河南省洛阳市2020届高三第一次统一考试 数学(理)(PDF版含答案)
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洛阳市 2019 ̍ 2020 学年高中三年级第 一 次统 一 考试
数学试卷(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分.共150分.考 试 时间120
分钟.
第I 卷(选择题,共 60分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2. 考试结束,将答题卡交回.
一 、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一
项是符合题目要求的.
1.已知集合M二{.r I .r(x-2)·< O}, N = {-2, 一 1,0,1,2},则 M 门 N=
A. { o, 1} B. { -2 , - 1-} C. { 1} D. { O, 1 ; 2}
2;已知复数z在复平面巾对 应的点 ( x, v)满足(X - 1) z. + yz = 1,则 I .z-1 I=
A. o B. 1 C. ,ti D. 2
3.为了节能减排,发展低碳经济,我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源
汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息z跑跑隙V厅
去
都
相
悔
中国新能源汽车产销情况 一 览表
|\ 新能源汽车生产情况 新能惊汽车销售情况
产量 比上年同 销量 比上年同
(万辆)期增民(结) (万辆)期增长(呢)
201 8年3月 6. 8 105 6.8 117. 4
4月 8. 1 117. 7 8. 2 13.8. 4
5月 9.6 85. 6 10. 2 1 25.6
6月 8.6 31. 7 8.4 42. 9
7月 9 53.6 8. 4 47. 7
8月 9.9 39 10. 1 49.5
9月 12. 7 64.4 12. 1 54.8
10月 14. 6 58. 1 13.8 51
11月 17. 3 36.9 16. 9 37.6
1-12月 127 59.9 125.6 61. 7
2019年1月 9. 1 113 9. 6 138
2月 5.9 50. 9 5:. 3 53.6
根据上述图表信息,下列结论错误的是
2019年1 月份新能源
汽牢销量结构图
人2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3. 4万辆
B. 201 7年我国新能源汽车总销 量超过70万辆
C. 2018年8 月 份我国新能源 汽车 的销量高于产量
D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆
高三数学(理) 第 1页 (共4页) (2020. 01)
4. 已知正项等比数列(α,,?中,向向= 4,且肉,向+ l ,a7成等差数列,则该数列公比 q
为
A.+ B.÷ C. 2 - D. 4
5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜
想简述为“ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” (注:如果一个大于 1 的整
数除了1 和自身外无其他正因数,则称这个整数为素数〉,如40二 3+ 37. 在不超过
40的素数中,随机选取2个不同的数u这两个数的和等于40 的概率是
B. ]_ C.土 D .·1_.. 26 22 17 . 15
6.圆 乓
2 十 y
z - 2元+ 4y+l=O关于宣线ax -by.一3 = 0(α> O,b>O)对称,
1 2则一十 丁 的最小值是a D
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
7函数f(x) = (矿 - e-.r� • c os3 x (e 为自然 对数的底数) 的大致图象为
二E
�,�· - 』t I Ir I I 立 I HII I .:r:
A C, ~ D
s:正三棱锥的三视图如图所示.则 i亥正三棱锥的表面积为
A. 3 ./30 + 3./3 B. 3 J3百+9 �zll"if
C. 12/3 o.f Jio +f
9. 已知点F i ,Fz 分别是双曲线C:�· .一乒= l(a > 0 ,b > 0). az bz
的左,右焦点,0 为坐标原点,点P在双曲线C 的右支上,且
满足 I F,F2 I= 2 I OP I ,tanL三PF2F1 = 4 ,则双曲线C 的离心率为
. /1 7 17
A.,/5 B. 5 C.工ι3 ' 9
10.设Jb: ) 是定义在 R上的函数,满足条件f(x+ 1) = f(-x+ 1),且当zζ1 时,
f( 工)=e-"-3,YWa二JClogz7) ,b == f(3一句, C = f(3一1
. 5 .)的大小关系是
A.a.> b> c B.α> C >b .C. b >α> c D.c > b>α
11.正方体ABCD-A,B,CiD, 的棱长为1,点E为棱cc,的 中点.下列结论:①线段
BD上存在点F,使得CFf 平面AD1E;②线段BD上存在点F,使得CF_l平面
AD,E; ③平面AD1E把正方体分成两部分,较小部分的体积为工.其巾所有正确24
的序号是
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A① B.③ C.①③ D.①②③
12.已知正项数列{a,,}的前 11 项和为S,,,α1> 1,且65,, =αf十3a”+2.若对于任意
实数αε[-'-2,2],不等式卫!±.!_ < 2t2 + at 一 l( 11 εN
铃
)恒成立,则实数t的取值n+ 1
范围为
A. (一 ∞, 一 2] LJ [2.+=)
C. <一 ∞, 一 1] LJ [2,+oo)
B. (一 =,-2] U [l, + =)
‘ D.[-2,2]
第H卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.平面向量;与 5的夹角为60
。
,且� = (3 ,o), I b I= 1,则I 二牛 2b I=
ly::S二 x,
14.若实数 _漿·,y 满足约束条件4 元 + y 《4,贝lj z = 2x+ y 的最小值是
l_y》- 3.
