数学·贵州省铜仁一中2017届高三上学期入学数学试卷 Word版含解析

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文档介绍

数学·贵州省铜仁一中2017届高三上学期入学数学试卷 Word版含解析

‎2016-2017学年贵州省铜仁一中高三(上)入学数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={﹣1,2},B={x∈Z|0≤x≤2},则A∩B等于(  )‎ A.{0} B.{2} C.{0,1,2} D.∅‎ ‎2.已知复数z1=1﹣i,z2=1+i,则等于(  )‎ A.2i B.﹣2i C.2+i D.﹣2+i ‎3.已知loga<logb,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A. B. C.ln(a﹣b)>0 D.3a﹣b<1‎ ‎4.已知﹣2,a1,a2,﹣8成等差数列,﹣2,b1,b2,b3,﹣8成等比数列,则等于(  )‎ A. B. C. D.或 ‎5.已知m∈R,“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|<)的图象如图所示,为了得到y=sinωx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有点(  )‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 ‎7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为(  )‎ A. B. C. D.3‎ ‎8.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎9.如图,F1、F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点,若△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为 (  )‎ A. B.2 C.﹣1 D.1+‎ ‎10.如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计),设输液开始后x分钟,瓶内液面与进气管的距离为h厘米,已知当x=0时,h=13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完.则函数h=f(x)的图象为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知不等式组表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P,作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B,当∠APB最大时, •的值为(  )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎12.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),∀x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数m的取值范围为(  )‎ A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题包括4小题,每小题5分.‎ ‎13.已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是  .‎ ‎14.2014年11月,北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议,出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表.其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求,那么不同的排法共有  种(用排列组合表示).‎ ‎15.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:‎ 三角形数,‎ 正方形数N(n,4)=n2,‎ 五边形数,‎ 六边形数N(n,6)=2n2﹣n,‎ ‎…‎ 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=  .‎ ‎16.设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在非零常数T,对于任意x∈D,都有f(x+T)=T•f(x),则称函数y=f(x)是“似周期函数”,非零常数T为函数y=f(x)的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:‎ ‎①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为﹣1,那么它是周期为2的周期函数;‎ ‎②函数f(x)=x是“似周期函数”;‎ ‎③函数f(x)=2﹣x是“似周期函数”;‎ ‎④如果函数f(x)=cosωx是“似周期函数”,那么“ω=kπ,k∈Z”.‎ 其中是真命题的序号是  .(写出所有满足条件的命题序号)‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明:‎ ‎(1)bcosC+ccosB=a ‎(2)=.‎ ‎18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:AM∥平面PCD;‎ ‎(Ⅱ)设点N是线段CD上一动点,且DN=λDC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.‎ ‎19.在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生的6次培训成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图:‎ ‎(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛,你会选哪位?请运用统计学的知识说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个,记选到的分数超过87分的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.