高考数学专题复习：计数原理 习题课(四)

高考数学专题复习：计数原理 习题课(四)

第一章　计数原理 习题课(四)‎ 一、选择题 ‎1、如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16等于(　　)‎ A．144 B．146‎ C．164 D．461‎ ‎2、化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1的结果是(　　)‎ A．x4 B．(x－1)4‎ C．(x－2)4 D．(1－x)4‎ ‎3、1－‎90C＋‎902C－‎903C＋…＋‎9010C除以88的余数是(　　)‎ A．－1 B．‎1 ‎ C．－87 D．87‎ ‎4、若对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2等于(　　)‎ A．3 B．‎6 ‎ C．9 D．12‎ ‎5、设二项式(＋)n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　)‎ A．第9项 B．第8项 C．第9项和第10项 D．第8项和第9项 二、填空题 ‎6、今天是星期一，如果今天算第一天，那么第810天是星期______．‎ ‎7、(x＋1)＋(x＋1)2＋(x＋1)3＋(x＋1)4＋(x＋1)5的展开式中x2的系数为________．‎ ‎8、已知(3x＋1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则展开式的二项式系数的和为________，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝______.‎ 三、解答题 ‎9、已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2‎ 项的系数的最小值．‎ ‎10、求(1＋x＋)10的展开式中的常数项．‎ ‎11、已知(3－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，求：‎ ‎(1)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中绝对值最大的系数；‎ ‎(2)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中最大的系数．‎ ‎12、设(3x＋x)n的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h.若h＋t＝272，求其二项展开式中x2项的系数．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是 C.‎ ‎∴S16＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)＝C＋C－1＝164.]‎ ‎2、A　[(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C(x－1)4＋C(x－1)3×1＋C(x－1)2×12＋C(x－1)×13＋C×14＝(x－1＋1)4＝x4.]‎ ‎3、B　[1－‎90C＋‎902C－‎903C＋…＋‎9010C ‎＝(1－90)10＝(88＋1)10，‎ ‎(88＋1)10＝8810＋C889＋C888＋…＋C88＋1，‎ 所以(88＋1)10除以88的余数是1.]‎ ‎4、B　[由题意，把等式右边展开得，‎ 解得]‎ ‎5、A　[因展开式的第5项为T5＝Cx－4，所以有－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．]‎ 二、填空题 ‎6、一 解析　810＝(7＋1)10＝C710＋C79＋…＋C7＋C＝‎7M＋1(M∈Z)，故810除以7余1，所以第810天是星期一．‎ ‎7、20‎ 解析　各个组成项的x2的系数分别为C，C，C，C，则展开式中x2的系数为20.‎ ‎8、128　16 384‎ 解析　(3x＋1)7展开式中二项式系数的和为27＝128；令x＝1，则47＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝16 384.‎ 三、解答题 ‎9、解　(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(‎2C＋‎4C)x，所以‎2C＋‎4C＝36，即m＋2n＝18.‎ ‎(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为t＝C22＋C42＝‎2m2‎－‎2m＋8n2－8n.因为m＋2n＝18，所以m＝18－2n，所以t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n＝16n2－148n＋612＝16(n2－n＋)，所以当n＝时，t取最小值，但n∈N*，所以n＝5时，t最小即含x2项的系数最小，最小值为272，此时n＝5，m＝8.‎ ‎10、解　(1＋x＋)10＝[1＋(x＋)]10，通项为Tr＋1＝C(x＋)r (r＝0,1,2，…，10)，而(x＋)r展开的通项公式为Tk＋1＝Cxr－k·()k＝Cxr－3k (k＝0,1,2，…，r)，‎ 当r－3k＝0时，Tr＋1是常数项．‎ 由r＝3k,0≤r≤10,0≤k≤r，且r，k∈N*，‎ 得r＝0,3,6,9，k＝0,1,2,3，‎ 所以由系数为C·C可得常数项为C＋CC＋CC＋CC＝4 351.‎ ‎11、解　设k∈N，且k≤8，则有ak＝C·38－k·(－2)k.‎ 显然，|ak|＝C·38－k·2k，‎ 由 得 解得所以k＝3.‎ 即9个系数中，绝对值最大的系数为|a3|＝C·35·23＝108 864.‎ ‎(2)由(1)中不等式组及其解集可知|a0|<|a1|<|a2|<|a3|>|a4|>…>|a8|.‎ 又从通项公式ak＝C·38－k·(－2)k可以看出，a0，a2，a4，a6，a8均大于0；a1，a3，a5，a7均小于0，因而只需比较a2，a4的大小．‎ 因为a2＝C·36·(－2)2＝81 648，‎ a4＝C·34·(－2)4＝90 720.‎ 所以，9个系数中，最大的系数为a4＝90 720.‎ ‎12、解　由题意，h＝2n，令x＝1，得t＝4n，又h＋t＝272，‎ 所以4n＋2n＝272，解得2n＝16，所以n＝4.‎ 所以Tk＋1＝C(3x)4－k(x)k＝C34－kx＋，则＋＝2，得k＝4，所以二项展开式中x2项的系数为1.‎