数学卷·2018届吉林省辽源市田家炳高中友好学校高二上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

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数学卷·2018届吉林省辽源市田家炳高中友好学校高二上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年吉林省辽源市田家炳高中友好学校高二(上)期末数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知m、n∈R,则“m≠0”是“mm≠0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.已知某单位有职工120人,其中男职工90人,现采用分层抽样(按男、女分层)抽取一个样本,若样本中有27名男职工,则样本容量为(  )‎ A.30 B.36 C.40 D.无法确定 ‎3.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的s值为(  )‎ A.﹣3 B.﹣ C. D.2‎ ‎5.双曲线=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是(  )‎ A.(﹣10,0) B.(﹣12,0) C.(﹣3,0) D.(﹣60,﹣12)‎ ‎6.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是(  )‎ A.x和y的相关系数为直线l的斜率 B.x和y的相关系数在0到1之间 C.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D.直线l过点(,)‎ ‎8.如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为、,样本标准差分别为SA,SB,则(  )‎ A.>,SA>SB B.<,SA>SB C.>,SA<SB D.<,SA<SB ‎9.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是(  )‎ A.﹣ B. C. D.‎ ‎10.过抛物线y2‎ ‎=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一象限交于A点,则|AF|=(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎11.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线(a>0,b>0)的右顶点、左焦点分别为A、F,点B(0,﹣b),||=||,则双曲线的离心率值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每个小题5分,共20分)‎ ‎13.把二进制数110011(2)化为十进制数是:  .‎ ‎14.命题“∀x>0,ex﹣x﹣1≥0”的否定是  .‎ ‎15.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:‎ ‎①;‎ ‎②∠BAC=60°;‎ ‎③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥;‎ ‎④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.‎ 其中正确结论的序号是  .(请把正确结论的序号都填上)‎ ‎16.在平面直角坐标系中,点P为椭圆+y2=1上的一个动点,则点P到直线x﹣y+6=0的最大距离为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程:‎ ‎(1)焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为;‎ ‎(2)顶点间的距离为6,渐近线方程为.‎ ‎18.(12分)已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q:方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根,若“p或q”真“p且q”为假,求m的取值范围.‎ ‎19.(12分)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.‎ ‎(1)证明:AE⊥PD;‎ ‎(2)若PA=AB=2,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值.‎ ‎20.(12分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形给出的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;‎ ‎(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;‎ ‎(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.‎ ‎21.(12分)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ.‎ ‎(1)将曲线C1方程,将曲线C2极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)曲线C1,C2是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.‎ ‎22.(12分)若F1、F2分别是椭圆在左、右焦点,P是该椭圆上的一个动点,且.‎ ‎(1)求出这个椭圆的方程;‎ ‎(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,使∠AOB=90°(其中O为坐标原点)?若存在,求出直线l的斜率k,若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年吉林省辽源市田家炳高中友好学校高二(上)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知m、n∈R,则“m≠0”是“mm≠0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】易得“mn=0”是“m=0”的必要不充分条件,由等价转化可得答案.‎ ‎【解答】解:要看“m≠0”是“mm≠0”的什么条件,‎ 只需看“mn=0”是“m=0”的什么条件,‎ ‎∵“mn=0”不能推出“m=0”,而“m=0”能推出“mn=0”,‎ 故“mn=0”是“m=0”的什么条件必要不充分条件,‎ 故“m≠0”是“mm≠0”的必要不充分条件 故选B ‎【点评】本题考查充要条件的判断,等价转化是解决问题的关键,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.已知某单位有职工120人,其中男职工90人,现采用分层抽样(按男、女分层)抽取一个样本,若样本中有27名男职工,则样本容量为(  )‎ A.30 B.36 C.40 D.无法确定 ‎【考点】分层抽样方法.‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可.‎ ‎【解答】解:设样本容量为n,‎ 则由题意得,‎ 解得n=36,‎ 故选:B ‎【点评】本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎3.