数学卷·2018届云南省玉溪一中高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届云南省玉溪一中高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题．共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（2，3）‎ ‎2．复数z=的实部为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1、 D．0‎ ‎3．等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（　　）‎ A．﹣18 B．9 C．18 D．36‎ ‎4．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）‎ ‎5．若如图框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（　　）‎ A．i＞6？ B．i≤6？ C．i＞5？ D．i＜5？‎ ‎6．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后经过点（，﹣），则φ等于（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．0 D．‎ ‎7．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3，若从区间[﹣2，4]上任取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） ‎ A．16 B．12 C． +4 D．4+4‎ ‎9．下列命题中，是真命题的是（　　）‎ A．∃x0∈R，ex0≤0‎ B．∀x∈R，2x＞x2‎ C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1‎ D．已知a，b为实数，则ab＞1是a＞1且b＞1 的必要不充分条件 ‎10．设样本x1，x2，…，x10数据的平均值和方差分别为2和5，若yi=xi+a（a为非零实数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）‎ A．2，5 B．2+a，5 C．2+a，5+a D．2，5+a ‎11．表面积为20π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是边长为2的等边三角形，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．4‎ ‎12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（　　）‎ A．f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0） B．f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0）‎ C．f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0） D．f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）‎ ‎　‎ 二、填空题．本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量，满足⊥（﹣），且||=3，||=2，则与的夹角为　　．‎ ‎14．设实数x，y满足，则2y﹣x的最大值为　　．‎ ‎15．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：‎ 第一步：构造数列1，，，，…，．①‎ 第二步：将数列①的各项乘以n，得到数列（记为）a1，a2，a3，…，an．则a1a2+a2a3+…+an﹣1an=　　．‎ ‎16．设直线l为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4， =2，则p=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题．6个大题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2cosθ，l：ρcos（θ﹣）=．‎ ‎（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．‎ ‎18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B+sinB=2sin C．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a=4，b+c=8，求△ABC 的面积．‎ ‎19．（12分）某河流上的一座水利发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年的X值为：‎ ‎140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，‎ ‎220，140，160．‎ ‎（Ⅰ）完成如下的频率分布表：‎ 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎（Ⅱ）求近20年降雨量的中位数和平均降雨量；‎ ‎（Ⅲ）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率．‎ ‎20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，为CC1的中点．‎ ‎（1）求证：DB1⊥平面ABD；‎ ‎（2）求点A1到平面ADB1的距离．‎ ‎21．（12分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆G： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，点P在椭圆上，且PF2⊥F1F2，|PF1|﹣|PF2|=．‎ ‎（1）求椭圆G方程；‎ ‎（2）若点B是椭圆G的是上顶点，过F2的直线l与椭圆G交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BF2M与△BF2N的面积的比值为2？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，说明理由．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=2x﹣﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（1）当a=3时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）设g（x）=f（x）﹣x+2alnx，且g（x）有两个极值点x1，x2，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题．共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（2，3）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．‎ ‎【解答】解：∵log2x＞1=log22，‎ ‎∴x＞2，‎ ‎∴B=（2，+∞），‎ ‎∵x2﹣4x+3＜0，‎ ‎∴（x﹣3）（x﹣1）＜0，‎ 解得1＜x＜3，‎ ‎∴A=（1，3），‎ ‎∴A∩B=（2，3），‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出A，B的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．复数z=的实部为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1、 D．0‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵z==，‎ ‎∴复数z=的实部为0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（　　）‎ A．