2011高考数学专题复习：《空间向量的应用》专题训练一

2011高考数学专题复习：《空间向量的应用》专题训练一

‎2011年《空间向量的应用》专题训练一 一、选择题 ‎1、已知平面内有一个点 (l，-1，2)，平面的一个法向量为=（6，-3，6），则下列各点中，在平面内的是 A. A(2,3,3) B.B( -2,0,1)‎ C. C( -4,4,0) D. D(3, -3,4)‎ ‎2、已知平面内有一个点 (l，-1，2)，平面的一个法向量为=（6，-3，6），则下列各点中，在平面内的是 A. A(2,3,3) B.B( -2,0,1)‎ C. C( -4,4,0) D. D(3, -3,4)‎ 二、解答题 ‎3、如图‎5 -2 -5‎所示，四棱锥的底面是正方形， 底面，点在棱上，求证：平面平面，‎ ‎4、如图‎5 -2 -11‎所示，三棱锥中， 平面， ‎ 是上一点，且平面 ‎(1)求证：AB平面PCB;‎ ‎(2)求异面直线所成角的大小；‎ ‎(3)求二面角的余弦值．‎ ‎5、棱长为的正方体中，分别是、的中点， 求点到平面BDFE的距离、‎ ‎6、如图‎5 -2 -13‎，直三棱柱的侧棱长为3，底面边长==1且，点在棱上且，点在棱上． ‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 ‎7、四棱锥中，底面为直角梯形，平面 ‎(1)求直线与所成的角；‎ ‎(2)在棱上是否存在点，使得平面平面? 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎8、如图‎5-2 -14‎所示，直三棱柱 中， ，分别为、的中点，DE平面.‎ ‎ (1)证明：；‎ ‎ (2)设二面角为，求与平面所成角的大小．‎ ‎9、如图‎5-2 -15‎所示，在五面体ABCDEF中，‎ 四边形ABFE为平行四边形，FA平面 求：‎ ‎(1)直线到平面EFCD的距离；‎ ‎(2)二面角的平面角的正切值．‎ ‎10、如图‎5-2 -16‎所示，四边形是边长为1的正方形， 平面， 平面，且，的中点．‎ ‎ (1)求异面直线所成角的余弦值；‎ ‎ (2)在线段上是否存在点S，使得平面?若存在，求线段的长：若不存在，请说明理由．‎ ‎11、如图‎5-2 -18‎，在直三棱柱中，，求二面角的大小，‎ ‎12、如图‎5-2 -18‎，在直三棱柱中，，求二面角的大小，‎ ‎13、如图‎5 -2 -5‎所示，四棱锥的底面是正方形， 底面，点在棱上，求证：平面平面，‎ ‎14、如图‎5 -2 -11‎所示，三棱锥中， 平面， ‎ 是上一点，且平面 ‎(1)求证：AB平面PCB;‎ ‎(2)求异面直线所成角的大小；‎ ‎(3)求二面角的余弦值．‎ ‎15、棱长为的正方体中，分别是、的中点， 求点到平面BDFE的距离、‎ ‎16、如图‎5 -2 -13‎，直三棱柱的侧棱长为3，底面边长==1且，点在棱上且，点在棱上． ‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 ‎17、四棱锥中，底面为直角梯形，平面 ‎(1)求直线与所成的角；‎ ‎(2)在棱上是否存在点，使得平面平面? 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎18、如图‎5-2 -14‎所示，直三棱柱 中， ，分别为、的中点，DE平面.‎ ‎ (1)证明：；‎ ‎ (2)设二面角为，求与平面所成角的大小．‎ ‎19、如图‎5-2 -15‎所示，在五面体ABCDEF中，‎ 四边形ABFE为平行四边形，FA平面 求：‎ ‎(1)直线到平面EFCD的距离；‎ ‎(2)二面角的平面角的正切值．‎ ‎20、如图‎5-2 -16‎所示，四边形是边长为1的正方形， 平面， 平面，且，的中点．‎ ‎ (1)求异面直线所成角的余弦值；‎ ‎ (2)在线段上是否存在点S，使得平面?若存在，求线段的长：若不存在，请说明理由．‎ ‎21、如图‎5-2 -17‎，在五面体中， 平面 ‎，的中点，‎ ‎(1)求异面直线所成角的大小.‎ ‎(2)证明平面平面；‎ ‎(3)求二面角的余弦值．‎ ‎22、如图‎5-2 -17‎，在五面体中， 平面 ‎，的中点，‎ ‎(1)求异面直线所成角的大小.‎ ‎(2)证明平面平面；‎ ‎(3)求二面角的余弦值．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 解析由于是平面的一个法向量，所以它应该和平面内的任意一个向量垂直，只有在选项中，‎ ‎,所以点月在平面内．故选 ‎2、 解析由于是平面的一个法向量，所以它应该和平面内的任意一个向量垂直，只有在选项中，‎ ‎,所以点月在平面内．故选 二、解答题 ‎3、解析如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， 则，，，，， ‎ ‎,‎ 平面，‎ 平面平面．‎ ‎4、解析(1) 平面,平面,.平面,平面,‎ ‎ .又=,:.平面.‎ ‎ (2)由(1)知平面, ,‎ 又 =，可求得=，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎ 异面直线与所成的角为．‎ ‎ (3)设平面的一个法向量为．‎ 设平面的一个法向量为．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎5、解析如图所示，建立空间直角坐标系，则，‎ 设是平面的一个法向量，由 ‎=‎ 由于，所以平面的一个单位法向量是 又设点在平面上的射影为，连接，知是平面的斜线段，‎ 且，故点到平面的距离 ‎，即点到平面的距离为1．‎ ‎6、解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设 ()，‎ 得最小值一．‎ ‎(2)由(1)知： )，‎ ‎，设平面的一个法向量为 又平面的一个法向量为 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ‎7、解析以A为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，‎ ‎，所以 即．于是直线与所成的角等于.