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵AB=2,BC=1,‎ ‎∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2,‎ 圆的半径r=1,半圆的面积S=,‎ 则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算,求出对应的图形的面积是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的s值为(  )‎ A.﹣3 B.﹣ C. D.2‎ ‎【考点】循环结构.‎ ‎【分析】i=0,满足条件i<4,执行循环体,依此类推,当i=4,s=2,此时不满足条件i<4,退出循环体,从而得到所求.‎ ‎【解答】解:i=0,满足条件i<4,执行循环体,i=1,s=‎ 满足条件i<4,执行循环体,i=2,s=﹣‎ 满足条件i<4,执行循环体,i=3,s=﹣3‎ 满足条件i<4,执行循环体,i=4,s=2‎ 不满足条件i<4,退出循环体,此时s=2‎ 故选:D ‎【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型,处理的步骤一般为:分析流程图,从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模.算法和程序框图是新课标新增的内容,在近两年的新课标地区高考都考查到了,这启示我们要给予高度重视,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.双曲线=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是(  )‎ A.(﹣10,0) B.(﹣12,0) C.(﹣3,0) D.(﹣60,﹣12)‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由双曲线的离心率e∈(1,2),求出a,b,c,再由离心率公式得,1<‎ e=<2,由此能求出k的取值范围.‎ ‎【解答】解:由于双曲线=1的离心率e∈(1,2),‎ 则a=2,b=,c=,‎ 则1<e=<2,‎ 解得﹣12<k<0.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎6.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.‎ ‎【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个,共有C42种结果,满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种,得到概率.‎ ‎【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,‎ 试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个,共有C42=6种结果,‎ 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2,有2种结果,分别是(1,3),(2,4),‎ ‎∴要求的概率是=.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率,是一个基础题,本题解题的关键是事件数是一个组合数,若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果.‎ ‎ ‎ ‎7.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn ‎)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是(  )‎ A.x和y的相关系数为直线l的斜率 B.x和y的相关系数在0到1之间 C.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D.直线l过点(,)‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】对于所给的线性回归方程对应的直线,针对于直线的特点,回归直线一定通过这组数据的样本中心点,得到结果.‎ ‎【解答】解:直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线,‎ 回归直线方程一定过样本中心点,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的性质,考查样本中心点一定在回归直线上,本题是一个基础题,不需要运算就可以看出结果.‎ ‎ ‎ ‎8.如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为、,样本标准差分别为SA,SB,则(  )‎ A.>,SA>SB B.<,SA>SB C.>,SA<SB D.<,SA<SB ‎【考点】‎ 用样本的数字特征估计总体的数字特征;频率分布折线图、密度曲线;极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】从图形中可以看出样本A的数据均不大于10,而样本B的数据均不小于10,由图可知A中数据波动程度较大,B中数据较稳定,得到结论.‎ ‎【解答】解:∵样本A的数据均不大于10,‎ 而样本B的数据均不小于10,‎ 显然<,‎ 由图可知A中数据波动程度较大,‎ B中数据较稳定,‎ ‎∴sA>sB.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】求两组数据的平均值和方差是研究数据常做的两件事,平均值反映数据的平均水平,而方差反映数据的波动大小,从两个方面可以准确的把握数据的情况.‎ ‎ ‎ ‎9.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是(  )‎ A.﹣ B. C. D.‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】建立空间直角坐标系,利用向量的夹角公式即可得出.‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ A(1,1,1),C(0,0,1),M,N.‎ ‎∴=, =.‎ ‎∴=, =.‎ 设异面直线AM与CN所成角为θ.‎ 则cosθ===.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的角,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一象限交于A点,则|AF|=(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】求出直线方程,联立直线与抛物线方程消元,利用抛物线的定义,可得结论.‎ ‎【解答】解:由已知可得直线AF的方程为y=(x﹣1),‎ 联立直线与抛物线方程消元得:3x2﹣10x+3=0,解之得:x1=3,x2=(据题意应舍去),‎ 由抛物线定义可得:AF=x1+=3+1=4.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎11.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知,取A1C1的中点D1,∠B1AD1‎ 是所求的角,再由已知求出正弦值.‎ ‎【解答】解:取A1C1的中点D1,连接B1D1,AD1,‎ 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1D1⊥面ACC1A1,‎ 则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角,‎ ‎∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,‎ ‎∴,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题主要考查了线面角问题,求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线,再求线面角的正弦值,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.