15.巳知椭圆C:ζ+妥= 1(α>b>O),A为右顶 ,点,过坐标原点。的直线交椭圆Cα - IF
于 P,Q 两点,线段 AP的r:J-•.• �为M,直线QM交 .T 轴于N(2,0),椭圆C的离心率为3,则
椭圆C的标准方程为
16.已知函数 f(x) = ln工+2仰,别工)=上 -·a ,且 f(工 )g (工)ζ。在定义域内恒成
立,则实数α的取值范阁为
三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
17. (本小题满分12分)
在 t6.ABC 中,角A,B,C对应边分别为 a ,b,c.
(1)若61-BC的而积S满足4J3S+c2 =α2 +t/.,c =汀,α = 4且b>c ,求b的倍;
(2)若a = J
言
,A = 互‘且 6ABC 为锐角三角形,求.6ABC 周长的范围.3
18. (木小题满分12分)
如阁,已知四边形 ABCD 为等腰梯形,BDEF 为正方形,平面
BDEF _l平面ABCD ,AD II BC ,AD= AB= 1 ,ζABC= 60
。
.
(1)求证:平面 CDE J_平面BDEF;
(2)点M为线段EF上一动点,求ED 与平面BCM 所成角正弦
值的取值范到.
19� (本小题满分12分)
过点P(O. 2)的直线与抛物线C:x2 = 4y相交于A、B两点.
(1)若灭Ji= z PB ,_§.点A在第一象限,求直线AB的方程;
高三数学(理) 第3页 (共4页) (2020. 01)
(2)若A,B在直线y = -2上的射影分别为儿,Bi,线段A1B1的 中点为Q,
求证 BQ II PA1.
20. (本小题满分 12分)
1 1 设函数 f( X) = e x ( X - 2) 一 -k x 3 十一位 2
3 2
(1)若k=l,求!<川的单调区间;
(2)若 f(x ) 存在三个极值点 X1, X2 , 句,且 X1 < X2 <町,求元的取值范围,
并证 明: X1 十X3 > Zxz.
21. (本小题满分12分)
“公平正义
”
是社会主义和谐社会的重要特征.是社会主义法治理念的价值追求.“考
试”
作为一种公平公正选拔人才的有效途径,正被广泛采用.每次考试过后 ,考生最关心
的问题是:自己的考试名次是多少?自己能否被录取?能获得什么样的职位?…
某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名,其中 275个高薪职位
和25个普薪职位.实际报名人数为2000名,考试满分为400分.〈 一 般地,对于一次成功的
考试来说,考试成绩应服从正态分布.)考试后考试成绩的部分统计结果如下:
考试平均成绩是180分, 360分及其以上的高分考生30名.
(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)
(2)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位?若不能被录取 ,请说明
理由.
参考资料:(1)当X~N怡,σZ
)时,令 Y = 主二丘,则Y~N(O;l).σ
(2)当Y~N(O,l)时· ,P(Yζ2. 17) 勾 0. 985 ,P
a 一 I x+l I对·x εR成立,
求实数a的取值范围.
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理
数学试卷参考答案
一、选择题 1- 5 CBDCB
二、填空题
11-12 CA6-10 BCACB
16. {a I a = e 2 或 α《 ι }t:.,e 15.豆+ i. = 136 20 14. -913. ,/f百
三、解答题
分分17. (1)由条件和正弦定理 得 4./3 S + c2 = 2./3 ahsinC + c2 = a2 + b2 ,
即 2./3 ah sinC =α2 + b2 _ c 2 .
将余弦定理 a 2 + b2
-c 2 = 2ahcosC
代人上式时sinC = cosC, NP tanC =子,因为 Cε 川,所以 C=号
…4 分
将 c = 疗,α = 4,C = 互代人 c 2 = a 2 + b2 2ahcosC ,得 b2
4./3 b + 9 = 0 6
…6 分结合条件 b>c 得 b = 3./3.
