2017-2018学年四川省成都市石室中学高二10月月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年四川省成都市石室中学高二10月月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省成都市石室中学高二10月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若直线过圆的圆心，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的标准方程为，可得圆心坐标为，若直线过圆的圆心，则，解得，故选A.‎ ‎2．若表示两条直线， 表示平面，下列说法中正确的为（ ）‎ A. 若， ，则 B. 若， ，则 C. 若， ，则 D. 若， ，则 ‎【答案】C ‎【解析】对于选项A， 与可能平行，也可能在平面内，故A不正确。‎ 对于选项B， 与可能平行、相交、垂直，故B不正确。‎ 对于选项C，由线面垂直的定义可得必有，故C正确。‎ 对于选项D， 与可能相交、平行或异面，故D不正确。‎ 选C。‎ ‎3．已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为，则此椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的焦点为 ，只有选项表示的椭圆焦点在轴上，而选项D的焦点坐标是 ，不合题意，选项中， ，焦点坐标 ，且椭圆的短轴长为，符合题意，故选A.‎ ‎4．焦点在轴上的椭圆的焦距为，则长轴长是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】椭圆的，由题意可知， ，所以长轴长为，故选C.‎ ‎5．已知双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知2b=2,2c=2,‎ ‎∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,‎ ‎∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.‎ ‎6．设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点.若是直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】椭圆的两个焦点与两点是直角三角形， ，即， ，故选C.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质以及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据在椭圆上找出之间的关系，从而求出离心率．‎ ‎7．直线经过， 两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线的倾斜角为，则 ‎，当且仅当且，即时等号成立。‎ 又，所以或。‎ 即直线的倾斜角的取值范围为。选B。‎ ‎8．一个多面体的三视图如图，则该多面体的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. 21 D. 18‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体，截去两个侧棱互相垂直的正三棱锥，侧棱长为1，所以该几何体的表面积为，故选A．‎ ‎【考点】1、空间几何体的三视图；2、多面体的表面积．‎ ‎9．在正三棱柱中，点为的中点，点是线段上的动点，则关于点到平面的距离说法正确的是（ ）‎ A. 点运动到点时距离最小 B. 点运动到线段的中点时距离最大 C. 点运动到点时距离最大 D. 点到平面的距离为定值 ‎【答案】D ‎【解析】如图，取的中点，连。‎ 由三棱柱的有关知识可得，又，所以平面 平面。因为平面，所以平面，因此线段上的点到平面的距离为定值。选D。‎ ‎10．如果点既在平面区域上，且又在曲线上，则的最小值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的所示，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，结合图形可得当直线与椭圆相切时，椭圆和不等式组表示的平面区域才有公共点。‎ 由 消去x整理得，‎ 令，解得或（舍去）。‎ 所以的最小值为。选C。‎ ‎11．设为双曲线的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若， ，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,则。在中由余弦定理可得。‎ ‎∴,‎ ‎∴为直角三角形，且。‎ 设双曲线的右焦点为F1，连P F1,Q F1，由题意可得点关于原点对称，所以四边形FPF1Q为矩形，因此。‎ 由双曲线的定义得，又，所以， ，‎ 在中，由勾股定理得，‎ 即，‎ 整理得，‎ ‎∴。‎ 即该双曲线的离心率为。选B。‎ ‎12．设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点 在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵点在椭圆的外部,则，解得，‎ ‎∴，即。‎ 由椭圆的定义得 ，‎ ‎,‎ ‎∵恒成立，‎ ‎∴，‎ 解得，即。‎ 所以椭圆离心率的取值范围是。选D。‎ 点睛：（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如在本题中用到了椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论。‎ ‎（2）注意平面几何知识的运用，对于本题中的恒成立问题，只需要的最大值小于即可，在求得最大值时可用平面几何的有关知识解决。‎ 二、填空题 ‎13．双曲线的一个焦点到其渐近线距离为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，双曲线的焦点到渐近线的距离为，由点到直线距离公式可得， ，解得 ，故答案为.‎ ‎14．经过点作椭圆的弦，使得点平分弦，则弦所在直线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ，则 ， ，两式相减，可化为 ，直线的方程为 ，即，故答案为.‎ ‎ .‎ ‎【方法点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的方程、直线的方程及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.‎ ‎15．椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆的周长为， 两点的坐标分别为， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在椭圆中， 。‎ ‎∵的内切圆的周长为，‎ ‎∴内切圆的半径为。‎ 由椭圆的定义得的周长为 ，‎ 又 且，‎ ‎∴，‎ 解得。‎ 答案： 。‎ 点睛：本题的解答中运用了数学中“算两次”的方法，即从两个不同的角度分别求出了的面积，从而建立了关于的关系式，使得问题得以求解。对于圆锥曲线的问题，一定要注意定义的运用，这样可简化解题过程中的推理和运算。‎ ‎16．已知两定点， 和一动点，给出下列结论：‎ ‎①若，则点的轨迹是椭圆；‎ ‎②若，则点的轨迹是双曲线；‎ ‎③若，则点的轨迹是圆；‎ ‎④若，则点的轨迹关于原点对称；‎ ‎⑤若直线与斜率之积等于，则点的轨迹是椭圆（除长轴两端点）．‎ 其中正确的是__________（填序号）．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】对于①，由于，所以点的轨迹是线段，①不正确；‎ 对于②，由于，故点的轨迹是双曲线的右支，②不正确；‎ 对于③，设，由题意得，‎ 整理得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴点的轨迹是圆，③正确。‎ 对于④，设，‎ 则。‎ 又点关于原点的对称点为，‎ ‎∵，‎ ‎∴点也在曲线上，‎ 即点的轨迹关于原点对称。故④正确。‎ ‎ 对于⑤，设，则，‎ 由题意得，‎ 整理得。此方程不一定表示椭圆。⑤不正确。‎ 综上，正确的结论是③④。‎ 答案：③④‎ 三、解答题 ‎17．在中，角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦公式可得，再利用诱导公式以及两角和与差的正弦公式可得结果；（2）利用正弦定理由正弦定理得结合（1）的结论可得，从而即可求出结果.‎ 试题解析：（1） ，‎ 故，∴.‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ 由（1）知 ，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或.‎ ‎18．已知圆经过和，且圆在直线上，‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线垂直于直线且与圆相切．求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出和的中点坐标，可求得的中垂线方程， 的中垂线方程与直线联立，可得圆心坐标，再利用两点间距离公式可求得圆的半径，从而可得圆的方程；（2）设直线为，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出 的值，从而可得结果.‎ 试题解析：（1）设的中点为， 圆经过点和的坐标为，则的中垂线方程为，即， 点在直线上，则，得，则圆心为，则半径为，则圆的标准方程为，综上所述，圆的标准方程为.‎ ‎（2）直线垂直于直线设直线为， 直线与圆相切， 或，则直线为或，综上所述，直线为或.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面平面， ， 是等边三角形，已知， .‎ ‎（1）设是上的一点，证明：平面平面；‎ ‎（2）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）在中，由已知可得，得到，由平面与平面垂直的性质，可得平面，进一步得到平面平面；（2）过作交于，由于平面平面，得到为四棱锥的高，求出四边形的面积，代入棱锥体积公式求得四棱锥的体积.‎ 试题解析：（1）在中，∵， ， ，∴.‎ ‎∴.‎ 又∵平面平面，‎ 平面平面， 平面，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）过作交于，‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面.‎ 即为四棱锥的高.‎ 又∵是边长为4的等边三角形，∴.‎ 在中，斜边边长的高为，此即为梯形高 ‎∴梯形的面积.‎ 故.‎ ‎20．设数列满足．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）若数列，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得，证的数列为等比数列，进而可求解数列的通项公式；（2）由（1），可得，利用裂项求和，即可求解数列的和．‎ 试题解析：（1）证明：由已知得，即，‎ ‎∴数列为等比数列，公比为2，首项为，∴，‎ ‎∴．．．．6分 ‎（2）解：，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎21．已知双曲线渐近线方程为， 为坐标原点，点在双曲线上．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵双曲线的渐近线方程为，‎ ‎∴设双曲线方程为，‎ ‎∵点在双曲线上．‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ ‎∴双曲线方程为，即。‎ ‎（Ⅱ）由题意知。‎ 设直线方程为，‎ 由 ，解得，‎ ‎∴。‎ 由直线方程为.以代替上式中的，可得 ‎。‎ ‎∴。 ‎ ‎22．已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分析题意可得点满足的几何条件，根据椭圆的定义可得轨迹，从而可求得轨迹方程；（Ⅱ）先由直线与相切得到，将直线方程与椭圆方程联立，并结合一元二次方程根与系数的关系可得，由且，进一步得到k的范围，最后根据三角形面积公式并结合函数的单调性求的取值范围。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵‎ ‎∴为线段中点 ‎∵‎ ‎∴为线段的中垂线 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 设椭圆的标准方程为， ‎ 则， ，‎ ‎∴。‎ ‎∴点的轨迹的方程为。‎ ‎（Ⅱ）∵圆与直线相切，‎ ‎∴，即，‎ 由，消去.‎ ‎∵直线与椭圆交于两个不同点，‎ ‎∴，‎ 将代入上式，可得，‎ 设， ，‎ 则， ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵，解得.满足。‎ 又，‎ 设，则.‎ ‎∴ ，‎ ‎∴‎ 故面积的取值范围为。‎ 点睛：解决解析几何综合题时一般会涉及到复杂的运算，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求”、“整体代换”的方法，以简化计算。另外，对于解析几何中的范围、最值的问题，要结合函数的性质求解或利用基本不等式求解。‎