‎ ‎(2)假设在棱上存在点，使得平面平面.设，由于，所以，因此F，所以，‎ 而，设平面的一个法向量是．则有 令，解得，所以 同理可以求得平面的一个法向量为，由于平面平面，所以 ‎，因此(1，O，1)，所以[O，1]，这时是的中点．故存在点，使得平面平面．且是的中点．‎ ‎8、解析以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎(1)设，，，则，‎ 于是.由平面,知，，求得，所以 =‎ ‎(2)设平面的一个法向量为 又平面的一个法向量为，，求得 所以 所以所以与平面所成的角为．‎ ‎9、解析 如图，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，‎ 轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ ‎(1) ,,，设（>O），可得，由得，解得，故．，平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离．设点在平面上的射影点为 解得，则点在平面上，故点在上，‎ 联立①②，解得 为直线到平面的距离，而 ‎(2) 四边形为平行四边形，则可设 ()( <0)， ‎ 即 则为二面角F-AD -E的平面角．‎ 又 ‎10、解析(1)如图示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.‎ ‎ 依题意得，, ,,,‎ 异面直线与所成角的余弦值为 ‎(2)假设在线段上存在点，使得平面.‎ 可设，‎ 由ES平面AMN得 经检验，当时，平面．故线段上存在点，使得平面，此时 .‎ ‎11、解析如图，建立空间直角坐标系．则,, ,‎ ‎，.‎ ‎ 设的中点为，，，‎ ‎ 平面，即是平面的一个法向量，‎ ‎ 设平面的一个法向量是，‎ 解得， ‎ 设法向量与的夹角为 ，二面角 的大小为，显然为锐角，‎ 二面角的大小为．‎ ‎12、解析如图，建立空间直角坐标系．则,, ,‎ ‎，.‎ ‎ 设的中点为，，，‎ ‎ 平面，即是平面的一个法向量，‎ ‎ 设平面的一个法向量是，‎ 解得， ‎ 设法向量与的夹角为 ，二面角 的大小为，显然为锐角，‎ 二面角的大小为．‎ ‎13、解析如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ‎，，，，， ‎ ‎,‎ 平面，‎ 平面平面．‎ ‎14、解析(1) 平面,平面,.平面,平面,‎ ‎ .又=,:.平面.‎ ‎ (2)由(1)知平面, ,‎ 又 =，可求得=，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎ 异面直线与所成的角为．‎ ‎ (3)设平面的一个法向量为．‎ 设平面的一个法向量为．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎15、解析如图所示，建立空间直角坐标系，则，‎ 设是平面的一个法向量，由 ‎=‎ 由于，所以平面的一个单位法向量是 又设点在平面上的射影为，连接，知是平面的斜线段，‎ 且，故点到平面的距离 ‎，即点到平面的距离为1．‎ ‎16、解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设 ()，‎ 得最小值一．‎ ‎(2)由(1)知： )，‎ ‎，设平面的一个法向量为 又平面的一个法向量为 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ‎17、解析以A为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，‎ ‎，所以 即．于是直线与所成的角等于.‎ ‎(2)假设在棱上存在点，使得平面平面.设，由于，所以，因此F，所以，‎ 而，设平面的一个法向量是．则有 令，解得，所以 同理可以求得平面的一个法向量为，由于平面平面，所以 ‎，因此(1，O，1)，所以[O，1]，这时是的中点．故存在点，使得平面平面．且是的中点．‎ ‎18、解析以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎(1)设，，，则，‎ 于是.由平面,知，，求得，所以 =‎ ‎(2)设平面的一个法向量为 又平面的一个法向量为，，求得 所以 所以所以与平面所成的角为．‎ ‎19、解析 如图，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，‎ 轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ ‎(1) ,,，设（>O），可得，由得，解得，故．，平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离．设点在平面上的射影点为 解得，则点在平面上，故点在上，‎ 联立①②，解得 为直线到平面的距离，而 ‎(2) 四边形为平行四边形，则可设 ()( <0)， ‎ 即 则为二面角F-AD -E的平面角．‎ 又 ‎20、解析(1)如图示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.‎ ‎ 依题意得，, ,,,‎ 异面直线与所成角的余弦值为 ‎(2)假设在线段上存在点，使得平面.‎ 可设，‎ 由ES平面AMN得 经检验，当时，平面．故线段上存在点，使得平面，此时 .‎ ‎21、解析如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点．设，依题意得，,,,‎ 于是 所以异面直线与所成角的大小为．‎ ‎(2)由，可得 平面．而 平面，所以平面平面.‎ ‎(3)设平面的一个法向量为 又由题设知平面的一个法向量为，‎ 故二面角的余弦值为 ‎22、解析如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点．设，依题意得，,,,‎ 于是 所以异面直线与所成角的大小为．‎ ‎(2)由，可得 平面．而 平面，所以平面平面.‎ ‎(3)设平面的一个法向量为 又由题设知平面的一个法向量为，‎ 故二面角的余弦值为