﹣18 B．9 C．18 D．36‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由韦达定理得a3+a7=4，从而{an}的前9项和S9==，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，‎ ‎∴a3+a7=4，‎ ‎∴{an}的前9项和S9===．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前9项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎4．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．‎ ‎【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点 ‎∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为 ‎∴|a+1|≤2‎ ‎∴﹣3≤a≤1‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．‎ ‎　‎ ‎5．若如图框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（　　）‎ A．i＞6？ B．i≤6？ C．i＞5？ D．i＜5？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序的运行，当k=5时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 i=10，S=1‎ 满足条件，执行循环体，第1次循环，S=11，K=9，‎ 满足条件，执行循环体，第2次循环，S=20，K=8，‎ 满足条件，执行循环体，第3次循环，S=28，K=7，‎ 满足条件，执行循环体，第4次循环，S=35，K=6，‎ 满足条件，执行循环体，第5次循环，S=41，K=5，‎ 此时S不满足输出结果，退出循环，‎ 所以判断框中的条件为k＞5．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后经过点（，﹣），则φ等于（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．0 D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后，‎ 得到的函数解析式为y=2sin（2x﹣+φ），‎ 又∵所得图象经过点（，﹣），即：﹣ =2sin（﹣+φ），可得：sin（﹣+φ）=﹣，‎ ‎∴解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，或φ=2kπ+，k∈Z，‎ ‎∵|φ|＜，‎ ‎∴φ=﹣．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3，若从区间[﹣2，4]上任取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】‎ 由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，‎ 由f（x0）≤0，得到x02﹣2x0﹣3≤0，且x0∈[﹣2，4]‎ 解得：﹣1≤x0≤3，‎ ‎∴P==，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了几何概型，以及一元二次不等式的解法，概率题目的考查中，概率只是一个载体，其他内容占的比重较大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） ‎ A．16 B．12 C． +4 D．4+4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可得，直观图是正四棱锥，底面是正方形，斜高为2，即可求出该几何体的表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图可得，直观图是正四棱锥，底面是正方形，斜高为2，该几何体的表面积为=12，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查由三视图求面积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．‎ ‎　‎ ‎9．下列命题中，是真命题的是（　　）‎ A．∃x0∈R，ex0≤0‎ B．∀x∈R，2x＞x2‎ C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1‎ D．已知a，b为实数，则ab＞1是a＞1且b＞1 的必要不充分条件 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由指数函数ex＞0恒成立，即可判断A；由x=2或4，可得2x=x2，即可判断B；‎ 由b为0和不为0，结合充分必要条件，即可判断C；‎ 由a=﹣3，b=﹣2，满足ab＞1，推不出a＞1且b＞1，但a＞1且b＞1，可得ab＞1，即可判断D．‎ ‎【解答】解：对于A，由ex＞0恒成立，可得∃x0∈R，ex0≤0，不正确；‎ 对于B，由x=2或4，可得2x=x2，可得∀x∈R，2x＞x2不正确；‎ 对于C，已知a，b为实数，若b≠0时，则a+b=0的充要条件是=﹣1，b=0不正确，‎ a+b=0的充分不必要条件是=﹣1，故C错；‎ 对于D，已知a，b为实数，则ab＞1是a＞1且b＞1 的必要不充分条件，由a＞1且b＞1，可得ab＞1，‎ 反之若a=﹣3，b=﹣2，满足ab＞1，推不出a＞1且b＞1，故D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断，主要是全称命题和特称命题的判断、以及充分必要条件的判断，注意运用定义法，考查判断能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．设样本x1，x2，…，x10数据的平均值和方差分别为2和5，若yi=xi+a（a为非零实数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）‎ A．2，5 B．2+a，5 C．2+a，5+a D．2，5+a ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据题意，由样本x1，x2，…，x10‎ 数据的平均值和方差分别为2和5，可得=（x1+x2+…+x10）=2， = [（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x10﹣2）2]=5，进而对于数据yi=xi+a，由平均数、方差的公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，样本x1，x2，…，x10数据的平均值和方差分别为2和5，‎ 则有=（x1+x2+…+x10）=2，‎ ‎= [（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x10﹣2）2]=5，‎ 对于yi=xi+a；‎ 则有=（x1+a+x2+a+…+x10+a）=（x1+x2+…+x10+10a）=2+a，‎ ‎= [（y1﹣2﹣a）2+（y2﹣2﹣a）2+…+（y10﹣2﹣a）2]=5，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式．‎ ‎　‎ ‎11．表面积为20π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是边长为2的等边三角形，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．4‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】作出直观图，根据球和等边三角形的性质计算△SAB的面积和棱锥的最大高度，代入体积公式计算．‎ ‎【解答】解：取AB中点D，连结SD，设球O半径为r，则4πr2=20π，‎ 解得r=，△ABC是边长为2的等边三角形，AB=2，CD=3．