河北省衡水市安平中学2019-2020学年高一上学期月考数学试题

河北省衡水市安平中学2019-2020学年高一上学期月考数学试题

河北安平中学2019-2020上学期高一第二次月考数学试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的定义，依次分析每个选项得到答案.‎ ‎【详解】根据集合的定义，依次分析选项可得：‎ 对于选项A：M、N都是点集，与是不同的点，则M、N是不同的集合，故不符合；‎ 对于选项B：M、N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求；‎ 对于选项C：M是点集，表示直线上所有的点，而N是数集，表示函数的值域，则M、N是不同的集合，故不符合；‎ 对于选项D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集，则M、N是不同的集合，故不符合；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的相等，仔细辨认元素是解题的关键.‎ ‎2.已知函数，则的解析式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于，所以.‎ ‎3.定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为(　　)‎ A. [‎2a，a＋b] B. [0，b－a] C. [a，b] D. [－a，a＋b]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令，∵，则，∴函数与是同一个函数；‎ ‎∴的值域为 故选C.‎ ‎4.函数的图象如图，则该函数可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定正确的选项.‎ 详解：由图象可知，函数是奇函数，排除A；‎ 时，的函数值是大于0的，故排除B；‎ C、D由函数的增长趋势判断，当时， ， ，‎ 由图观察可得，应选D.‎ 点睛：本题主要考查由函数图象确定解析式等知识，根据图象选择解析式，或根据解析式选择图象，一般通过奇偶性和特殊点进行排除法选出正确答案.本题中A、B 比较同意排除，在C、D中，根据增长的趋势进行进一步选择.意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.设α，β是方程的两根，则的值为（ ）‎ A. 8 B. C. -8 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用韦达定理得到，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】由题意可知，得 故选：A ‎【点睛】本题考查了指数运算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6.已知，，，，则下列关系正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】依题意，，由于，函数为减函数，故.故选C.‎ ‎7.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)‎ A. (－∞，2] B. [2，＋∞)‎ C. [－2，＋∞) D. (－∞，－2]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由f(1)=得a2=,‎ ‎∴a=或a=- (舍),‎ 即f(x)=(‎ ‎.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.‎ ‎8.若方程(，)有两个不同实数根，则m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程的根转化为函数与的图象有两个不同的交点，画出图像计算得到答案.‎ ‎【详解】方程有两个不同的实数根 即函数与的图象有两个不同的交点.‎ 显然，当时，两图象有两个不同交点；当时，两图象只有1个交点，‎ 故m的取值范围是.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了方程的解，转化为函数图像的交点是解题的关键.‎ ‎9.当生物死亡后，其体内原有的碳的含量大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的，则该生物生存的年代距今约（）‎ A. 万年 B. 万年 C. 万年 D. 万年 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据实际问题，可抽象出，按对数运算求解.‎ ‎【详解】设该生物生存的年代距今是第个5730年，‎ 到今天需满足，‎ 解得：，‎ 万年.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力.‎ ