2017-2018学年河北省邯郸市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年河北省邯郸市高二上学期期末数学文试题（解析版）

邯郸市2017～2018学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式等价于 ‎ 故答案为：B。‎ ‎2. 曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，‎ 当时，，故选B.‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎3. 已知为等比数列，且，，则（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,‎ ‎,故选C.‎ ‎4. 已知，且，，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，又，由不等式的可加性可得. 故选D.‎ ‎5. 在锐角中，三内角所对边的长分别为，已知，，，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】在中,由正弦定理 ，得，‎ 所以或. 故选C.‎ ‎6. 函数在上可导，且，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得到，可以构造特殊函数故得到可等价于 ‎ 故答案为：C。‎ ‎7. 下列命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题是真命题 B. 命题“，均有”的否定为“，使得”‎ C. 命题“”的否定是“”‎ D. 命题“若，则的否命题为“若，则”‎ ‎【答案】B ‎8. 在平面直角坐标系中，已知定点，，直线与直线的斜率之积为-4，则动点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设动点P的坐标为（x，y），则由条件得 ‎ 即（x≠0）．‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 故选A．‎ ‎9. 已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a8=8，S8=36，‎ ‎∴ 解得 ‎ ‎∴an=1+（n﹣1）=n．‎ ‎∴ ‎ ‎∴数列{}的前项和为 ‎ 故选：D．‎ ‎10. 已知点是直角坐标平面中的点，则“”成立是“”成立的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得到这两个集合表示的是平面区域的可行域，在同一坐标系中画出可行域，和发现前者表示的区域覆盖了后者表示的区域，故答案为：必要不充分条件。‎ 故答案为：B。‎ ‎11. 已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】物线与双曲线共焦点，由双曲线的定义，得，可得 ，由，得 故解得 故选A.‎ ‎12. 若函数的图像关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. 0 B. -15 C. -16 D. -18‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的图像关于直线对称， ‎ 故得到 ，‎ ‎，令 ‎ 原函数在 函数关于直线对称，且=-16.‎ 故最小值为-16.‎ 故答案为：C。‎ 点睛：这个题目考查到了函数的对称性的应用，以及导数在函数的最值和单调性中的应用。导数是一个很有用的工具，在研究函数极值最值，单调性，和零点问题中，都是非常常见的手段，一般研究函数最值都需要先研究函数的变化趋势，根据图像得到最值。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】根据题目要求知道根据不等式组画出可行域，是一个封闭的三角形区域，目标函数化为，根据图像知道当目标函数过点时函数值最大7.‎ 故答案为：7。‎ 点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形。‎ ‎14. 已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ，因为AB过抛物线的焦点，‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 所以抛物线的方程为 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎15. 已知，，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知，，且， ‎ 故答案为：.‎ ‎16. 已知数列其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据题意得到第98项是在这一列数中，前边的数据共有91项，再数7项是第98项，数8项是第99项，分别为，两者相乘为1。‎ 故答案为：1.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在锐角中，内角的对边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值和的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）, .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件,然后求角C的值;‎ ‎ (Ⅱ)利用余弦定理和求c和的面积.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，‎ 由正弦定理，得，则.‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，，∵，∴.‎ ‎（Ⅱ）由，得.‎ 根据余弦定理，得 ，∴.‎ ‎∴ .‎ ‎18. 某重点中学将全部高一学生分成两个成绩相当（成绩的均值、方差都相同）的级部，‎ 级部采用传统形式的教学方式，级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式.为了解教学效果，期末考试后分别从两个级部中各随机抽取30名学生的数学成绩进行统计，做出茎叶图如下，记成绩不低于127分者为“优秀”.‎ ‎（1）在级部样本的30个个体中随机抽取1个，求抽出的为“优秀”的概率；‎ ‎（2）由以上数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为“优秀”与教学方式有关.‎ 附表：‎ 附：.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据古典概型的计算公式得到优秀”的共有13个，级部样本有30个个体，则；（2）根据公式得到 ，可得到结果。‎ 解析：‎ ‎（1）级部样本的30个个体中为“优秀”的共有13个，‎ 设在级部样本的30个个体中随机抽取1个，抽出的为“优秀”的记为事件，则.‎ ‎（2）‎ 级部|||是否优秀 优 不优 总计 A ‎ 4‎ ‎ 26‎ ‎ 30‎ B ‎ 13‎ ‎ 17‎ ‎ 30‎ 总计 ‎ 17‎ ‎ 43‎ ‎ 60‎ 假设“优秀”与教学方式无关，根据列联表中的数据，得到 ‎ .‎ 因此有的把握认为“优秀”与教学方式有关系.‎ ‎19. 已知数列的前项和为，，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和为.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，，，两式相减，得，，.根据等比数列的公式得到通项；（2），根据错位相减得到 。‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）由题设，，，两式相减，得 ‎，，.‎ ‎∴数列是首项为1，公比为2的等比数列.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由，‎ ‎ . ①‎ ‎ ②‎ ‎∴①-②，得 ，‎ ‎，‎ ‎ .‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎20. 某商品要了解年广告费（单位：万元）对年销售额（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年销售额数据作了初步整理，得到下面的表格：‎ 用广告费作解释变量，年销售额作预报变量，若认为适宜作为年销售额关于年广告费的回归方程类型，则 ‎（1）根据表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（2）已知商品的年利润与的关系式为.根据（1）的结果，年广告费约为何值时（小数点后保留两位），年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎，.‎ ‎【答案】（1）.（2）时年利润的预报值最大.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由公式分别计算得到，，，进而得到回归方程为；（2）由（1）可知年利润的预报值为，通过换元得到，对这个式子求最值即可。‎ 解析：‎ ‎（1），，‎ 由表中数据，得，‎ ‎，∴回归方程为.‎ ‎（2）由（1）可知年利润的预报值为.‎ 设，则，可得.‎ 故当时，即时年利润的预报值最大.‎ ‎21. 已知椭圆经过点，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题，可解得椭圆的方程是.‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，‎ 联立消去，得.结合韦达定理可得的中点坐标（，.由直线与直线垂直，，整理得.再由，可得解.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得，解得.故椭圆的方程是.‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，‎ 联立，消去，得.‎ 则有，.‎ ‎ .‎ 设的中点为，则，.‎ ‎∵直线与直线垂直，∴，整理得.∴.‎ 又∵‎ ‎ ，‎ ‎∴ ，解得或.‎ ‎∵与矛盾，∴.∵，∴.‎ 故直线的方程为或.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎22. 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为，，且由得，可得的单调区间.‎ ‎（Ⅱ）结合，对.分和两种情况讨论求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，若，‎ 则，，又∵是单调递减的，‎ ‎∴当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎∴在区间内为增函数，在区间内为减函数.‎ ‎（Ⅱ），.‎ 当时，在上，，故函数在上单调递减，.‎ 当时，在上，，解得.‎ 又在上单调递减，‎ ‎∴在上，函数在上单调递增，与任意，‎ 恒有成立矛盾.‎ 综上，实数的取值范围为.‎