2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（八）

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（八）

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（八）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知的面积为，且，．‎ ‎（1）若的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为2，且，求的面积；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为，，即：，解得，，‎ ‎，即：，是的内角，，‎ 又，设的三个内角的对边分别为，‎ ‎，，，从而是直角三角形，‎ 由已知得，从而，．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 设的外接圆半径为，则，解得，‎ 故的最大值为．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图：已知平面平面，平面平面，，，，为等边三角形，是线段上的动点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的最大值；‎ ‎（3）是否存在点，使得？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在．‎ ‎【解析】（1）平面平面，在平面内作，则平面，‎ 同理，在平面内作，则平面，‎ ‎，即，重合，平面，‎ 取中点，连结，‎ 以为原点，为轴正方向建立坐标系，‎ 则，，，，，‎ 可得平面的法向量为，‎ 设面的一个法向量为，‎ 则，可得，‎ 从而，平面平面．‎ ‎（2）设，则，设面的一个法向量为，‎ 则，可得．‎ 设直线与面所成角为，‎ 则，所以，‎ 从而直线与平面所成角的最大值为．‎ ‎（3）由（2）知，则，，‎ ‎，，故不存在点，使得．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，他们中有二孩计划的家庭频数分布如下表：‎ 家庭月收入（单位：元）‎ ‎2千以下 ‎2千~5千 ‎5千~8千 ‎8千~1万 ‎1万~2万 ‎2万以上 调查的总人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 有二孩计划的家庭数 ‎1‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（1）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．‎ 收入不高于8千的家庭数 收入高于8千的家庭数 合计 有二孩计划的家庭数 无二孩计划的家庭数 合计 ‎（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千~1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有个，求的分布列及数学期望．‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；．‎ ‎【解析】（1）依题意得：，，，；‎ 收入不高于8千的家庭数 收入高于8千的家庭数 合计 有二孩计划的家庭数 ‎12‎ ‎14‎ ‎26‎ 无二孩计划的家庭数 ‎18‎ ‎6‎ ‎24‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎，‎ 因此有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关．‎ ‎（2）由题意知，，的可能取值为0，1，2，3；‎ ‎， ，‎ ‎， ，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线是圆的任意一条切线，与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恒过原点，求圆的方程，并求出的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）圆的方程为，的取值范围是．‎ ‎【解析】（1），，‎ 设直线与椭圆交于，两点．不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点，‎ 又弦长为，，，又，‎ 解得，，椭圆方程为．‎ ‎（2）（i）当切线的斜率不存在时，设（或），代入椭圆方程得：，‎ ‎，，‎ 以为直径的圆恒过原点，，，，‎ 圆的方程为，‎ 此时．（同理当时，上述结论仍然成立）‎ ‎（ii）当切线的斜率存在时，设方程为：，‎ 与圆相切，，即，‎ 将直线方程代入椭圆方程并整理得：‎ 设，，则，是方程①的两个解，由韦达定理得：‎ ‎，，‎ ‎，‎ 以为直径的圆恒过原点，，，，‎ ‎，，又，，‎ ‎，此时，代入②式后成立，‎ 圆的方程为，此时：‎ i）若，则，‎ ii）若，则 综上，圆的方程为，的取值范围是．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知，且曲线在点处的切线斜率为1．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设在其定义域内有两个不同的极值点，，且，已知，若不等式恒成立，求的范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ 由题意知，即：，解得．‎ ‎（2）因为等价于．‎ 由题意可知，分别是方程即的两个根，‎ 即，，‎ 所以原式等价于，‎ 因为，，所以原式等价于．‎ 又由，作差得，，即．‎ 所以原式等价于，‎ 因为，原式恒成立，即恒成立．‎ 令，，则不等式在上恒成立．‎ 令，又，‎ 当时，可见时，，所以在上单调增，又，‎ 在恒成立，符合题意．‎ 当时，可见时，，时，‎ 所以在时单调增，在时单调减，又，‎ 所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．‎ 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以．‎