第六届中国东南地区数学奥林匹克试题二

第六届中国东南地区数学奥林匹克试题二

第六届中国东南地区数学奥林匹克试题二 一、解答题 ‎1、在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的型五方连块？ ‎ ‎2、设， 其中 ，且 ‎． 求的最大值和最小值．‎ ‎3、已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆．‎ ‎4、设的所有排列的集合为；，记 ‎，；求．‎ ‎（其中表示集合的元素个数）．‎ 以下是答案 一、解答题 ‎1、 答：至少要如下图挖去14个小方格．‎ ‎×‎ ‎×‎ 如右图，将8×8棋盘切为五个区域．‎ ‎×‎ 中央部份的区域至少要挖去2个小方格才能使T形的五方块放不进去。二个打叉的位置是不等同的位置，一个是在角落位置，另一个是内部位置，只挖去其中一个无法避免T置入．‎ 对于在边界的四个全等的区域，每区域至少要挖去3个小方格才能使T形的五方块放不进去．‎ 证明：以右上角的区域为例，下方T部份必需挖去1个小方格，上方部份必需挖去打叉的位置的1个小方格．‎ 下方T部份挖去的1个小方格有五种情况，但无论如何均可再置入一片T形的五方块， 因此至少要挖去3个小方格．‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ 综合所有区域，对于T型五方块至少要挖去3×4+2=14个小方格．‎ ‎2、解：先证当且仅当时等号成立.‎ 因 … ‎ 由哥西不等式:，因为 从而 当且仅当时等号成立.‎ 再证当时等号成立.‎ 事实上，=‎ 故，当时等号成立．‎ 另证：设，若，则；‎ 下设，由式，要证，只要证， …①‎ 注意到，于是①等价于 即 …②‎ 而由柯西不等式，可得 即②成立，从而，故，当时等号成立.‎ ‎3、证：如图，设，分别是的外接圆和内切圆半径，延长交于，则，，延长交于；则，即；‎ 过分别作的切线，在上，连，则平分，只要证，也与相切；‎ 设，则是的中点，连，则 ‎，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 由于在角的平分线上，因此点是的内心，‎ ‎（这是由于，，而 ‎，所以，点是的内心）．‎ 即弦与相切．‎ ‎4、解：我们一般地证明，若，对于前个正整数的所有排列构成的集合，若，，‎ 则．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎．‎ 当时，由排序不等式知，集合中的最小元素是，最大元素是．又，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，=共有11=个元素．因此，时命题成立．‎ 假设命题在（）时成立；考虑命题在时的情况．对于的任一排列 ‎，恒取，得到的一个排列，‎ 则．由归纳假设知，此时取遍区间 上所有整数．‎ 再令，则 ‎，‎ 再由归纳假设知，取遍区间 上的所有整数．‎ 因为，所以，取遍区间 上的所有整数．即命题对也成立．由数学归纳法知，命题成立．‎ 由于 ，从而，集合 的元素个数为．特别是，当时，．‎