AD=，‎ 过S作ABC的垂线，垂足是AB的中点时，‎ 所求三棱锥的体积最大，此时△SAB与△ABC全等，SD=3，三棱锥S﹣ABC体积V=S△SAB•CD=．．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了棱锥的体积计算，空间几何体的作图能力，准确画出直观图找到棱锥的最大高度是解题关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（　　）‎ A．f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0） B．f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0）‎ C．f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0） D．f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．‎ ‎【解答】解：令g（x）=，‎ 则g′（x）=＜0，‎ 故g（x）在R递减，‎ 而ln2＞0，2＞0，‎ 故g（ln2）＜g（0），g（2）＜g（0），‎ 即＜，＜，‎ 即f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=‎ 是解题的关键，本题是一道中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题．本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量，满足⊥（﹣），且||=3，||=2，则与的夹角为　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义与夹角公式，计算即可．‎ ‎【解答】解：向量，满足⊥（﹣），且||=3，||=2，‎ ‎∴•（﹣）=﹣•=0；‎ 设与的夹角为θ，‎ 则32﹣3×2×cosθ=0，‎ 解得cosθ=；‎ 又θ∈[0，π]，‎ ‎∴θ=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与夹角公式的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．设实数x，y满足，则2y﹣x的最大值为　5　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至A时纵截距最大，z最大．‎ ‎【解答】解：画出，的可行域如图：‎ 将z=2y﹣x变形为y=x+z作直线y=‎ x将其平移至A时，直线的纵截距最大，z最大，‎ 由可得A（﹣1，2），‎ z的最大值为：5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．‎ ‎　‎ ‎15．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：‎ 第一步：构造数列1，，，，…，．①‎ 第二步：将数列①的各项乘以n，得到数列（记为）a1，a2，a3，…，an．则a1a2+a2a3+…+an﹣1an=　n（n﹣1）　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：∵ak=．‎ n≥2时，ak﹣1ak==n2（﹣）．‎ ‎∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an=n2[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=n2（1﹣）=n（n﹣1）．‎ 故答案为：n（n﹣1）‎ ‎【点评】本题考查了“裂项求和”方法、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．设直线l为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4， =2，则p=　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形ADC中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程．‎ ‎【解答】解：如图过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，‎ 过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的焦点，‎ 由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，‎ ‎∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，∴∠DCA=30°‎ ‎∴|AC|=2|AD|=8，∴|CF|=8﹣4=4，‎ ‎∴|PF|=|CF|═2，即p=|PF|=2，‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题 ‎　‎ 三、解答题．6个大题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）（2017春•红塔区校级月考）在极坐标系中，曲线C：ρ=2cosθ，l：ρcos（θ﹣）=．‎ ‎（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，即可把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程；‎ ‎（2）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C：ρ=2cosθ，即ρ2=2cρosθ，直角坐标方程为：x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1．‎ l：ρcos（θ﹣）=，l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．‎ ‎（2）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，‎ 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）‎ ‎=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），‎ 当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．‎ ‎【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017春•红塔区校级月考）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B+sinB=2sin C．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a=4，b+c=8，求△ABC 的面积．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】（1）利用和角的三角函数，即可求角A；‎ ‎（2）若a=4，b+c=8，求出bc，即可求△ABC 的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵2sin Acos B+sinB=2sin C，‎ ‎∴2sin Acos B+sinB=2sin （A+B）‎ 得2sin Acos B+sinB=2sinAcosB+2cosAsinB，‎ ‎∴cosA=，‎ ‎∵0°＜A＜180°，‎ ‎∴A=60°．‎ ‎（2）由余弦定理48=b2+c2﹣bc b+c=8，配方得64﹣3bc=48，得bc=，‎ ‎∴△ABC 的面积S==．‎ ‎【点评】本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•泰安一模）某河流上的一座水利发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年的X值为：‎ ‎140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，‎ ‎220，140，160．