2015年高考数学（理科）真题分类汇编C单元　三角函数

2015年高考数学（理科）真题分类汇编C单元　三角函数

‎ 数 学 ‎ ‎ C单元　三角函数 ‎ C1 角的概念及任意角的三角函数 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ‎12．B9、C2、C6[2015·湖北卷] 函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．‎ ‎12．2　[解析] f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图像，如图所示．‎ 观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点. ‎ ‎19．C2、C5、C8[2015·四川卷] 如图14所示，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．‎ ‎(1)证明：tan＝；‎ ‎(2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan＋tan＋tan＋tan的值．‎ ‎19．解：(1)证明：tan＝＝＝.‎ ‎(2)由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B.‎ 由(1)知，‎ tan＋tan＋tan＋tan＝＋＋＋＝＋.‎ 连接BD，‎ 在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A，‎ 在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，‎ 所以AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝BC2＋CD2＋2BC·CDcos A，‎ 则cos A＝＝＝.‎ 于是sin A＝＝＝.‎ 连接AC，同理可得 cos B＝＝＝，‎ 于是sin B＝＝＝.‎ 所以tan ＋tan ＋tan ＋tan ‎　＝＋ ‎　＝＋ ‎　＝.‎ ‎9．C2、C5、C7[2015·重庆卷] 若tan α＝2tan，则＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎9．C　[解析] ＝＝＝ ‎＝＝＝＝3.‎ ‎18．C2、C3、C5、C6[2015·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin－xsin x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在，上的单调性．‎ ‎18．解：(1)f(x)＝sin－xsin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x－＝sin2x－－，‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.‎ ‎(2)当x∈，时，0≤2x－≤π，从而 当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在，上单调递增；在，上单调递减．‎ C3 三角函数的图象与性质 ‎17．C4、C3[2015·湖北卷] 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ ‎17．解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，所以g(x)＝5sin.‎ 因为y＝sin x的图像的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 所以令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，‎ 解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图像关于点成中心对称，所以令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝‎ －，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ ‎15．C5，C3[2015·北京卷] 已知函数f(x)＝sincos－sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．‎ ‎15．解：(1)因为f(x)＝sin x－(1－cos x)‎ ‎ ＝sin－，‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.‎ 当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．‎ 所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为 f＝－1－.‎ ‎12．A3、C3[2015·山东卷] 若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ ‎12．1　[解析] ∵y＝tan x在区间上单调递增，∴y＝tan x的最大值为tan＝1.‎ 又∵“∀x∈，tan x≤m”是真命题，∴m≥1.‎ ‎4．C3，C4[2015·四川卷] 下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是(　　)‎ A．y＝cos2x＋ B．y＝sin2x＋ C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x ‎4．A　[解析] 选项A中，y＝－sin 2x，最小正周期为π，且图像关于原点对称；选项B中，y＝cos 2x是偶函数，图像不关于原点对称；选项C中，y＝sin，图像不关于原点对称；选项D中，y＝sin，最小正周期为2π.故选A.‎ ‎15．C3、C5、C6[2015·天津卷] 已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间－，上的最大值和最小值．‎ ‎15．解：(1)由已知，有 f(x)＝－＝‎ cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝‎ sin 2x－cos 2x＝sin2x－.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间－，－上是减函数，在区间－，上是增函数，f－＝－，f－＝－，f＝，所以f(x)在区间－，上的最大值为，最小值为－.‎ ‎18．C2、C3、C5、C6[2015·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin－xsin x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在，上的单调性．‎ ‎18．解：(1)f(x)＝sin－xsin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x－＝sin2x－－，‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.‎ ‎(2)当x∈，时，0≤2x－≤π，从而 当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在，上单调递增；在，上单调递减．‎ C4　函数的图象与性质 ‎10．C4[2015·安徽卷] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(2)f(π－2)‎ ‎＝f(－2)>f(2)，故选A.‎ ‎17．C4、C3[2015·湖北卷] 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ ‎17．解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，所以g(x)＝5sin.‎ 因为y＝sin x的图像的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 所以令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，‎ 解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图像关于点成中心对称，所以令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ ‎8．C4[2015·全国卷Ⅰ] 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图12所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ 图12‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z ‎8．D　[解析] 由图知＝－＝1，所以T＝2，即＝2，所以ω＝±π.‎ 因为函数f(x)的图像过点，‎ 所以当ω＝π时，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，‎ 解得φ＝＋2kπ，k∈Z；‎ 当ω＝－π时，＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，‎ 解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)＝cos，由2kπ<πx＋<π＋2kπ解得2k－0，所以A∈0，.