黑龙江省双鸭山市第一中学2020届高三12月月考数学（理）试题

黑龙江省双鸭山市第一中学2020届高三12月月考数学（理）试题

‎ 双鸭山市第一中学2019-2020学年度上学期高三(理科)数学学科月考试题 高三月考数学试题（理科）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．是虚数单位， 则 ( )‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎2．集合，，则 ( )‎ A. 　　 B. C. D.‎ ‎3．已知向量，，,则与的夹角为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响, 某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本, 其中：城镇户籍与农村户籍各100人；男性120,女性80人, 绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示）, 其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例, 则下列叙述中错误的是 （   ）‎ ‎ ‎ A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B．是否倾向选择生育二胎与性别无关 C．倾向选择生育二胎的人群中, 男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人群中, 农村户籍人数少于城镇户籍人数 ‎5.设变量满足约束条件则的最大值为 （ ）‎ A. B.‎-12 C.0 D. 1‎ ‎6.正项等差数列的前 项和为 ，已知 ‎ ‎( )‎ A.35 B‎.36 C.45 D.54‎ ‎7.是两条不同的直线,是两个不同的平面, ,则 “”是 “”的（ ） ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.已知实轴长为的双曲线的 左,右焦点分别为 点为双曲线虚轴上的一个端点，则的重心到双曲线的渐近线的距离为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．将函数f（x）＝sinx的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为 ( )‎ A. B. C.1 D.‎ ‎10.在中，所对的边分别为且满足则该三角形的外接圆的半径为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知点A是抛物线 的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足 ，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．二项式的展开式中的系数是_______________.‎ ‎14.已知为奇函数，当时，则曲线在点处的切线方程为_______________.‎ ‎15.已知数列满足，则的前50项的和为_______________.‎ ‎16. 三棱锥中，底面满足，，在面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，到面的距离为_______________.‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱柱中，侧棱,,,‎ ‎,且点M和N分别为的中点.‎ ‎（I）求证：MN//平面；‎ ‎（II）求二面角的正弦值 ‎18. （本小题满分12分）‎ 支付宝宣布在肯德基的KPRO餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：‎ ‎ ‎ 若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”， 利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.‎ ‎（I）若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.‎ ‎（II）支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率.‎ 附：参考公式与参考数据如下 ‎，其中.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆 与直线交于两点，当直线垂直于轴时．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出的取值范围，若不存在说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）当时，①求在处的切线方程；②当时，求证：.‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 选考题：本小题满分共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，‎ ‎（Ⅰ）求曲线上的点到曲线距离的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若把上各点的横坐标都扩大原来为原来的2倍，纵坐标扩大原来的倍，得到曲线.设，曲线与交于，两点，求.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）都有恒成立，求的取值范围.‎ 高三月考数学试题（理科答案）‎ ‎1B ‎2C 3B ‎4C ‎5A ‎6C ‎7A 8D ‎9A 10B 11B ‎‎12A ‎13.-10 14.5x+y-1=0 15.1375 16.3.‎ ‎17【解析】(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，‎ 由此可得，，又因为直线平面，所以平面 ‎(II)，设为平面的法向量，则 ‎，即，不妨设，可得，‎ 设为平面的一个法向量，则，又，得 ‎，不妨设，可得 因此有，于是，‎ 所以二面角的正弦值为.‎ ‎18(1)‎ ‎(2) ‎ ‎19（Ⅰ）当时， ‎ 当时由 两式相减得，即………………………4分 且上式对于时不成立．所以数列的通项公式…… 6分 ‎（Ⅱ）因为，…………………………………………8分 所以=…………………………………………12分 ‎20（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得 ‎，.………………………………………………3分 解得所以椭圆的方程为. ……………5分 ‎（Ⅱ）设，的中点 由消去得，‎ 所以. …………………7分 当时，‎ 设过点且与垂直的直线方程 将代入得：……………………………9分 若，则，‎ 若，则 所以或………………………………………11分 当时，‎ 综上所述，存在点满足条件,m取值范围是.……………12分 ‎21．（1）时，，--------1分 ①，，所以在处的切线方程为--------3分 ②设 ‎--------4分 所以，在上递增，所以--------6分 所以，在上递增，所以--------7分 ‎（2）原问题使得 设 在单调增 当时，‎ 在单调增，‎ ‎ --------10分 当时，‎ 设 另 在单调递减，在单调递增 设 ‎ ‎ 在单调递增 ‎ 在单调递增 当时，恒成立，不合题意--------12分 ‎22．（1），圆心为，半径为；‎ ‎--------2分 圆心到直线距离--------3分 所以上的点到的最小距离为.--------5分 ‎（2）伸缩变换为，所以--------7分 将和联立，得.因为--------8分 ‎-----‎ ‎23.解：当m=-2时，,‎ 当解得当恒成立 当解得 此不等式的解集为.‎ 当时，‎ 当时，不等式化为.‎ 由当且仅当即时等号成立.‎ ‎，.‎ 当时，不等式化为.‎ ‎，令，.‎ ‎，‎ 在上是增函数.‎ 当时，取到最大值为.‎ ‎ .‎ 综上.‎