‎ ‎20.已知抛物线C1:y2=2px上一点M(3,y0)到其焦点F的距离为4;椭圆C2:的离心率e=,且过抛物线的焦点F.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F的直线l1交抛物线C1于A、B两不同点,交y轴于点N,已知,求证:λ+μ为定值.‎ ‎(Ⅲ)直线l2交椭圆C2于P,Q两不同点,P,Q在x轴的射影分别为P′,Q′,+1=0,若点S满足:,证明:点S在椭圆C2上.‎ ‎21.已知函数f(x)=﹣x2+2lnx,函数f(x)与g(x)=x 有相同极值点.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值;‎ ‎(2)求实数a的值;‎ ‎(3)若∀x1,x2∈[,3],不等式≤1恒成立,求实数k的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分..‎ ‎22.如图AB是圆O的一条弦,过点A作圆的切线AD,作BC⊥AC,与该圆交于点D,若AC=2,CD=2.‎ ‎(1)求圆O的半径;‎ ‎(2)若点E为AB中点,求证O,E,D三点共线.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离,并求出此时点P的坐标.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤4的解集为{x|﹣1≤x≤2},求实数a的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若存在实数n使得f(n)≤t﹣f(﹣n)成立,求实数t的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年贵州省铜仁一中高三(上)入学数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={﹣1,2},B={x∈Z|0≤x≤2},则A∩B等于(  )‎ A.{0} B.{2} C.{0,1,2} D.∅‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B,由此利用集合A={﹣1,2},B={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2},能求出A∩B.‎ ‎【解答】解:∵集合A={﹣1,2},B={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2},‎ ‎∴A∩B={2}.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2.已知复数z1=1﹣i,z2=1+i,则等于(  )‎ A.2i B.﹣2i C.2+i D.﹣2+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】代入复数,利用复数的代数形式的乘除运算,求解即可.‎ ‎【解答】解:∵复数z1=1﹣i,z2=1+i,‎ 则====﹣2i.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.已知loga<logb,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A. B. C.ln(a﹣b)>0 D.3a﹣b<1‎ ‎【考点】对数值大小的比较.‎ ‎【分析】根据题意得出a>b>0;利用指数函数y=与幂函数y=xb的单调性判断A正确,‎ 利用作差法判断B错误,利用分类讨论法判断C错误,根据指数函数的性质判断D错误.‎ ‎【解答】解:∵y=x是定义域上的减函数,且,‎ ‎∴a>b>0;‎ 又∵y=是定义域R上的减函数,‎ ‎∴<;‎ 又∵y=xb在(0,+∞)上是增函数,‎ ‎∴<;‎ ‎∴<,A正确;‎ ‎∵﹣=<0,∴<,B错误;‎ 当1>a﹣b>0时,ln(a﹣b)>0,‎ 当a﹣b≥1时,ln(a﹣b)≤0,∴C错误;‎ ‎∵a﹣b>0,∴3a﹣b>1,D错误.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.已知﹣2,a1,a2,﹣8成等差数列,﹣2,b1,b2,b3,﹣8成等比数列,则等于(  )‎ A. B. C. D.或 ‎【考点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】由等差数列和等比数列可得a2﹣a1=﹣2,b2=﹣4,代入要求的式子计算可得.‎ ‎【解答】解:∵﹣2,a1,a2,﹣8成等差数列,‎ ‎∴a2﹣a1==﹣2,‎ 又∵﹣2,b1,b2,b3,﹣8成等比数列,‎ ‎∴b22=(﹣2)×(﹣8)=16,解得b2=±4,‎ 又b12=﹣2b2,∴b2=﹣4,‎ ‎∴==‎ 故选:B ‎ ‎ ‎5.已知m∈R,“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据函数的性质求出m的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【解答】解:若函数y=f(x)=2x+m﹣1有零点,则f(0)=1+m﹣1=m<1,‎ 当m≤0时,函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数不成立,即充分性不成立,‎ 若y=logmx在(0,+∞)上为减函数,则0<m<1,此时函数y=2x+m﹣1有零点成立,即必要性成立,‎ 故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎6.函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|<)的图象如图所示,为了得到y=sinωx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有点(  )‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 ‎【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.‎ ‎【分析】根据周期求出ω,再由五点法作图求出∅,从而得到函数f(x)=sin2(x+),故把y=f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意可得×=﹣=,∴ω=2.