2020届浙江省绍兴一中高三上学期期末考试数学试题

2020届浙江省绍兴一中高三上学期期末考试数学试题

绍兴一中2019学年第一学期高三期末考试（数学）‎ 命题:高三数学备课组 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知集合，，则为（ ▲ ）‎ A． B． 　 C． 　 D． ‎ ‎2．若复数的模为，则实数的值为（ ▲ ）‎ ‎ A． 1 B． 　 C． 　 D． ‎ ‎3．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为（ ▲ ） ‎ A． B． 　 C． D．‎ ‎4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝2 S10，则（ ▲ ） A． B． 　 C． D． ‎ ‎5．已知、是抛物线上异于原点的两点，则“·=‎0”‎是“直线恒过定点()”的（ ▲ ）‎ ‎ A．充分非必要条件 B．充要条件 ‎ C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 ‎6．数列中，恰好有6个7，3个4，则不相同的数列共有（ ▲ ）个 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知双曲线，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是（ ▲ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．已知函数若方程有四个不同的实数 根，，，，则的取值范围为（ ▲ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．已知都是正实数，则的最大值为（ ▲ ）‎ A． B． 　 C． D． ‎ ‎10.已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示， 沿将四边形翻折成，则在翻折过程中，二面角的大小为，则的最大值为（ ▲ ）‎ A． ‎ 非选择题部分 二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）‎ ‎11．已知函数，则 ▲ ，的值等于 ▲ .‎ ‎12．已知点P(x,y)满足条件的最大值为12，‎ 则 ▲ .‎ ‎13．如果x＋x2＋x3＋……＋x9＋x10＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋……＋a9(1＋x)9＋a10(1＋x)10，则a9＝______ _，= ▲ .‎ ‎14．已知A袋内有大小相同的1个红球和3个白球，B袋内有大小相同的2个红球和4个白球．现从A、B两个袋内各任取2个球，设取出的4个球中红球的个数为，则 ‎ ‎ ▲ ，的数学期望为 ▲ .‎ ‎15．抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则取最大值时M点的横坐标为 ▲ .‎ ‎16.已知中，中点为M，,，‎ ‎，，则 = ▲ ， ▲ .‎ ‎17.已知函数,则函数的值域是 ▲ . ‎ 三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 在中,所对边分别为.已知 ‎ ‎（Ⅰ）求单调递减区间和最大值；‎ ‎（Ⅱ）若求面积的最大值.‎ ‎19．（本小题满分15分）‎ 如图，是等腰梯形， ，，矩形和所在的平面互相垂直．已知，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20、（本小题满分15分）‎ 已知数列的前n项和满足：． ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前n项和为Tn .‎ 求证：．‎ ‎21、（本小题满分15分）‎ 已知圆S：，T是抛物线的焦点，点P是圆S上的动点，为PT的中点，过作GPT交PS于G ‎（1）求点G的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过抛物线的焦点E的直线交G的轨迹C于点M、N，且满足 ‎，(O为坐标原点)，求直线的方程.‎ ‎22．（本小题满分15分）‎ 对于定义在上的函数，若存在，对任意的，都有或者，则称为函数在区间上的“最小值”或“最大值”． ‎ ‎（Ⅰ）求函数在上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若把“最大值”减去“最小值”的差称为函数在上的“和谐度”， 试求函数在上的“和谐度”；‎ ‎（Ⅲ）类比函数的“和谐度”的概念， 请求出在上的“和谐度”．‎ 参考答案：‎ CDBDB CCCBC ‎11．【答案】2021，-4042．‎ ‎12．【答案】‎ ‎13．【答案】－9，1‎ ‎14．【答案】 ,‎ 可能的取值为．，，‎ ‎．从而．‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ m n 的数学期望．‎ ‎15．【答案】1．‎ ‎【解析】设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，，若设点坐标为 ‎，则=‎ 令得，，由得，‎ 由得。‎ ‎16.【答案】，‎ ‎【解析】由得： ，即2，‎ 故。由得：‎ ‎，即，也即，所以的形状为等腰直角三角形(如图)。在中，由余弦定理得。‎ ‎17.【答案】．‎ ‎【解析】设，则所以直线 与圆有公共点，从而有得于是，得得 ‎18．【解析】(Ⅰ) .........3分 设 解得 所以函数的单调减区间为.........6分 函数的最大值为.........8分 ‎（Ⅱ）且当时取得最大值，‎ ‎.........10分 ‎.........12分 等号当且仅当时成立. ‎ 所以面积的最大值为.........14分 ‎19．（Ⅰ）证明：平面平面,‎ 平面平面=，‎ ‎,‎ 平面，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎，‎ 又 ，‎ 平面．‎ 平面，平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 根据（Ⅰ）的证明，有平面，为在平面上的射影，‎ 因此，为直线与平面所成的角． ‎ ‎，四边形为等腰梯形，‎ 过点作，交于．‎ ‎,，则．‎ 在中，根据三角形相似（或射影定理）得 ‎，解得． ‎ ‎．‎ 直线与平面所成角的大小为． ‎ 方法二：略 ‎20【解析】（Ⅰ），∴，即 ‎∴‎ 当时，，得，即是等比数列； ‎ ‎∴ ． ‎ ‎（Ⅱ）证明： ‎ ‎， ‎ 由得 所以， ‎ 从而 ‎．‎ 即． ‎ ‎21、【解析】（1）由题意得：T（2，0），且是PT的中垂线.∴‎ 又，‎ ‎∴点G的轨迹是以S、T为焦点的椭圆，‎ ‎∴的轨迹C的方程是 ‎⑵由题意得：E(-2，0），当直线的斜率存在时，设：，代入并整理得：，设，‎ 则,‎ ‎∴，‎ ‎ 点到直线的距离.‎ ‎ ∵，‎ ‎ ‎ 而，∴，即，‎ ‎ 解得，此时 ，‎ 当直线的斜率不存在时，：，也有，‎ 故直线的方程为 ‎ ‎22解：（Ⅰ） 令，则， ‎ ‎ 显然，，列表有：‎ x ‎ 0‎ ‎ (0, x1)‎ x1‎ ‎ (x1, 1)‎ ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↘‎ ‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ 1‎ ‎ 所以，在上的“下确界”为 . ……………4分 ‎（Ⅱ）①当时，， ，‎ 和谐度；‎ ‎②当时，，， ‎ 和谐度；‎ ‎③当时， ，，‎ 和谐度； ‎ ‎④当时， ， ‎ 和谐度 ； ‎ ‎ ⑤当时，，，‎ ‎ 和谐度 ； ‎ ‎⑥当时， , ，‎ 和谐度.‎ 综上所述： ………………10分（每一项得1分）‎ ‎（Ⅲ） 因为，‎ ‎ 当或时等号成立，所以的最大值为1． ………………11分 令，则 令，则 ‎，‎ 令，得是的极大值点，也是的最大值点，‎ ‎，从而， ‎ ‎ 所以 ………………13分 ‎ 当时等号成立，所以的最小值为．‎ ‎ ………………14分 ‎ 由此 ………………………………15分