合肥市2020 年高三第二次教学质量检测数学文科试题（附参考答案）

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高三数学试题（文科）答案 第 1 页（共 3 页） 合肥市 2020 年高三第二次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. yexe 14. 31 15. 422 16. 17 ， 113 36       ， (第一空 2 分，第二空 3 分) 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分. 17.(本小题满分 12 分) 解：(1)∵ tan 2cos sin cos 2sinA CA A C ，∴ 222sin cos sin cos 2cos sinA CA A AC  . 化简得 1sin cos cos sin 2AC AC，即 1sin 2AC  ，∴ 1sin 2B   ，即 1sin 2B  . ∴ 6B  或 5 6B  . ………………………………5 分 (2)∵ B 是锐角，∴ 6B  ， 由 13sin24ABCSacB 得， 3ac  . 在 ABC 中，由余弦定理得 222 22cos( ) 2 3b a c ac B a c ac ac    ∴  22 1233 1 3ac ，∴ 13ac ， ∴ ABC 的周长为 23 ………………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) ⑴证明：分别取 AFBE， 的中点 M N， ，连结 DM CN MN，， . 由图(1)可得， ADF 与 BCE 都是等腰直角三角形且全等， ∴DM AF ，CN BE ，DM CN . ∵平面 ADF  平面 ABEF ，交线为 AF ，DM  平面 ADF ，DM AF ， ∴DM  平面 ABEF . 同理， CN  平面 ABEF ，∴ //DM CN . 又∵ DM CN ，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴ //CD MN . ∵M N， 分别是 AFBE， 的中点，∴ //MNAB， ∴ //CD AB . ………………………………5 分 ⑵由图可知， D BCE B DCEVV三棱锥 － 三棱锥 － ， ∵ 13EF AB， ，∴ 2CD MN， ∴ 22B DCE B EFC C EFBVVV三棱锥－ 三棱锥－ 三棱锥－ . 由(1)知，CN  平面 BEF . ∵ 2 2CN  ， 1 2BEFS  ，∴ 2 12C EFBV 三棱锥 － ， ∴ 2 6DBCEV 三棱锥 － . ………………………………12 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B D D C A C A A D 高三数学试题（文科）答案 第 2 页（共 3 页） 19.(本小题满分 12 分) 解：⑴由已知可得：圆心(4，4)到焦点 F 的距离与到准线l 的距离相等，即点(4，4)在抛物线 E 上， ∴16 8p ，解得 2p  . ∴抛物线 E 的标准方程为 2 4yx . ………………………………5 分 ⑵由已知可得，直线 m 斜率存在，否则点C 与点 A 重合. 设直线 m 的斜率为 k ( 0k  )，则  :1AB y k x. 由  2 4 1 yx ykx    消去 y 得 22 2 222 0kx k x k. 设 A ( 11x y， )， B ( 22x y， )，∴ 12 2 42xx k ， 12 1xx  . ………………………………7 分 由对称性可知，C ( 22 x y， )，∴ 1 1AF x， 2 1CF x  . 设直线 AB 的倾斜角为 ，则 tan k  ， ∴  22 2 2 2sin cos 2tan 2sin sin 2 sin 2 sin cos tan 1 1 kAFC k           ， ∴  12 1212 2 1 11sin2 12 1AFC kSxx xxxxk   4 k .……………………………10 分 由已知可得 4 6k  ，解得 2 3k  . ∴直线 m 的方程为 2 13yx  ，即 2320xy . ………………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解：⑴ 1 2 60 6 240 10 100 14 60 18 20 22 18 30 2 8.432500x     ， 所以这一天小王 500 名好友走路的平均步数约为 8432 步. …………………………………3 分 ⑵  10.43260 240 100 0.6216500 4pA  ， 所以事件 A 的概率约为 0.6216. …………………………………5 分 (3) ……………………………………………………8 分   22 2 500 22500 7500 31.25 10.828200 300 300 200 nadbcK abcdacbd    ，…………10 分 ∴有 99.9﹪以上的把握认为，健步达人与年龄有关. ………………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解：(1)  sinxf xe x ，定义域为 R .   sin cos 2 sin 4 xxfx e x x e x   . 由  0fx  得sin 04x  ，解得 372244kxk  (kZ ). ∴  f x 的单调递减区间为 372 244kk  ， (kZ ).………………………………5 分 (2)证明：∵   sin cos 2xgx e x x ，∴   2cosxg xe x  . ∵  0x  ， ，∴当 0 2x  ， 时，  0gx  ；当 2x   ， 时，   0gx  . 运动达人 非运动达人 合计 40 岁以上 150 150 300 不超过 40 岁 50 150 200 合计 200 300 500 高三数学试题（文科）答案 第 3 页（共 3 页） ∴ g x 在 0 2   ， 上单调递增，在 2    ， 上单调递减， 又∵  0120g   ， 2 202ge   ，   20ge  ， ∴ 1 0 2x  ， ， 2 2x   ， ，使得  1 0gx  ，  2 0gx  ， 且当 10x x ， 或 2xx ， 时，  0gx  ；当  12x xx ， 时，   0gx  . ∴  g x 在10 x， 和2x ， 上单调递减，在  12x x， 上单调递增. ∵  00g  ，∴ 1 0gx  . ∵ 2 02ge   ，∴  2 0gx  ， 又∵  20g   ，由零点存在性定理得，  g x 在 12x x， 和 2x ， 内各有一个零点， ∴函数  g x 在 0 ， 上有两个零点. ………………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) (1)曲线C 的参数方程 3cos 4sin 12 9cos sin55 x y       消去参数 得，曲线 C 的普通方程为 22 125 9 xy. ∵ sin 33  ，∴ 3cos sin 23 0， ∴直线l 的直角坐标方程为 3230xy . ………………………………5 分 (2)设直线l 的参数方程为 12 2 3 2 x t yt     (t 为参数)， 将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 276630tt ，∴ 12 12 6 97tt tt ， . ∵M 点在直线l 上， ∴ 2 12 12 12 36 30 243649 7MP MQ t t t t t t . ………………………………10 分 23.(本小题满分 10 分) (1)由题意知， 3 2 为方程 13 5x xm   的根，∴ 391522m ，解得 1m  . 由 13 51xx  解得， 37 24x，∴ 7 4n  . ………………………………5 分 (2)由(1)知 1abc， ∴ 22 2 2 22222b c c a a b bc ac ab abcabc  . 22 22 22 22 22 22 22 22 2221ab bc ca ab bc bc ca ca ababc abc   ， 22 212222 2abcab c bc a ca b a b cabc abc， ∴ 22 2 2 22 2bc ca ab abc  成立. ………………………………10 分