(2)由正 弦定理得一ι=一ι= _____£_ = 2sinA sinB sinC
…7分
所以 b十 c = 2(sinB十sinC)
= 2[sinB + sin(rr B 互)] = 2[sinB + sin(� B)]3
=2个inB +字叫) = 2./3 sin(B +号) …9分
因为 A十B+C = π ,且 A = 互及锐角=角形得 Bεco, 王)且(主- B)εco'3 - 2 3 分
2π ./3 .π 所以互 < B + 互<一即一< sm(B +一) ζ1. 所以 (b十c)ε (3,2./3]. 6 3 . 2 6
主 ), 所以互 < B < 互
2 6
……11分
…12分所以周长α+b十c 范围是 C3 +疗,3♂].
18. (1)证明:在等腰梯形 ABCD 中, AD II BC ,AD = AB = 1 ,ζABC= 60
。 ,
ζBAD = ζCDA = 120
。 ,ζADB = 30
。 ,
BD = ,/AB 2 +AD2 -2AB •AD • cosl20
。 =./3.
ζ CDB = 90 。
…2分
(2020. 01) (共 5 页)第1页高兰数学答案(理)
即 BD _l CD. ……3 分
又 ·.· 平面 BDEF i平面 ABCD,平面 BDEF n 平面ABCD=BD,CD C平
面 ABCD,
CD 上平面 BDEF, ……4 分
CD C平面 CDE,
.·.平面 CDE i平面 BDEF. ……5分
(2)解:由(1)知,分别以直线 DB,町,DE 为z轴,y轴,z轴建立空间直角坐标
系,设 EM = m(O 《 m 《 ./3),则 B(.j言,0,0),C (0,1,0) ,D(0,0,0) ,M(m,0,./3),
揤=(- ./言,1,0),B政=(m - ./言,0,./3),1冠=(疗,0,0), ……6 分
设平面 BMC 的法向量为n = (x,y,材,
(二百二 0 tv'3x + 户。→一+ ,即〈 ν
η • BM = 0 l Cm-./3)x 十./3z=O
令 X = .j言,则 y = 3,z = J3 m,
平面 BM C 的一个法向量为二 =(./言, 3,./3-m).
……8分
设 BD 与平面 BCM 所成角为⌉
sin() = I cos <二,揤>|
_ l�·BDI _ J3
一|们·南DI -V ( m-./3) 2 十12’
当 m = 0时取最小值子,当 m = ./3 时取最大值÷,
故皿与平面 BCM 所成角正弦值的取值范围为[宁主]
分分
…12 分
19.解:(1) 设 AB 方程为y二是x + 2(k > 0) ,A(x1 ,Y1 ) ,B(x2 ,Y2 ) ,x1 > 0,
rx 2 = 4y,
联立方程{ 消去y 得:x 2 - 4kx - 8 = 0,.6 = 16 厅十 32 > 0.
ly = kx + 2. -
(冉冉 = 8, …·2 分
X1 +岛 = 性.
又䪦=( 屿,2 Y1 ),PB = (岛,只 2)
由䪦=2n得:工1 = 2x2 ……4分
代人①解得k = _!__, ……5分2
直线 AB 的方程为:y = _!__x+2,即 z 2 y+4 = 0.2
ω 由ω 得A1 Cx1 , -2) ,B1 Cx2 , -2) ,Q咛旦, -
2)'
…6 分
…7分
高兰数学答案(理) 第 2 页 (共 5 页) (2020. 01)
(2) J' (x) = ex (x - 2) + ex - kx2 + kx = (ex - kx ) (x -1)'
f(x) 有三个极值点,
方程 ex -kx=O 有两个不等根,且都不是1,
令 g(x) = ex 一缸 ,
是《 0时,g(x) 单调递增,以x) = 0至多有一根,
k>O 解g'(x) > 0 得 X > lnk,解g'(x) < 0 得 X < lnk.
g(x) 在(一=,lnk)上递减,在( lr埠,+∞)上递增,
g(lnk) = e1nk - klnk = k(l - lnk) < 0 ,k > e,
此时,g(O) = 1 > O,lnk > l,g(l) = e k < O,x →+∞时 g(x) →+∞.
k>e时,J'(x) = 0有三个根矶山2 ,岛,且 0 < X1 < 1 = Xz <巧,
是 4-PA. 一 㘀 ,i x,
f二+ 2 ?
X2
2 + 8 是阳= = , r:A.l
x, 十 Xz 2(x2 - x1 ) '
Xz 一一
亏一-
X2
2 十 8 , 4 x,xz2 + 8x, + 8(x2 x,) 是阳- kp咀 = +一一
r:A.l PA1 2 (x2 - x1 ) 1 x1 2x, (xz - x,)
’
x,xz2 + 8x2 x2 (x1x2 + 8) " 2x1 (x2 -- x1 ) 2x1 (二日 -x,)
-
kPl:1. = kPA1 .
PA, II BQ.
1 • 1 ? 20. Cl) f(x) = ex (x - 2) 一- x" +- x2 ,3 2
J' (x) = (ex - x) (x - 1).