‎ 再由五点法作图可得 2×+∅=π,∴∅=,故函数f(x)=sin(ωx+ϕ)=sin(2x+)=sin2(x+).‎ 故把y=f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为(  )‎ A. B. C. D.3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A﹣BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,分别计算侧面积,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A﹣BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED==,S△ABC=S△ADE==,S△ACD==,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【考点】循环结构.‎ ‎【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件就退出循环,执行语句输出k,从而到结论.‎ ‎【解答】解:当输入的值为n=5时,‎ n不满足第一判断框中的条件,n=16,k=1,n不满足第二判断框中的条件,‎ n满足第一判断框中的条件,n=8,k=2,n不满足第二判断框中的条件,‎ n满足第一判断框中的条件,n=4,k=3,n不满足第二判断框中的条件,‎ n满足第一判断框中的条件,n=2,k=4,n不满足第二判断框中的条件,‎ n满足第一判断框中的条件,n=1,k=5,n满足第二判断框中的条件,‎ 退出循环,‎ 即输出的结果为k=5,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.如图,F1、F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点,若△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为 (  )‎ A. B.2 C.﹣1 D.1+‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】连结AF1,根据圆的直径的性质和等边三角形的性质,证出△F1AF2是含有30°角的直角三角形,由此得到|F1A|=c且|F2A|=c.再利用双曲线的定义,得到2a=|F2A|﹣|F1A|=(﹣1)c,即可算出该双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:连结AF1,‎ ‎∵F1F2是圆O的直径,‎ ‎∴∠F1AF2=90°,即F1A⊥AF2,‎ 又∵△F2AB是等边三角形,F1F2⊥AB,‎ ‎∴∠AF2F1=∠AF2B=30°,‎ 因此,Rt△F1AF2中,|F1F2|=2c,|F1A|=|F1F2|=c,‎ ‎|F2A|=|F1F2|=c.‎ 根据双曲线的定义,得2a=|F2A|﹣|F1A|=(﹣1)c,‎ 解得c=(+1)a,‎ ‎∴双曲线的离心率为e==+1.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎10.如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计),设输液开始后x分钟,瓶内液面与进气管的距离为h厘米,已知当x=0时,h=13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完.则函数h=f(x)的图象为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【分析】每分钟滴下πcm3药液,当液面高度离进气管4至13cm时,x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以(13﹣h),当液面高度离进气管1至4cm时,x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以(4﹣h)的和,由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系.‎ ‎【解答】解:由题意知,每分钟滴下πcm3药液,‎ 当4≤h≤13时,xπ=π•42•(13﹣h),即h=13﹣,此时0≤x≤144;‎ 当1≤h<4时,xπ=π•42•9+π•22•(4﹣h),即,此时144<x≤156.‎ ‎∴函数单调递减,且144<x≤156时,递减速度变快.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.已知不等式组表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P,作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B,当∠APB最大时, •的值为(  )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算;简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据数形结合求确定当α最小时,P的位置,利用向量的数量积公式,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图,要使∠APB最大,‎ 则P到圆心的距离最小即可,‎ 由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0,此时|OP|==2,|OA|=1,‎ 设∠APB=α,则sin=, =‎ 此时cosα=, •==.‎ 故选:B ‎ ‎ ‎12.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),∀x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数m的取值范围为(  )‎ A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】令g(x)=f(x)﹣x2,由g(﹣x)+g(x)=0,可得函数g(x)为奇函数.利用导数可得函数g(x)在R上是减函数,f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m,即g(4﹣m)≥g(m),可得 4﹣m≤m,由此解得a的范围.