已知双曲线(a>0,b>0)的右顶点、左焦点分别为A、F,点B(0,﹣b),||=||,则双曲线的离心率值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】先利用||=||,推导出∠ABF=90°,再由射影定理得b2=ca,由此能求出该双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:∵||=||,‎ ‎∴=0,‎ ‎∴∠ABF=90°,‎ 由射影定理得OB2=OF×OA,‎ ‎∴b2=ca,‎ 又∵c2=a2+b2,‎ ‎∴c2=a2+ca,‎ ‎∴a2+ca﹣c2=0,‎ ‎∴1+e﹣e2=0,‎ 解得e=或(舍),‎ ‎∴e=.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,涉及到双曲线性质、向量、射影定理等知识点,解题时要注意函数与方程思想的合理运用.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每个小题5分,共20分)‎ ‎13.把二进制数110011(2)化为十进制数是: 51 .‎ ‎【考点】进位制.‎ ‎【分析】根据所给的二进制的数字,写出用二进制的数字的最后一位乘以2的0次方,倒数第二位乘以2的1次方,以此类推,写出后相加得到结果.‎ ‎【解答】解:∵110011(2)=1×20+1×2+1×24+1×25=51‎ 故答案为:51‎ ‎【点评】本题考查进位制之间的转化,本题解题的关键是用二进制的最后一位乘以2的0次方,注意这里的数字不用出错.‎ ‎ ‎ ‎14.命题“∀x>0,ex﹣x﹣1≥0”的否定是 ∃x>0,ex﹣x﹣1<0 .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可.‎ ‎【解答】解:命题是全称命题,则否定为特称命题,‎ 即∃x>0,ex﹣x﹣1<0,‎ 故答案为:∃x>0,ex﹣x﹣1<0‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎15.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:‎ ‎①;‎ ‎②∠BAC=60°;‎ ‎③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥;‎ ‎④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.‎ 其中正确结论的序号是 ②③ .(请把正确结论的序号都填上)‎ ‎【考点】棱锥的结构特征.‎ ‎【分析】①由折叠的原理,可知BD⊥平面ADC,可推知BD⊥AC,数量积为零,②因为折叠后AB=AC=BC,三角形为等边三角形,所以∠BAC=60°;③又因为DA=DB=DC,根据正三棱锥的定义判断.④平面ADC和平面ABC不垂直.‎ ‎【解答】解:BD⊥平面ADC,⇒BD⊥AC,①错;‎ AB=AC=BC,②对;‎ DA=DB=DC,结合②,③对④错.‎ 故答案为:②③‎ ‎【点评】本题是一道折叠题,主要考查折叠前后线线,线面,面面关系的不变和改变,解题时要前后对应,仔细论证,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.在平面直角坐标系中,点P为椭圆+y2=1上的一个动点,则点P到直线x﹣y+6=0的最大距离为 4 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由设P(cosx,sinx),则点P到直线x﹣y+6=0的距离d==,利用余弦定理的性质,即可求得点P到直线x﹣y+6=0的最大距离.‎ ‎【解答】解:由题意可知:设P(cosx,sinx),则点P到直线x﹣y+6=0的距离d==,‎ 由﹣1≤cos(θ+)≤1,则4≤2cos(θ+)+6≤8,‎ ‎∴2≤d≤4,‎ ‎∴点P到直线x﹣y+6=0的最大距离为4,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的参数方程,点到直线的距离公式,余弦函数的最值,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)(2016秋•辽源期末)求适合下列条件的双曲线的标准方程:‎ ‎(1)焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为;‎ ‎(2)顶点间的距离为6,渐近线方程为.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质;双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】(1)由于双曲线的焦点在x轴上,设所求双曲线的方程为=1.由题意,得出关于a,c的方程组即可解得a,c,结合b2=c2﹣a2求出b值,写出双曲线的方程即可;‎ ‎(2)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的方程为=1得出关于a,b的方程组即可解得a,b,写出双曲线的方程即可;同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:(1)焦点在x轴上,设所求双曲线的方程为=1.‎ 由题意,得解得a=8,c=10.‎ ‎∴b2=c2﹣a2=100﹣64=36.‎ 所以焦点在x轴上的双曲线的方程为.‎ ‎(2)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的方程为=1‎ 由题意,得解得a=3,b=.‎ 所以焦点在x轴上的双曲线的方程为.‎ 同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为.‎ ‎【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识,求双曲线的标准方程,先确定标准方程的形式,再根据条件求出 a,b.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2016秋•辽源期末)已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q:方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根,若“p或q”真“p且q”为假,求m的取值范围.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】若“p或q”真“p且q”为假,命题p,q应一真一假,分类讨论,可得m的取值范围.‎ ‎【解答】解:若方程 x2+mx+1=0有两个不等的负根,‎ 则 ‎ 解得m>2,‎ 若方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根,则△=16(m﹣2)2﹣16<0,‎ 解得:1<m<3‎ ‎∵“p或q”真“p且q”,‎ 因此,命题p,q应一真一假,‎ ‎∴或,‎ 解得:m∈(1,2]∪[3,+∞).‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,二次方程根与系数的关系,难度中档.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016•银川校级二模)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.