数学（理）卷·2019届江西省南康中学、于都中学高二上学期第四次联考（2018-01）

数学（理）卷·2019届江西省南康中学、于都中学高二上学期第四次联考（2018-01）

二0一七——二0一八学年高二年级上学期 南康中学-于都中学联考数学（理）试卷 本试卷共4页，分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。‎ 第I卷 （ 选择题共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生必须将自己的姓名、统考考号、座号和考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．第I卷共12小题，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如要改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。第II卷则用黑色的钢笔（或水笔）按各题要求答在答题卡相应的位置上。‎ 一：选择题（本大题12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把答案填写在答题卡上）‎ ‎1.设向量，若向量与平行，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎2、下列函数中，满足定义域为且为增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 下列选项中，说法正确的是（ ）‎ A．命题 “”的否定“ ” ‎ B．命题 “为真”是命题“为真”的充分不必要条件 C．命题 “若，则”是假命题 D．命题“在 中，若,则 ”的逆否命题为真命题．‎ ‎4．随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是（ ）‎ A．9 B．12 C．15 D．17‎ ‎5．某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎6．设点是双曲线的右焦点，点到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面．中恒成立的为（ ）‎ A.①③ B.③④ C.①② D.②③④‎ ‎8．已知集合，在区间上任取一实数，则“”的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．在中，是角成等差数列的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也必要条件 ‎10.已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于两个不同点，点是的中点，则（为坐标原点）的面积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且 ‎，则球面面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共计20分。不写步骤，直接把答案填写在答题卡上）‎ ‎13、设样本数据的方差是4，若，‎ 则的方差为_________‎ ‎14、正方形中，分别是的中点，‎ 若，则 ‎ ‎15、在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值是：______‎ ‎16、如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正四边形的中心为.为圆上的点分别是以为底边的等腰三角形.沿线剪开后，分别以为折痕折起,使得重合，得到四棱锥。记该四棱锥的体积，表面积分别是当，则 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ 设命题；命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中的任一个结果。连续抛掷两次，第一次抛掷的点数记为，第二次抛掷的点数记为。‎ ‎（1）求长度依次为的三条线段能构成三角形的概率； ‎ ‎（2）记与的夹角为，求的概率.‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 收入是衡量一个地区经济发展水平的重要标志之一。影响收入的因素有很多，为分析学历对收入的作用，某地区调查机构欲对本地区进行了此项调查，‎ ‎（1）你认为应采用何种抽样方法进行调查？‎ ‎（2）经调查得到本科学历月均收入条形图如图，试估算本科学历月均收入的值？‎ ‎（3）设学年为，令，月均收入为，已知调查机构调查结果如下表 学历和平均月收入调查统计表 学历 （年）‎ 小学 初中 高中 本科 硕士生 博士生 ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎19‎ ‎22‎ ‎2.0‎ ‎2.7‎ ‎3.7‎ ‎5.8‎ ‎7.8‎ ‎2210‎ ‎2410‎ ‎2910‎ ‎6960‎ 从散点图中可看出和的关系可以近似看成是一次函数图像。 若回归直线方程为，试预测博士生的平均月收入 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知分别是三个内角所对的边，‎ 向量，设 ‎（1）若，求角；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，求三角形的面积．‎ ‎[]‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知四棱锥的底面为菱形，‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）求二面角的余弦值 ‎22. （本小题满分12分）‎ 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长是，的中点到轴的距离是。‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，直线交抛物线于，‎ ‎①求证：轴为的角平分线；‎ ‎②若交抛物线于，且，求的值。‎ 二0一七——二0一八学年高二年级上学期 南康中学-于都中学联考数学（理）试卷参考答案 一：选择题 ‎1、B 2、C 3、C 4、D ‎5、B、解：原三视图的立体图是三棱柱被截之后剩下的部分,其中，分别是的单等分点。‎ ‎6、A、解：双曲线的右焦点到渐近线的距离 ‎，‎ ‎∵点到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为 ‎∴，即，则，则双曲线的渐近线方程为 ‎7、A、解：连接，记,连接,有条件可得面,又面面,所以面，所以是对的面也是对的。‎ ‎8、B、解得,所以 区间长度为，区间长度为，所以 ‎9、B、解：在中， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或 故是角 成等差数列的必要不充分条件 ‎10、D、解：双曲线的右焦点为，，所以抛物线方程为，‎ 设直线与抛物线的交点为 由 ‎ 则，又中点是，所以 ‎，‎ ‎ 点到直线的距离，‎ ‎11、C、解：取的中点，连接，在中,则，所以的外接圆直径，,又在中，，,所以 ‎12、D、解：∵点在椭圆的外部,则，解得，‎ ‎∴，即。‎ 由椭圆的定义得 ，‎ ‎,∵恒成立，‎ ‎∴，‎ 解得，即。所以椭圆离心率的取值范围是 二、填空题 ‎13、4‎ ‎14、 解：设正方形边长为，以为原点建立平面直角坐标系，‎ ‎，故，解得 ‎15、、解：由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线 所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。‎ ‎16、、解：连接,交于点,，记重合为点,则当时，,所以,所以该四棱锥的体积为,面积 所以 三、解答题 ‎17、解:设 ‎ 知 ……………………………2分 ‎ ………………………………4分 由 是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即…5分 ‎ 且两等号不能同时取． ……………………………7分 故所求实数 的取值范围是．……………..10分[]‎ ‎18.解：（1）基本事件如下表，合计36个……2分 其中能构成三角形，则 即矩形的位置，‎ 合计有：个……………5分 ‎ 故 ………………………7分 ‎（2）则，此时在图形中虚线的右下方合计有个……………………10分 ‎ …………………………12分 ‎19、解：（1）应采用分层抽样 ……………………………2分 ‎（2）元…5分 ‎（3） ……………………………6分 ‎ …………………7分 由回归方程经过中心点 ‎ ……………………………8分 又因为当时， …………11分 所以元 ……………………………12分 ‎20、解：（1）…‎ ‎4分 因为，即，所以或（舍去） 6分 ‎（2）由，则，‎ 所以 ……………………………8分 又因为，所以 ……………………………10分 所以三角形ABC是等边三角形，由，所以面积为． ………………… 12分 ‎21. 解：（1）取的中点，连接，因为，所以，‎ 又四边形是菱形，且，所以是等边三角形，所以，‎ 又，所以面，又面，所以 ……5分 ‎（2）由，易求得，所以，所以，如图建系，则…………6分 所以 设面的法向量为，‎ 则取，则…8分 同理可求面的法向量为……………10分 所以，设二面角的平面角为，‎ 由图可知，所以二面角的余弦值为…………………12分 ‎22. 解：（1）设抛物线方程为，由抛物线定义可知，又中点到轴距离为，则，故，所以抛物线的方程为……………………………3分 ‎(2) ①设，直线为 ‎，知则……5分 而 又 故，则，所以轴为的角平分线……7分 ‎②同理可得轴为的角平分线，故三点共线 由抛物线的对称性知 则 又则…9分 设直线为，‎ ‎，则，，‎ 故，则………………………11分 又，则 ……………………………12分