‎ ‎【解答】解:令g(x)=f(x)﹣x2,‎ ‎∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)﹣x2+f(x)﹣x2=0,‎ ‎∴函数g(x)为奇函数.‎ ‎∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x<0,‎ 故函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,故函数g(x)在(﹣∞,0)上也是减函数,‎ 由f(0)=0,可得g(x)在R上是减函数,‎ ‎∴f(4﹣m)﹣f(m)=g(4﹣m)+(4﹣m)2﹣g(m)﹣m2=g(4﹣m)﹣g(m)+8﹣4m≥8﹣4m,‎ ‎∴g(4﹣m)≥g(m),∴4﹣m≤m,解得:m≥2,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题包括4小题,每小题5分.‎ ‎13.已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是 2 .‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离.‎ ‎【分析】先把两平行线方程中一次项的系数化为相同的,利用两平行线间的距离公式进行运算.‎ ‎【解答】解:直线3x+4y﹣3=0 即 6x+8y﹣6=0,它直线6x+my+14=0平行,∴m=8,则它们之间的距离是 d===2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎14.2014年11月,北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议,出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表.其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求,那么不同的排法共有  种(用排列组合表示).‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题.‎ ‎【分析】由题意,其余18人有种站法,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,有种站法,根据乘法原理,可得不同的排法.‎ ‎【解答】解:由题意,其余18人有种站法,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,有种站法;‎ 根据乘法原理,可得不同的排法共有种.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:‎ 三角形数,‎ 正方形数N(n,4)=n2,‎ 五边形数,‎ 六边形数N(n,6)=2n2﹣n,‎ ‎…‎ 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= 1000 .‎ ‎【考点】归纳推理.‎ ‎【分析】观察已知式子的规律,并改写形式,归纳可得,把n=10,k=24代入可得答案.‎ ‎【解答】解:原已知式子可化为:,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 由归纳推理可得,‎ 故=1100﹣100=1000‎ 故答案为:1000‎ ‎ ‎ ‎16.设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在非零常数T,对于任意x∈D,都有f(x+T)=T•f(x),则称函数y=f(x)是“似周期函数”,非零常数T为函数y=f(x)的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:‎ ‎①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为﹣1,那么它是周期为2的周期函数;‎ ‎②函数f(x)=x是“似周期函数”;‎ ‎③函数f(x)=2﹣x是“似周期函数”;‎ ‎④如果函数f(x)=cosωx是“似周期函数”,那么“ω=kπ,k∈Z”.‎ 其中是真命题的序号是 ①③④ .(写出所有满足条件的命题序号)‎ ‎【考点】抽象函数及其应用.‎ ‎【分析】由题意,首先理解似周期函数的定义,从而解得.‎ ‎【解答】解:①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为﹣1,‎ 则f(x﹣1)=﹣f(x),即 f(x﹣1)=﹣f(x)=﹣(﹣f(x+1))=f(x+1);‎ 故它是周期为2的周期函数;故正确;‎ ‎②若函数f(x)=x是“似周期函数”,‎ 则存在非零常数T,使f(x+T)=T•f(x),‎ 即x+T=Tx;故(1﹣T)x+T=0恒成立;‎ 故不存在T.故假设不成立,故不正确;‎ ‎③若函数f(x)=2﹣x是“似周期函数”,‎ 则存在非零常数T,使f(x+T)=T•f(x),‎ 即2﹣x﹣T=T•2﹣x,‎ 即(T﹣2﹣T)•2﹣x=0;‎ 而令y=x﹣2﹣x,作图象如下,‎ 故存在T>0,使T﹣2﹣T=0;故正确;‎ ‎④若函数f(x)=cosωx是“似周期函数”,‎ 则存在非零常数T,使f(x+T)=T•f(x),‎ 即cos(ωx+ωT)=Tcosωx;‎ 故T=1或T=﹣1;‎ 故“ω=kπ,k∈Z”.故正确;‎ 故答案为:①③④.‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明:‎ ‎(1)bcosC+ccosB=a ‎(2)=.‎ ‎【考点】正弦定理的应用.‎ ‎【分析】根据正弦定理和余弦定理分别进行证明即可.‎ ‎【解答】证明:(1)由正弦定理得:‎ bcosC+ccosB=2RsinBcosC+2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA=a成立.‎ ‎(2)由(1)知,bcosC+ccosB=a,acosC+ccosA=b,‎ ‎∴bcosC+ccosB+acosC+ccosA=a+b,‎ 即c(cosB+cosA)=(a+b)(1﹣cosC)=(a+b),‎ ‎∴=,成立.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:AM∥平面PCD;‎ ‎(Ⅱ)设点N是线段CD上一动点,且DN=λDC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.