令 h(x) = ex x,h' (x) = ex l,
h' (x) > 0 得 x > O,h'(x) < 0 得 x 0 即 ex -x>O,
解J'(x) > 0 得 x>l,解J'(x) < 0 得 x<1,
f(x) 的单调减区间为(一=,1),单调增区间为( 1, + =).
由 ex1 = kx, 1导 x1 = lnk + lnx1 ,由 eX3 = kx 3 得 x3 = lnk + lnx3 ,
lnx 3 lnx 1 = 1
二r3 -x,
-1lnx3 一 lnx 1 2 下面证明: > -------,一一,可变形为ln 生 >2 Ⰽ一,X3 - X1 X3 1 X1 X1 ⸉+1x,
高兰数学答案(理) 第 3页 (共5页) (2020 . 01)
分
…9 分
···00·11 分
…12 分
…1分
……2 分
…3 分
…4 分
…5分
…6 分
…7 分
…8 分
…9 分
分
2(t-l) 令 t = 去> 1,以t) = Int 一
丁丰了
分
1 4 Ct 1)2
伊I (t) = [ - Ct丰w = 灭t+1)2>0 cp(t) 在(1 ,十∞)上递增,
二r3十二r1 > 2xz. X3十二LI> 2,
cp(t) >ψ(1) = 0.
1 lnx3 -lnx1 > 2 •一、- - 一-X3 X1 「 X3 +町’
…12 分
分21. (1)设考生成绩为X ,则依题意X 应服从正态分布,即X ~ NC180 ,σ2 ).
X-180 令 Y = 一一一一一 ,则Y ~ N(0,1).σ
…3 分
30 由 360 分及其以 上的高分考生30 名可得PCX 飞 360) =Ȁ,即� 2000
30 360 -180 P(X < 360) = 1 一一一句 0 985 ,亦即 P(Y< )~ 0. 985 , ……4 分2000 . σ
…6 分X~N(180, 832 ).
1 口 0 300 设最低录取分数线为岛,则PCX ㈉ Xo ) = P(Y ㈉王一一一 ) =Ȁ,83 2000
360 -180 则 = 2.17 ,解得σ ~ 83.σ
《
一 1只。三L一一一= 1 . 0483
F「υnxu nu~~
川一川
一-
nu- 00一一-mm·-山
一
<ypm四月
……8 分
... 9 分
Xo 句 266.32.
即 最低录取分数线为266 分 或 267 分.
(2)考生甲的成绩 286> 267 ,所以能被录取.
286 -180 P ex < 286) = P CY < ) = P CY< 1. 28) ~ 0.90 ,表明不低于考生甲83
的成绩 的人数约 为总人数的1 0. 90 = 0. 10, 2000×0. 1 ~ 200 ,即考生甲大约排
在第 200 名,排在 275 名之前,所以他能获得高薪职位. ······12 分
…1分
2分
22. (1)由已知得,圆心C(6 , 王)的直角坐标为C(3,3,/3) ,r = 3,3
所以 C的直角坐标方程为(x-3)2 +(y-3,v'3)2 = 9,
rx = 3十 3cos(}所以圆C的参数方程为4 (⍝为参数).
lY = 3 ,/3 + 3sin(J
... 4分
(2)由(1)得,圆C的极坐标方程为ρ2 _6ρ(cos⍝十,/3sin⍝)十 27 = O,
.. 6 分即 ρ2 =均sin (⍝+号)-27.
…7分
(2020. 01) (共 5 页)第4页
设 PCρ ,的,QCρ1, (}l ) ,
高兰数学答案(理)
I OP I : I PQ I = 2 : 3,
ρ :ρ1 = 2: 5 ,又 ⌉ = fJ1. …8分
将 ρ1 = t 户。1 二 州人C 的极坐标方程,得 2矿-120ρsin (⌉十
号
)十 10 8 二 O,
•••• 9分
即动点 P 轨迹的极坐标方程为均2 -120ρsin(⌉+
号
)+108 二 O
-3x,x<-l
…10分
i-x 十2, 一 1《zζi23 . (1)根据绝对值的定义,可得 J(x) =斗
3x,x> ÷
所以 y = f(x) 的图象如图所示:
(2)f(x) >α 一 I x+1 I,
即 I 2x -1 l+I 2x十2 I>α ,
…5 分
… 6分
I 2x 1 I+ I 2x + 2 I 注 I 2x 1 2x 2 I = 3 ,
······8分
a<3,即实数 α 的取值范围是(一 =,3).
…3分
y
/
u J X
分
高兰数学答案(理 ) 第 5 页 (共 5 页) (2020. 01)