) = ex (x - 2) 一- x" +- x2 ,3 2 J' (x) = (ex - x) (x - 1). 令 h(x) = ex x,h' (x) = ex l, h' (x) > 0 得 x > O,h'(x) < 0 得 x 0 即 ex -x>O, 解J'(x) > 0 得 x>l,解J'(x) < 0 得 x<1, f(x) 的单调减区间为(一=,1),单调增区间为( 1, + =). 由 ex1 = kx, 1导 x1 = lnk + lnx1 ,由 eX3 = kx 3 得 x3 = lnk + lnx3 , lnx 3 lnx 1 = 1 二r3 -x, -1lnx3 一 lnx 1 2 下面证明: > -------,一一,可变形为ln 生 >2 Ⰽ一,X3 - X1 X3 1 X1 X1 ⸉+1x, 高兰数学答案(理) 第 3页 (共5页) (2020 . 01) 分 …9 分 ···00·11 分 …12 分 …1分 ……2 分 …3 分 …4 分 …5分 …6 分 …7 分 …8 分 …9 分 分 2(t-l) 令 t = 去> 1,以t) = Int 一 丁丰了 分 1 4 Ct 1)2 伊I (t) = [ - Ct丰w = 灭t+1)2>0 cp(t) 在(1 ,十∞)上递增, 二r3十二r1 > 2xz. X3十二LI> 2, cp(t) >ψ(1) = 0. 1 lnx3 -lnx1 > 2 •一、- - 一-X3 X1 「 X3 +町’ …12 分 分21. (1)设考生成绩为X ,则依题意X 应服从正态分布,即X ~ NC180 ,σ2 ). X-180 令 Y = 一一一一一 ,则Y ~ N(0,1).σ …3 分 30 由 360 分及其以 上的高分考生30 名可得PCX 飞 360) =Ȁ,即� 2000 30 360 -180 P(X < 360) = 1 一一一句 0 985 ,亦即 P(Y< )~ 0. 985 , ……4 分2000 . σ …6 分X~N(180, 832 ). 1 口 0 300 设最低录取分数线为岛,则PCX ㈉ Xo ) = P(Y ㈉王一一一 ) =Ȁ,83 2000 360 -180 则 = 2.17 ,解得σ ~ 83.σ 《 一 1只。三L一一一= 1 . 0483 F「υnxu nu~~ 川一川 一- nu- 00一一-mm·-山 一 <ypm四月 ……8 分 ... 9 分 Xo 句 266.32. 即 最低录取分数线为266 分 或 267 分. (2)考生甲的成绩 286> 267 ,所以能被录取. 286 -180 P ex < 286) = P CY < ) = P CY< 1. 28) ~ 0.90 ,表明不低于考生甲83 的成绩 的人数约 为总人数的1 0. 90 = 0. 10, 2000×0. 1 ~ 200 ,即考生甲大约排 在第 200 名,排在 275 名之前,所以他能获得高薪职位. ······12 分 …1分 2分 22. (1)由已知得,圆心C(6 , 王)的直角坐标为C(3,3,/3) ,r = 3,3 所以 C的直角坐标方程为(x-3)2 +(y-3,v'3)2 = 9, rx = 3十 3cos(}所以圆C的参数方程为4 (⍝为参数). lY = 3 ,/3 + 3sin(J ... 4分 (2)由(1)得,圆C的极坐标方程为ρ2 _6ρ(cos⍝十,/3sin⍝)十 27 = O, .. 6 分即 ρ2 =均sin (⍝+号)-27. …7分 (2020. 01) (共 5 页)第4页 设 PCρ ,的,QCρ1, (}l ) , 高兰数学答案(理) I OP I : I PQ I = 2 : 3, ρ :ρ1 = 2: 5 ,又 ⌉ = fJ1. …8分 将 ρ1 = t 户。1 二 州人C 的极坐标方程,得 2矿-120ρsin (⌉十 号 )十 10 8 二 O, •••• 9分 即动点 P 轨迹的极坐标方程为均2 -120ρsin(⌉+ 号 )+108 二 O -3x,x<-l …10分 i-x 十2, 一 1《zζi23 . (1)根据绝对值的定义,可得 J(x) =斗 3x,x> ÷ 所以 y = f(x) 的图象如图所示: (2)f(x) >α 一 I x+1 I, 即 I 2x -1 l+I 2x十2 I>α , …5 分 … 6分 I 2x 1 I+ I 2x + 2 I 注 I 2x 1 2x 2 I = 3 , ······8分 a<3,即实数 α 的取值范围是(一 =,3). …3分 y / u J X 分 高兰数学答案(理 ) 第 5 页 (共 5 页) (2020. 01)
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