2020届河南名校联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届河南名校联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2020届河南名校联盟高三第一次模拟考试卷 理 科 数 学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎3．设方程的根为，表示不超过的最大整数，则（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．在中，已知，，，则等于（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎5．下列四个结论：‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②若是真命题，则可能是真命题；‎ ‎③“且”是“”的充要条件；‎ ‎④当时，幂函数在区间上单调递减．‎ 其中正确的是（ ）‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎6．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．的展开式中的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的 取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若平面向量，满足，平行于轴，，则 ．‎ ‎14．实数，满足约束条件：，则的取值范围为 ．‎ ‎15．半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与面积之和的最大值为 ．‎ ‎16．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在数列中，，当时，其前项和满足．‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）设，求的前项和．‎ ‎18．（12分）如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19．（12分）部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了 名乘客，统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟)．将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：‎ 假设乘客乘车等待时间相互独立．‎ ‎（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率；‎ ‎（2）从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎20．（12分）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，‎ ‎，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为直线上任意一点，过的直线交椭圆于点，，且为抛物线，求的最小值．‎ ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）若存在极小值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设是的极小值点，且，证明： ．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线的极坐标方程为，是与的交点，是与的交点，且，均异于原点，，求的值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）当，求不等式的解集；‎ ‎（2）设对恒成立，求的取值范围．‎ ‎2020届河南名校联盟高三第一次模拟考试卷 理科数学答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】由题意，集合，或，‎ ‎，，则．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】A．时不成立；‎ B．，，则，因此不正确；‎ C．，，则，正确；‎ D．取，，，，满足条件，，但是不成立，‎ 故选C．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】构造函数，由于函数与在定义域上都是单调递增函数，故在定义域上单调递增，‎ 由，，‎ 则函数的零点在之间，故，．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】由正弦定理知．‎ ‎∵，∴或，‎ 又∵，∴，∴，∴．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】①命题“”的否定是“”，‎ 特称命题的否定是换量词，否结论，不变条件，故选项正确；‎ ‎②若是真命题，则和均为真命题，则一定是假命题，故选项不正确；‎ ‎③“且”，则一定有“”，‎ 反之“”，，也可以满足，‎ 即，的范围不唯一，“且”是“”的充分不必要条件，故选项不正确；‎ ‎④当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的，‎ 幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，函数单调递增，函数单调递减．‎ 故选项正确．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】正项等比数列的前项和为，，，‎ ‎，解得，，‎ ‎∴．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】∵，‎ 二项展开式的通项为，‎ 二项展开式的通项为，‎ 则，解得，，‎ 所以，展开式中的系数为．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】如图所示，直线过点，‎ 圆的圆心坐标，，‎ 直线与曲线有且仅有个公共点，‎ 设为，，则，，‎ 直线与曲线相切时，或(舍去)，‎ 直线与曲线有且仅有个公共点，‎ 则实数的取值范围是．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】∵，，‎ 所以，‎ 所以此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为．‎ 故选C．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，‎ 则四边形是平行四边形，‎ ‎∴，∴，取，‎ ‎∵点到直线的距离不小于，∴，解得，‎ ‎∴，∴，∴椭圆的离心率范围是．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】对于函数，令，‎ 解得，‎ 当时，令，则；‎ 对于函数，令，‎ 解得，‎ 当时，令，则．‎ 易得当函数与均在区间单调递减时，的最大值为，‎ 的最小值为，所以的最大值为．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】，令，解得或，‎ ‎∴当或时，；当时，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴当时，函数取得极大值，‎ 当时，函数取得极小值，‎ 作出的大致函数图象如图所示，‎ 令，则当或时，关于的方程只有一个解；‎ 当时，关于的方程有两个解；‎ 当时，关于的方程有三个解，‎ ‎∵恰有四个零点，‎ ‎∴关于的方程在上有一个解，在上有一个解，‎ 显然不是方程的解，‎ ‎∴关于的方程在和上各有一个解，‎ ‎∴，解得，‎ 即实数的取值范围是．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】或 ‎【解析】，‎ 则或．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：‎ 其中，‎ 因为表示与点连线斜率，‎ 由图可得：当点在点处时，它与点连线斜率最小为．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎15．【答案】8‎ ‎【解析】将四面体置于长方体模型中，则长方体外接球半径为，‎ 不妨设，，，‎ 则．‎ 记，‎ ‎，即，‎ 当且仅当时“”成立．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】连结、，可得是边长为的等边三角形，‎ 所以，‎ 可得直线的斜率，直线的斜率为，‎ 因此，直线的方程为，直线的方程为，‎ 设，由，解得，‎ 因为圆与直线相切于点，所以，‎ 因此，‎ 故直线的斜率，因此直线的方程为，‎ 代入椭圆方程，消去得，解得或，‎ 因为直线交椭圆于与点，设，可得，‎ 由此可得．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，‎ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，，∴，‎ 即①，‎ 由题意得，①式两边同除以，得，‎ ‎∴数列是首项为，公差为2的等差数列，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，‎ 在平面内过点作的垂线交于，连接，‎ 依题意易得，，，，，五点共面，‎ 因为平面，所以①，‎ 在中，，，‎ 因此为线段靠近的三等分点，由对称性知，为线段靠近的三等分点，‎ 因此，，代入①，得．‎ ‎（2）由（1）可知，是平面的一个法向量且，，‎ 设平面的法向量为，则可以为，‎ ‎，‎ 因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】（1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟”．‎ 由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为:，‎ 故的估计值为．‎ 乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，‎ 故的估计值为．‎ 又，故事件的概率为．‎ ‎（2）由（1）可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，‎ 所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为．‎ 显然，的可能取值为0，1，2，3且，‎ 所以；；‎ ‎；．‎ 故随机变量的分布列为：‎ ‎．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），而，‎ 又，得，，故椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∵，故，‎ 设，∴，直线的斜率为，‎ 当时，直线的方程为，也符合方程；‎ 当时，直线的斜率为，直线的方程为；‎ 设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，‎ 消去，得，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1），‎ 令，则，‎ 所以在上是增函数，‎ 又因为当时，；当时，，‎ 所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；‎ 当时，的值域为，必存在使，‎ 所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，‎ 所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是．‎ ‎（2）由（1）知，，即，所以，‎ ‎，‎ 由，得，令，显然在区间上单调递减，‎ 又，所以由，得，‎ 令，，‎ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，‎ 所以，当时，函数取最小值，所以，‎ 即，即，所以，，‎ 所以，即．‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为，‎ 由，得，‎ 又，，‎ 所以的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由（1）知曲线的普通方程为，‎ 所以其极坐标方程为．‎ 设点，的极坐标分别为，，则，，‎ 所以，‎ 所以，即，解得，‎ 又，所以．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，即，‎ 当时，原不等式化为，得，即；‎ 当时，原不等式化为，即，即；‎ 当时，原不等式化为，得，即．‎ 综上，原不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，所以，可化为，‎ 所以，即对恒成立，‎ 则，所以的取值范围是．‎