‎ ‎【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,求出的坐标,再求出平面平面PCD的一个法向量,即可证明AM∥平面PCD;‎ ‎(Ⅱ)利用空间向量求出使直线MN与平面PAB所成的角最大时N的位置即可,得出λ的值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1),‎ ‎∴=(0,1,1),=(1,0,﹣2),=(﹣1,﹣2,0)‎ 设平面PCD的法向量是=(x,y,z),则 令z=1,则x=2,y=﹣1,于是 ‎∵,∴,‎ ‎∴AM∥平面PCD …‎ ‎(Ⅱ)解:由点N是线段CD上的一点,可设 又面PAB的法向量为=(1,0,0)‎ 设MN与平面PAB所成的角为θ 则===‎ ‎∴时,即时,sinθ最大,‎ ‎∴MN与平面PAB所成的角最大时 …‎ ‎ ‎ ‎19.在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生的6次培训成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图:‎ ‎(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛,你会选哪位?请运用统计学的知识说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个,记选到的分数超过87分的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;茎叶图;离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】(Ⅰ)分别求出从甲、乙两名学生中的平均成绩和方差,得到甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,则乙发挥更稳定,故应选择学生乙参加知识竞赛.‎ ‎(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)学生甲的平均成绩==82,‎ 学生乙的平均成绩==82,‎ 又S2甲= [(68﹣82)2+(76﹣82)2+(79﹣82)2+(86﹣82)2+(88﹣82)2+(95﹣82)2]=77,‎ S2乙= [(71﹣82)2+(75﹣82)2+(82﹣82)2+(84﹣82)2+(86﹣82)2+(94﹣82)2]=,‎ 则=,S2甲>S2乙,‎ 说明甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,则乙发挥更稳定,故应选择学生乙参加知识竞赛.‎ ‎(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,1,2,‎ 则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以数学期望Eξ==.‎ ‎ ‎ ‎20.已知抛物线C1:y2=2px上一点M(3,y0)到其焦点F的距离为4;椭圆C2:的离心率e=,且过抛物线的焦点F.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F的直线l1交抛物线C1于A、B两不同点,交y轴于点N,已知,求证:λ+μ为定值.‎ ‎(Ⅲ)直线l2交椭圆C2于P,Q两不同点,P,Q在x轴的射影分别为P′,Q′,+1=0,若点S满足:,证明:点S在椭圆C2上.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用抛物线上一点M(3,y0)到其焦点F的距离为4;求出p,即可得到抛物线方程,通过椭圆的离心率,且过抛物线的焦点F(1,0)求出a,b,即可得到椭圆的方程.‎ ‎(Ⅱ)直线l1的斜率必存在,设为k,设直线l与椭圆C2交于A(x1,y1),B(x2,y2),求出直线l的方程为y=k(x﹣1),N(0,﹣k),联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理以及判别式,通过向量关系式即可求出λ+μ为定值.‎ ‎(Ⅲ)设P(xp,yp),Q(xQ,yQ),可得S(xp+xQ,yp+yQ),通过转化证明即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)抛物线上一点M(3,y0)到其焦点F的距离为4;‎ 抛物线的准线为 抛物线上点M(3,y0)到其焦点F的距离|MF|等于到准线的距离d 所以,所以p=2‎ 抛物线C1的方程为y2=4x 椭圆的离心率,且过抛物线的焦点F(1,0)‎ 所以b=1,,解得a2=2‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎(Ⅱ)直线l1的斜率必存在,设为k,设直线l与椭圆C2交于A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 则直线l的方程为y=k(x﹣1),N(0,﹣k)‎ 联立方程组:所以k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,‎ ‎△=16k2+16>0,所以(*) ‎ 由得:λ(1﹣x1)=x1,λ(1﹣x2)=x2得:‎ 所以 将(*)代入上式,得 ‎(Ⅲ)设P(xp,yp),Q(xQ,yQ)所以S(xp+xQ,yp+yQ),则 由,得2xPxQ+yPyQ=﹣1…(1),‎ ‎…(2)‎ ‎…(3)‎ ‎(1)+(2)+(3)得:‎ 即S(xp+xQ,yp+yQ)满足椭圆的方程,命题得证 ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=﹣x2+2lnx,函数f(x)与g(x)=x 有相同极值点.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值;‎ ‎(2)求实数a的值;‎ ‎(3)若∀x1,x2∈[,3],不等式≤1恒成立,求实数k的取值范围.‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(1)求导函数,确定函数的单调性,从而可得函数f(x)的最大值;‎ ‎(2)求导函数,利用函数f(x)与g(x)=x+有相同极值点,可得x=1是函数g(x)的极值点,从而可求a的值;‎ ‎(3)先求出x1∈[,3]时,f(x1)min=f(3)=﹣9+2ln3,f(x1)max=f(1)=﹣1;x2∈[,3]时,g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)=,再将对于“x1,x2∈[,3],不等式≤1恒成立,等价变形,分类讨论,即可求得实数k的取值范围.