‎ ‎（Ⅰ）完成如下的频率分布表：‎ 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎（Ⅱ）求近20年降雨量的中位数和平均降雨量；‎ ‎（Ⅲ）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布表．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由近20年X的值分别查出降雨量为110，160，220的频数，由频数除以20得频率分别为，，，然后填入频率分布表；‎ ‎（Ⅱ）直接把20个数值从小到大排列求中位数，由平均数公式求平均数；‎ ‎（Ⅲ）由已知可知发电量与降雨量呈一次函数关系，设出一次函数解析式，由X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5得到斜率和截距，再由Y≥520求得X的范围，从而可知2014年六月份的降雨量情况，进一步求得2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）近20年降雨量为110，160，220的频数分别为：3、7、2，由频数除以20得频率分别为，，，频率分布表如图：‎ ‎（Ⅱ）20个数从小到大排列为：70，110，110，110，140，140，140，140，160，160，160，160，160，160，160，200，200，200，220，220‎ 中位数是160； ‎ 平均降雨量；‎ ‎（Ⅲ）由已知可设 ‎ ‎∵X=70时，Y=460，∴B=425，‎ ‎∴．‎ 当Y≥520时，由，解得：X≥190．‎ ‎∴发电量不低于520（万千瓦时）包含降雨量200和220两类，它们彼此互斥，‎ ‎∴发电量低于520（万千瓦时）的概率．‎ ‎【点评】本题考查了古典概型及其概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，考查了频率与概率之间的关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•武汉模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥‎ 平面BCC1B1，为CC1的中点．‎ ‎（1）求证：DB1⊥平面ABD；‎ ‎（2）求点A1到平面ADB1的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出B1D⊥BD，AB⊥DB1，由此能证明DB1⊥平面ABD．‎ ‎（2）对于四面体A1﹣ADB1，A1到直线DB1的距离即A1到面BB1C1C的距离，设A1到面B1D的距离为h，由=，能求出点A1到平面ADB1的距离．‎ ‎【解答】证明：（1）在平面四边形BCC1B1中，‎ ‎∵BC=CD=DC1=1，∠BCD=60°，∴BD=1，‎ ‎∵B1D=，BB1=2，∴∠BDB1=90°，∴B1D⊥BD，‎ ‎∵AB⊥面BB1C1C，∴AB⊥DB1，‎ ‎∴B1D与平面ABD内两相交直线AB和BD同时垂直，‎ ‎∴DB1⊥平面ABD．‎ 解：（2）对于四面体A1﹣ADB1，A1到直线DB1的距离即A1到面BB1C1C的距离，‎ A1到B1D的距离为2，‎ 设A1到面B1D的距离为h，‎ ‎△ADB1为直角三角形， ==，‎ ‎∴=，‎ ‎∵==2，D到平面AA1B1的距离为，‎ ‎∴==，‎ ‎∵=，∴，解得h=．‎ ‎∴点A1到平面ADB1的距离为．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017春•红塔区校级月考）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆G： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，点P在椭圆上，且PF2⊥F1F2，|PF1|﹣|PF2|=．‎ ‎（1）求椭圆G方程；‎ ‎（2）若点B是椭圆G的是上顶点，过F2的直线l与椭圆G交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BF2M与△BF2N的面积的比值为2？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的定义及条件求得|PF1|=，|PF2|=，利用勾股定理求得a，由b=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）由三角形的面积，可知=﹣2，方法一：设x=my+1，代入椭圆方程，由韦达定理及y1=﹣2y2，即可求得m的值，求得直线l的方程；‎ 方法二：设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理及y1=﹣2y2，即可求得k的值，求得直线l的方程；‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|﹣|PF2|=．‎ 则|PF1|=，|PF2|=，‎ 由PF2⊥F1F2，则|PF1|2﹣|PF2|2=丨F1F2丨2，得|PF1|2﹣|PF2|2=4，‎ 解得：a2=3，‎ 由c=1，b2=a2﹣c2=3，‎ ‎∴椭圆G方程；‎ ‎（2）B到直线MN的距离d，‎ 则△BF2M面积S1=•丨MF2丨•d，‎ ‎△BF2N的面积S2=•丨NF2丨•d，‎ ‎=2，则=﹣2，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l：x=my+1，‎ 则y1=﹣2y2，‎ ‎，得整理（3k2+4）y2+6my﹣9=0，‎ 由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1y2=，‎ 解得：y1=﹣，y2=，‎ ‎∴（﹣）×=，‎ 解得：m=±，‎ ‎∴直线l的方程：x=±y+1；‎ 方法二：B到直线MN的距离d，‎ 则△BF2M面积S1=•丨MF2丨•d，‎ ‎△BF2N的面积S2=•丨NF2丨•d，‎ ‎=2，则=﹣2，‎ 当直线l斜率不存在时，FM与FN比值为1，不符合题意，舍去；‎ 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），‎ 直线l的方程代入椭圆方程，消x并整理得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=﹣①，y1y2=﹣②‎ 由FM与FN比值为2得y1=﹣2y2③‎ 由①②③解得k=±，‎ ‎∴存在直线l：y=±（x﹣1）使得△BFM与△BFN的面积比值为2．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，向量数量积的坐标运算，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2017春•红塔区校级月考）已知函数f（x）=2x﹣﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（1）当a=3时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）设g（x）=f（x）﹣x+2alnx，且g（x）有两个极值点x1，x2，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求导，由g（x）有两个极值点x1，x2，g′（x）=0，方程在（0，+∞）内有两个不相等的实根，即可求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=2x﹣﹣3lnx，（x＞0），‎ 求导f′（x）=2+﹣=，令f'（x）=0，解得：x=或x=1，‎ 当0＜x＜或x＞1时，f'（x）＞0，函数单调递增；‎ 当＜x＜1时，f'（x）＜0，函数单调递减；‎ 故f（x）的单调递增区间是（0，），（1，+∞），单调递减区间是（，1）；‎ 文（2）：由已知得g（x）=x﹣+alnx，（0，+∞），‎ g′（x）=1++=，‎ 令g′（x）=0，得x2+ax+1=0，‎ g（x）有两个极值点x1，x2，‎ ‎∴，解得：a＜﹣2，‎ a的取值范围（﹣∞，﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数判断函数的极值，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