上海市行知中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷

上海市行知中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷

上海市行知中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷 考试时间：100分钟 满分：100分 一、填空题（每题3分）‎ ‎1．设是数列的前项和，且，则=________.‎ ‎2．在等比数列中，，，公比， .‎ ‎3．平行四边形中，已知顶点，则顶点的坐标是_________.‎ ‎4．已知数列中，，则=_________.‎ ‎5．一个无穷等比数列，各项为正，已知，则公比的取值范围是______________.‎ ‎6．若，，是与平行的单位向量，则= . ‎ ‎7．已知是首项为的等比数列，是其前项和，且,则数列 前项和为_______________.‎ ‎8．设数列均为等差数列，，则=________.‎ ‎9．若存在，则实数的取值范围为 ‎ ‎10．等差数列的通项公式为，下列四个命题，①数列是递增数列；②数列是递增数列；③数列是递增数列；④数列是递增数列.其中真命题的序号是___________.‎ ‎11．公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，，则的最小值等于 .‎ ‎12．已知线段上有9个确定的点（包括端点与）.现对这些点进行往返标数（从→→→→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）.如图：在点 11‎ 上标1称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数的点称为点），…，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2013都被标记到点上.则点2013上的所有标记的数中，最小的是____________.‎ 二、选择题（每题3分）‎ ‎13．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则 ‎ ‎ 输出的属于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎15．用数学归纳法说明：，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎16．设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ 三、解答题 ‎17．（本大题满分8分）‎ 已知数列中，，（是常数，），且，，成 等比数列．求数列的前项和 11‎ ‎18．（本大题满分8分，每小题4分）‎ 已知数列满足：，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，是否存在非零常数，使得成为等差数列？说明理由.‎ ‎19．（本大题满分10分，每小题5分）‎ 某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利元的前提下，可卖出件；若做广告宣传，广告费为千元比广告费为千元时多卖出件。 （1）试写出销售量与的函数关系式； （2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？‎ 11‎ ‎20．（本大题满分12分，第一小题3分，第二小题5分，第三小题4分）‎ 由函数确定数列，.若函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”.‎ ‎（1）若函数确定数列的反数列为，求；‎ ‎（2）对（1）中的，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设（为正整数），若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为，求数列的前项和.‎ ‎21．（本大题满分12分，第一小题3分，第二小题4分，第三小题5分）‎ 在数列中，，，前项和满足．‎ ‎（1）求（用表示）；‎ ‎（2）求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列：当时，；当时，，记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合；若不能，请说明理由．‎ 11‎ 上海市行知中学2015-2016学年高二年级上学期第一次月考数学试卷 考试时间：100分钟 满分：100分 一、填空题（每题3分）‎ ‎1、设是数列的前项和，且，则=________.‎ ‎2、在等比数列中，，，公比， 9 .‎ ‎3、平行四边形中，已知顶点，则顶点的坐标是_________.‎ ‎4、已知数列中，，则=_________.-3‎ ‎5、一个无穷等比数列，各项为正，已知，则公比的取值范围是______________.‎ ‎6、若，，是与平行的单位向量，则= . ‎ ‎7、已知是首项为的等比数列，是其前项和，且,则数列 前项和为_______________.58‎ ‎8、设数列均为等差数列，，则=________.‎ ‎9、若存在，则实数的取值范围为 ‎ ‎10、等差数列的通项公式为，下列四个命题，①数列是递增数列；②数列是递增数列；③数列是递增数列；④数列是递增数列.其中真命题的序号是___________.①③‎ 11‎ ‎11、公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，，则的最小值等于 .16‎ ‎12、已知线段上有9个确定的点（包括端点与）.现对这些点进行往返标数（从→→→→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）.如图：在点上标1称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数的点称为点），…，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2013都被标记到点上.则点2013上的所有标记的数中，最小的是____________.2‎ 二、选择题（每题3分）‎ ‎13、若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎14、 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出 的属于（ D ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎15．用数学归纳法说明：，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ A ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎16．设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围（ C ）‎ A． B． C． D．‎ 三、解答题 ‎17、（本大题满分8分）‎ 已知数列中，，（是常数，），且，，成等比 数列．求数列的前项和 ‎ 解：由已知为等差数列，公差为，因为 ，，成等比数列，‎ 11‎ ‎ 所以 ----- 2分 ‎ 所以，， ----------------- 2分 ‎ 当时，‎ ‎ 当时， -------------- 4分（丢掉的情况共扣2分）‎ ‎18．（本大题满分8分，每小题4分）‎ 已知数列满足：，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，是否存在非零常数，使得成为等差数列？说明理由.‎ ‎（1）且 又可得，‎ 当时，‎ 又，所以，-----------------4’‎ ‎（2）‎ 如果成为等差数列，则，即 对于任意正整数n都成立，于是 ‎，由都是非零常数得 所以当满足时，数列成为等差数列------------------4’‎ ‎19．（本大题满分10分，每小题5分）‎ 11‎ 某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利元的前提下，可卖出件；若做广告宣传，广告费为千元比广告费为千元时多卖出件。 （1）试写出销售量与的函数关系式； （2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？‎ ‎（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知 ‎，‎ 即为所求。-----------5’‎ ‎（2）设当时，获利为元，‎ 由题意知，，------------------2’‎ 欲使最大，则，易知，此时.‎ 故，该厂家生产7875件产品，作5千元广告，能获利最大。-----------------3’‎ ‎20．（本大题满分12分，第一小题3分，第二小题5分，第三小题4分）‎ 由函数确定数列，.若函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”.‎ ‎（1）若函数确定数列的反数列为，求；‎ ‎（2）对（1）中的，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设（为正整数），若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为，求数列的前项和.‎ 11‎ 解： （1），则；…………3’‎ ‎（2）不等式化为：，‎ 设，因为，‎ 所以单调递增，---------------------------------2’‎ 则，因此，所以-------------------2’‎ ‎ （3）当为奇数时，，. ‎ 由，则，即，因此， ‎ 所以 ------------------------2’‎ 当为偶数时，，. ‎ 由得，即，因此，‎ 所以 ---------------------2’‎ ‎21. （本大题满分12分，第一小题3分，第二小题4分，第三小题5分）‎ 在数列中，，，前项和满足．‎ ‎（1）求（用表示）；‎ ‎（2）求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列：当时，；当时，，记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合；若不能，请说明理由．‎ 解析：（1）令，则，将， 代入，有，‎ 解得：-------------3’‎ 11‎ ‎（2）由，得，化简得，‎ 又，数列是等比数列--------------4’‎ ‎（3）由，，，又数列是等比数列，，‎ ‎，-------------------------1’‎ 当时，依次为，‎ ‎-----------1’‎ 当，，‎ ‎------------1’‎ ‎，要使取整数，需为整数，令，‎ ‎，要么都为整数，要么都不是整数，‎ 又，当且仅当为奇数时，为整数，即的取值集合为时取整数．-------------------------------2’‎ ‎（注：本题用数学归纳法也可以证明）‎ 11‎ 11‎