‎ ‎(1)证明:AE⊥PD;‎ ‎(2)若PA=AB=2,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值.‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】(1)由已知条件推导出AE⊥AD,AE⊥PA,由此能证明AE⊥平面PAD,从而得到AE⊥PD.‎ ‎(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为菱形,‎ ‎∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点,‎ ‎∴△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AE⊥BC,∴AE⊥AD,‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,‎ ‎∴AE⊥PA,‎ ‎∵AE∩AD=A,∴AE⊥平面PAD,‎ ‎∵PD⊂平面PAD,∴AE⊥PD.‎ ‎(2)解:由(1)知AE、AD、AP两两垂直,‎ ‎∴以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎∵E,F分别为BC,PC的中点,PA=AB=2,‎ ‎∴A(0,0,0),B(,﹣1,0),C(,1,0),‎ D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(),‎ ‎∴,‎ 设平面AEF的一个法向量为,‎ 则 取z1=﹣1,得=(0,2,﹣1),‎ ‎∵BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,∴BD⊥平面AFC,‎ ‎∴为平面AFC的一法向量.‎ 又,‎ ‎∴cos<>==.‎ ‎∵二面角E﹣AF﹣C为锐角,‎ ‎∴所求二面角的余弦值为.‎ ‎【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2015秋•宣城期末)某中学团委组织了“弘扬奥运精神,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形给出的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;‎ ‎(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;‎ ‎(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.‎ ‎【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图.‎ ‎【分析】(1)根据频率直方图的性质求第四小组的频率.(2)利用样本进行总体估计.(3)根据古典概型的概率公式求概率.‎ ‎【解答】解:(1)第一小组的频率为0.010×10=0.1,第二小组的频率为0.015×10=0.15,第三小组的频率为0.015×10=0.15,第五小组的频率为0.025×10=0.25,第六小组的频率为0.005×10=0.05,所以第四小组的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.15﹣0.25﹣0.05=0.3.‎ 频率/组距=0.3÷10=0.03,故频率分布直方图如图 ‎(2)平均分超过60分的频率为0.15+0.25+0.05+0.3=0.75,所以估计这次考试的及格率为75%.‎ 第一组人数0.10×60=6,第二组人数0.15×60=9,第三组人数0.15×60=9,第四组人数0.3×60=18,第五组人数0.25×60=15,第六组人数0.05×60=3,‎ 所以平均分为=71.‎ ‎(3)成绩在[40,50)的有6人,在[90,100]的有3人,从中选两人有,他们在同一分数段的有,‎ 所以他们在同一分数段的概率是.‎ ‎【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用,考查学生分析问题的能力,比较综合.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2016秋•辽源期末)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ.‎ ‎(1)将曲线C1方程,将曲线C2极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)曲线C1,C2是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(1)曲线C1的参数方程为(θ为参数),利用平方关系可得普通方程.∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ,即ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ,利用互化公式可得直角坐标方程.‎ ‎(2)曲线C2的直角坐标方程:x2+y2=2x+6y,配方为:(x﹣1)2+(y﹣3)2=10.可得C2(1,3),半径r=.曲线C1的平方关系:(x+2)2+y2=10,可得圆心C1(﹣2,0),半径R=.求出|C1C2|即可判断出位置关系,利用勾股定理即可得出公共弦长.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(θ为参数),‎ 利用平方关系可得:(x+2)2+y2=10.‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ,即ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ,‎ 化为直角坐标方程:x2+y2=2x+6y.‎ ‎(2)曲线C2的直角坐标方程:x2+y2=2x+6y,配方为:(x﹣1)2+(y﹣3)2=10.‎ C2(1,3),半径r=.‎ 曲线C1的平方关系:(x+2)2+y2=10,可得圆心C1(﹣2,0),半径R=.‎ ‎|C1C2|==3∈(0,2).‎ ‎∴两圆相交.‎ 设相交弦长为d,则+=10,解得d=.‎ ‎∴公共弦长为.‎ ‎【点评】本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程、两圆相交弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2012•故城县校级模拟)若F1、F2分别是椭圆在左、右焦点,P是该椭圆上的一个动点,且.‎ ‎(1)求出这个椭圆的方程;‎ ‎(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,使∠AOB=90°(其中O为坐标原点)?若存在,求出直线l的斜率k,若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)根据,可得a=2,c=,从而可求椭圆的方程;‎ ‎(2)设方程为y=kx+2,与椭圆方程联立,利用韦达定理及,即可求出直线l的斜率k.‎ ‎【解答】解:(1)依题意,∵‎ ‎∴2a=4,2c=2,∴a=2,c=,∴‎ ‎∴椭圆的方程为;‎ ‎(2)显然当直线的斜率不存在时,不满足题设条件,设方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 联立方程组,消元可得(1+4k2)x2+16kx+12=0‎ ‎∴x1+x2=,‎ 由△=256k2﹣4(1+4k2)×12>0,可得①‎ ‎∵∠AOB=90°,∴‎ ‎∴‎ ‎∴k2=4②‎ 由①②可得,k=±2‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,解题的关键是直线与椭圆的方程联立,利用韦达定理求解.‎ ‎ ‎
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