‎ ‎【解答】解 (1)f′(x)=﹣2x+=﹣2×(x>0),‎ 由f′(x)>0得0<x<1;由f′(x)<0得x>1.‎ ‎∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数.‎ ‎∴函数f(x)的最大值为f(1)=﹣1.‎ ‎(2)∵g(x)=x+,∴g′(x)=1﹣.‎ 由(1)知,x=1是函数f(x)的极值点.又∵函数f(x)与g(x)=x+有相同极值点,‎ ‎∴x=1是函数g(x)的极值点.∴g′(1)=1﹣a=0,解得a=1.‎ 经检验,当a=1时,函数g(x)取到极小值,符合题意 ‎(3)∵f()=﹣﹣2,f(1)=﹣1,f(3)=﹣9+2ln3,‎ ‎∵﹣9+2ln3<﹣﹣2<﹣1,即f(3)<f()<f(1),‎ ‎∴∀x1∈(,3),f(x1)min=f(3)=﹣9+2ln3,f(x1)max=f(1)=﹣1.‎ 由①知g(x)=x+,∴g′(x)=1﹣.‎ 故g(x)在[,1)时,g′(x)<0;当x∈(1,3]时,g′(x)>0.故g(x)在[,e)上为减函数,在(1,3]上为增函数.‎ ‎∵g()=e+,g(1)=2,g(3)=3+=,而2<e+<,∴g(1)<g()<g(3).‎ ‎∴∀x2∈[,e],g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)=.‎ 当k﹣1>0,即k>1时,对于∀x1,x2∈[,e],不等式≤1恒成立 ‎⇔k﹣1≥[f(x1)﹣g(x2)]max⇔k≥[f(x1)﹣g(x2)]max+1.‎ ‎∵f(x1)﹣g(x2)≤f(1)﹣g(1)=﹣1﹣2=﹣3,∴k≥﹣3+1=﹣2,又∵k>1,∴k>1.‎ 当k﹣1<0,即k<1时,对于∀x1,x2∈[,e],不等式≤1恒成立 ‎⇔k﹣1≤[f(x1)﹣g(x2)]min⇔k≤[f(x1)﹣g(x2)]min+1.‎ ‎∵f(x1)﹣g(x2)≥f(3)﹣g(3)=﹣9+2ln3﹣=﹣+2ln3,‎ ‎∴k≤﹣+2ln3.又∵k<1,∴k≤﹣+2ln3.‎ 综上,所求的实数k的取值范围为(﹣∞,﹣+2ln3))∪(1,+∞).‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分..‎ ‎22.如图AB是圆O的一条弦,过点A作圆的切线AD,作BC⊥AC,与该圆交于点D,若AC=2,CD=2.‎ ‎(1)求圆O的半径;‎ ‎(2)若点E为AB中点,求证O,E,D三点共线.‎ ‎【考点】圆的切线的性质定理的证明.‎ ‎【分析】(1)取BD中点为F,连结OF,求出BC,可得BF,利用勾股定理求圆O的半径;‎ ‎(2)证明四边形OADB为平行四边形,利用E为AB的中点,即可证明O,E,D三点共线.‎ ‎【解答】(1)解:取BD中点为F,连结OF,由题意知,OF∥AC,OF=AC.‎ ‎∵AC为圆O的切线,BC为割线,‎ ‎∴CA2=CD•CB,‎ 由,∴BC=6,‎ ‎∴BD=4,BF=2‎ 在Rt△OBF中,由勾股定理得,.‎ ‎(2)证明:由(1)知,OA∥BD,OA=BD ‎∴四边形OADB为平行四边形,‎ 又∵E为AB的中点,‎ ‎∴OD与AB交于点E,‎ ‎∴O,E,D三点共线.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离,并求出此时点P的坐标.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)曲线C1的参数方程为(α是参数),x=2cos2α=1+cos2α,利用cos22α+sin22α=1即可得出.‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ=,化为ρsinθ﹣ρcosθ=1,利用即可得出.‎ ‎(2)设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t,代入圆的方程可得:2x2+2(t﹣1)x+t2=0,利用△=0,解得t.利用平行线之间的距离公式可得最小距离,进而得出点P.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(α是参数),x=2cos2α=1+cos2α,∴(x﹣1)2+y2=1.‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ=,化为ρsinθ﹣ρcosθ=1,∴y﹣x=1,即x﹣y+1=0.‎ ‎(2)设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t,代入圆的方程可得:2x2+2(t﹣1)x+t2=0,∵△=4(t﹣1)2﹣8t2=0,化为t2+2t﹣1=0,解得.‎ 取t=﹣1,直线y=x+1与切线的距离d==﹣1,即为曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离.‎ 此时2x2+2(t﹣1)x+t2=0,化为=0,解得x==,y=,∴P.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤4的解集为{x|﹣1≤x≤2},求实数a的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若存在实数n使得f(n)≤t﹣f(﹣n)成立,求实数t的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法;分段函数的应用.‎ ‎【分析】(1)由绝对值不等式的解法可得a﹣2≤x≤2,由a﹣2=﹣1,可得a的值;‎ ‎(2)由题意可得f(n)+f(﹣n)的最小值不小于t,运用去绝对值方法,结合一次函数的单调性可得最小值,即可得到t的范围.‎ ‎【解答】解:(1)由|2x﹣a|+a≤4,‎ 得|2x﹣a|≤4﹣a,‎ ‎∴a﹣4≤2x﹣a≤4﹣a,‎ 即a﹣2≤x≤2,‎ ‎∴a﹣2=﹣1,∴a=1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=|2x﹣1|+1.‎ 令φ(n)=f(n)+f(﹣n),‎ 则φ(n)=|2n﹣1|+|2n+1|+2=,‎ 当n≤﹣时,φ(n)≥2﹣(﹣2)=4;‎ 当n>时,φ(n)>4.‎ ‎∴φ(n)的最小值为4,‎ 故实数t的取值范围是[4,+∞).‎ ‎ ‎ ‎2016年11月27日
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