人教A版数学必修一1-3-2函数的奇偶性

人教A版数学必修一1-3-2函数的奇偶性

§1．3．2 函数的奇偶性 一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判 断函数的奇偶性； 2．过程与方法： 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合 的数学思想． 3．情态与价值： 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 二．教学重点和难点： 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 三．学法与教学用具 学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇 偶函数的概念． 教学用具：三角板 投影仪 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下 列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 2( )f x x ( ) | | 1f x x  2 1( )x x x  y y y x －1 x 0 x 通过讨论归纳：函数 2( )f x x 是定义域为全体实数的抛物线；函数 ( ) | | 1f x x  是定 义域为全体实数的折线；函数 2 1( )f x x  是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共 性为图象关于 y 轴对称．观察一对关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点 ( , ( ))x f x 在函数图象上，则相应的点 ( , ( ))x f x 也在函数图象上，即函数 图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． －1 100 （二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数 ( )f x 的定义域内的任意一个 x ，都有 ( ) ( )f x f x  ，那么 ( )f x 就 叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数 一般地，对于函数 ( )f x 的定义域的任意一个 x ，都有 ( ) ( )f x f x   ，那么 ( )f x 就 叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任 意一个 x ，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3．具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例 1．判断下列函数是否是偶函数． （1） 2( ) [ 1,2]f x x x   （2） 3 2 ( ) 1 x xf x x   解：函数 2( ) , [ 1,2]f x x x   不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数 3 2 ( ) 1 x xf x x   也不是偶函数，因为它的定义域为  | 1x x R x 且 ，并不关于 原点对称． 例 2．判断下列函数的奇偶性 （1） 4( )f x x （2） 5( )f x x （3） 1( )f x x x   （4） 2 1( )f x x  解：（略） 小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定 ( ) ( )f x f x 与 的关系； ③作出相应结论： 若 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( )f x f x f x f x f x    或 则 是偶函数 ； 若 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( )f x f x f x f x f x     或 则 是奇函数 ． 例 3．判断下列函数的奇偶性： ① ( ) (4 ) (4 )f x lg x g x    ② 2 2 1 1 ( 0)2( ) 1 1 ( 0)2 x x g x x x        分析：先验证函数定义域的对称性，再考察 ( ) ( ) ( )f x f x f x 是否等于 或 ． 解：（1） ( )f x x x的定义域是 |4+ ＞0 且 4 x ＞ 0 = | 4x  ＜ x ＜ 4 ，它具有对称 性．因为 ( ) (4 ) (4 ) ( )f x lg x lg x f x      ，所以 ( )f x 是偶函数，不是奇函数． （2）当 x ＞0 时，－ x ＜0，于是 2 21 1( ) ( ) 1 ( 1) ( )2 2g x x x g x          当 x ＜0 时，－ x ＞0，于是 2 2 21 1 1( ) ( ) 1 1 ( 1) ( )2 2 2g x x x x g x            综上可知，在 R－∪R+上， ( )g x 是奇函数． 例 4．利用函数的奇偶性补全函数的图象． 教材 P35 思考题： 规律：偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据． 例 5．已知 ( )f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数． 证明： ( )f x 在（－∞，0）上也是增函数． 证明：（略） 小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上 单调性一致． （四）巩固深化，反馈矫正． （1）课本 P36 练习 1．2 P39 B 组题的 1．2．3 （2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． ① ( ) 0, [ 6, 2] [2,6];f x x     ② ( ) | 2 | | 2 |f x x x    ③ ( ) | 2 | | 2 |f x x x    ④ 2( ) ( 1 )f x lg x x   （五）归纳小结，整体认识． 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象 法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单 调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和 奇偶性这两个性质． （六）设置问题，留下悬念． 1．书面作业：课本 P44 习题 A 组 1．3．9．10 题 2．设 ( )f x R x在 上是奇函数,当 ＞0 时， ( ) (1 )f x x x  试问：当 x ＜0 时， ( )f x 的表达式是什么？ 解：当 x ＜0 时，－ x ＞0，所以 ( ) (1 )f x x x    ，又因为 ( )f x 是奇函数，所以 ( ) ( ) [ (1 )] (1 )f x f x x x x x         ． A 组 一、选择题： 1．已知函数 2|2| 4)( 2   x xxf ，则它是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2．已知函数 32)1()( 2  mxxmxf 为偶函数，则 f（x）在区间（-5，-2）上是（ ） A．增函数 B．减函数 C．部分为增函数，部分为减函数 D．无法确定增减性 3．函数 )1( 2  xxy 的大致图象是（ ） 4．如果奇函数  f x 在区间 3,7 上是增函数且最小值是 5，那么  f x 在区间 7, 3  上 A、是增函数且最小值是—5 B、是增函数且最大值是—5 C、是减函数且最小值是—5 D、是减函数且最大值是—5 5．已知 || 1)( 2 xxxf  在[—3，—2]上是减函数，下面结论正确的是（ ） A．f（x）是偶函数，在[2，3]上单调递减 B．f（x）是奇函数，在[2，3]上单调递减 C．f（x）是偶函数，在[2，3]上单调递增 D．f（x）是奇函数，在[2，3]上单调递增 6．  f x 为奇函数，在 0, 上    1f x x x  ，则它在  ,0 上表达式 （ ） A、    1f x x x  B、    1f x x x   C、    1f x x x  D、    1f x x x   二、填空题: 7．函数 cxbxxxf  23)( 是奇函数，函数 5)2()( 2  xcxxg 是偶函数，则 b=______，c=_______。 8．定义在 R 上的函数 f（x）、g（x）都是奇函数，函数 F（x）= a f（x）+bg（x）+3 在区 间（0，+∞）上的最大值为 10，那么函数 F（x）在（-∞，0）上的最小值是________。 9．函数 f（x）=|x—a|—|x—a|（a∈R）的奇偶性是_____________。 10．偶函数 f（x）是定义在 R 上的函数，且在（0，+∞）上单调递减，则 )4 3(f 和 )1( 2  aaf 的大小关系是___________。 11．f（x）是（—∞，+∞）上的奇函数，且在（—∞，+∞）上是减函数，那么满足 0)()( 2  afaf 的实数 a 的取值范围是____________。 12．已知 )(xf 为奇函数， )2()(  xfxg 为偶函数，且 5)3( f ，则 )2001(f ＿＿． 三、解答题: 13．已知函数 f（x）是定义在集合{x|x∈R 且 x≠0}上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是 减函数，若 ab＜0，a+b≥0，求证：f（a）+f（b）≤0。 14．定义在（-2，2）上的偶函数 f（x），满足 f（1-a）＜f（a），又当 x≥0 时，f（x）是减 函数，求 a 的取值范围。 15．已知函数 f（x）对任意 x，y∈R，都有 f（x+y）=f（x）+f（y），若 x>0 时，f(x)<0， 且 f（1）=－2。 （1）判断 f（x）的奇偶性；（2）判断 f（x）的单调性；（3）求 f（x）在[－3，3]上的最大 值和最小值。 例：判断下列函数是否是偶 函数