‎ 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin－‎2A＝‎ sin A＋cos ‎2A＝－2sin‎2A＋sin A＋1＝‎ ‎－2sin A－2＋.‎ 因为00，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积为bcsin A＝.‎ 方法二：由正弦定理得＝，‎ 从而sin B＝，‎ 又由a>b，知A>B，所以cos B＝.‎ 故sin C＝sin(A＋B)＝sinB＋＝‎ sin Bcos＋cos Bsin＝.‎ 所以△ABC的面积为absin C＝.‎ ‎19．C2、C5、C8[2015·四川卷] 如图14所示，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．‎ ‎(1)证明：tan＝；‎ ‎(2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan＋tan＋tan＋tan的值．‎ ‎19．解：(1)证明：tan＝＝＝.‎ ‎(2)由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B.‎ 由(1)知，‎ tan＋tan＋tan＋tan＝＋＋＋＝＋.‎ 连接BD，‎ 在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A，‎ 在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，‎ 所以AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝BC2＋CD2＋2BC·CDcos A，‎ 则cos A＝＝＝.‎ 于是sin A＝＝＝.‎ 连接AC，同理可得 cos B＝＝＝，‎ 于是sin B＝＝＝.‎ 所以tan ＋tan ＋tan ＋tan ‎　＝＋ ‎　＝＋ ‎　＝.‎ ‎13．C8[2015·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．‎ ‎13．8　[解析] 在△ABC 中，cos A＝－，则sin A＝，又由△ABC的面积为3 ，可得bcsin A＝3，求得bc＝24，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc－2bc－＝64，解得a＝8.‎ ‎16．C8[2015·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.‎ ‎(1)求tan C的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积为3，求b的值．‎ ‎16．解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得 sin2B－＝sin‎2C，‎ 所以－cos 2B＝sin‎2C.‎ 又由A＝，即B＋C＝π，得 ‎－cos 2B＝sin ‎2C＝2sin Ccos C＝sin‎2C，‎ 解得tan C＝2.‎ ‎(2)由tan C＝2，C∈(0，π)得 sin C＝，cos C＝.‎ 又因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，所以 sin B＝.‎ 由正弦定理得c＝b.‎ 又因为A＝，bcsin A＝3，所以bc＝6 ，‎ 故b＝3.‎ ‎13．C8[2015·重庆卷] 在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________．‎ ‎13.　[解析] 在△ABD中，由正弦定理，得sin∠ADB＝＝＝.由题意知0°<∠ADB<60°，所以∠ADB＝45°，则∠BAD＝15°，所以∠BAC＝2∠BAD＝30°，所以C＝30°，所以BC＝AB＝.由余弦定理，得AC＝＝＝.‎ ‎ C9 单元综合 ‎19．C9[2015·福建卷] 已知函数f(x)的图像是由函数g(x)＝cos x的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程．‎ ‎(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0，2π)内有两个不同的解α，β.‎ ‎(i)求实数m的取值范围；‎ ‎(ii)证明：cos(α－β)＝－1.‎ ‎19．解：方法一：(1)将g(x)＝cos x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cos x的图像，再将y＝2cos x的图像向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图像，故f(x)＝2sin x.‎ 从而函数f(x)＝2sin x图像的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．‎ ‎(2)(i)f(x)＋g(x)＝2sin x＋cos x ‎＝ ‎＝sin(x＋φ).‎ 依题意，sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，)．‎ ‎(ii)证明：因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解，‎ 所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.‎ 当1≤m＜时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋φ)；‎ 当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ)．‎ 所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)‎ ‎＝2sin2(β＋φ)－1‎ ‎＝2－1‎ ‎＝－1.‎ 方法二：(1)同方法一．‎ ‎(2)(i)同方法一．‎ ‎(ii)因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解，‎ 所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.‎ 当1≤m＜时，α＋β＝2，即α＋φ＝π－(β＋φ)；‎ 当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α＋φ＝3π－(β＋φ)．‎ 所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．‎ 于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]‎ ‎＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)‎ ‎＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)‎ ‎＝－＋ ‎＝－1.‎ ‎9．C4、C9[2015·湖南卷] 将函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移φ0<φ<个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．D　[解析] 由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，又|f(x1)－g(x2)|＝2，0<φ<，所以当|x1－x2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x1＝，2x2－2φ＝－，则|x1－x2|＝＝，得φ＝.‎ ‎7．[2015·杭州质检] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos ‎2A＋＝2cos A.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．‎ ‎7．解：(1)根据倍角公式，得2cos‎2A＋＝2cos A，即4cos‎2A－4cos A＋1＝0，所以(2cos A－1)2＝0，所以cos A＝.‎ 因为00)的图像与直线y＝2的相邻两个交点之间的距离为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(A)＝2，a＝b，求角B的大小．‎ ‎10．解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0，x∈R)，所以f(x)＝2sin，所以函数f(x)的最大值为2.因为函数f(x)的图像与直线y＝2的相邻两个交点之间的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin.在△ABC中，因为f(A)＝2，所以2sin＝2，所以sin＝1.因为0b，所以A>B，所以00, |φ | <的部分图像如图K162所示，如果x1，x2 ∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎7．C　[解析] 由图像知，函数的最小正周期T＝2＝π，则ω＝＝2.由函数f(x)的图像过点，得sin＝0，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.‎ 由x1，x2 ∈，且f(x1)＝f(x2)，易得点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))关于直线x＝对称，即x1 ＋ x2＝，‎ 所以f(x1＋x2)＝sin＝.‎