四川省雅安中学2013届高三3月月考（二诊考试）数学（理）试题

四川省雅安中学2013届高三3月月考（二诊考试）数学（理）试题

雅安中学2012-2013学年高三下期月考试题（3月）‎ 数 学 试 题（理）‎ 试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120 分钟。交答题卷和机读卡。‎ 第Ｉ卷 （选择题 50）‎ 一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共50分）.‎ ‎1 ．复数（ ） （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2 .执行右边程序框图示，输出的S值为（ ）‎ A. 　　　B.　　C. 　　D. ．‎ ‎3 ．函数f(x)＝的定义域是（　　）‎ A．－∞，0] B．[0，＋∞ C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞）‎ ‎4 ．两圆和的位置关系是( )‎ A．外离 Ｂ.内切 Ｃ.相交 Ｄ. 外切 ‎ ‎5 ．设且 则的范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6 ．函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( )‎ ‎7. 若在[0, 1]上是x的减函数，则a的取值范围是 （　　）‎ A．（0, 1） B． C．（0, 2） D．（1, 2）‎ ‎8. 在区间［0,1］上任意取两个实数a，b，则函数f(x) ＝在区间 ‎［-1，1］上有且仅有一个零点的概率为 ‎ A. 　 B. 　 C. 　 D、‎ ‎9. 如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道，）‎ ‎ 那么从A到B的最短线路有（ ）条 ‎ A．100 B．‎200 C．250 D．400 ‎ ‎10. 对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数为常数),对任给的正数m,存在相应的,使得当且时,总有,则称直线为曲线和的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数如下:‎ ‎①, ; ②,;‎ ‎③,; ④,.‎ 其中, 曲线和存在“分渐近线”的是（　　）‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．③④‎ 二、填空题（每题5分，共25分）.‎ ‎11．在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_ _★ ___.‎ ‎12．若展开式的常数项为60，则常数a的值为 ★ .‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎13．若函数，在时有极大值，则该函数的极小值为_ ★_ _. ‎ ‎14．如右图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形,则该几何体体积为 ___ ★ .‎ ‎15．设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为_____★_____.‎ 三、解答题(共75分).‎ ‎16．(12分)已知函数 ‎（1）求的最大值及取得最大值时对应的的值；‎ ‎（2）求该函数的单调递增区间.‎ ‎17．(12分)已知四棱锥,底面为矩形,侧棱,其中,为侧棱上的两个三等分点,如图所示.‎ ‎(Ⅰ)求证:; ‎ ‎(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的余弦值.‎ ‎18．(12分) 口袋内有个大小相同的球，其中有3个红球和n－3个白球，已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p，且。若有放回地从口袋中连续地取四次球（每次只取一个球），在四次取球中恰好取到两次红球的概率大于 ‎ （Ⅰ）求p和n；‎ ‎ （Ⅱ）不放回地从口袋中取球（每次只取一个球），取到白球时即停止取球，记为第一次取到白球时的取球次数，求的分布列和期望。‎ ‎19．(12分)已知直线:y=k(x+2)与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．‎ ‎（1）试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；‎ ‎（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．‎ ‎20．(13分)正项数列{an}的前n项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列{}的前n项和为，求证：．‎ ‎21．(14分)已知函数 ‎(Ⅰ)若,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)证明:‎ 数 学 试 题（理）参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D A A D A C D D B C 二、填空题 ‎11. ； 12. 4； 13 .0； 14 .； 15. 2 .‎ 三、解答题 ‎16. 解：（1）‎ ‎， .‎ 此时， ()， () ‎ ‎(2) ， () ，‎ 在 () 单调递增.‎ ‎17. (Ⅰ)证明:连结交于,连结 , ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎ , ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)如图所示,以为原点,建立空间直角坐标系, ‎ 则,,,, ‎ ‎,,, ‎ ‎, ‎ ‎ , ‎ 异面直线与所成角的余弦值为 ‎ ‎(Ⅲ)侧棱, ‎ ‎, ‎ 设的法向量为, ‎ ‎,并且, ‎ ‎,令得,, ‎ 的一个法向量为 ‎ ‎, ‎ 由图可知二面角的大小是锐角, ‎ 二面角大小的余弦值为 ‎ ‎18.解：（1）‎ ‎ （2）分布列如下 ζ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E( ζ)= ‎ ‎19. (1)‎ ‎，定义域：．‎ ‎（2）设 ‎，‎ ‎，∴S的最大值为2，取得最大值时．‎ ‎20. 解：（Ⅰ）∵ ，∴ . ‎ ‎∵ ，，∴ . ①‎ ‎∴ （）. ②‎ ‎①-②，得 ，‎ 即，‎ 而，∴. ‎ 故数列是首项为1，公差为2的等差数列.‎ ‎∴ . ‎ ‎（Ⅱ）. ‎ ‎. ‎ ‎21. 解: (Ⅰ) ‎ ‎ ‎ 题设等价于 ‎ 令 ‎ 当时,; ‎ 当时,, ‎ 的最大值点, ‎ 综上,的取值范围是 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即 ‎ 当时, ‎ 当时; ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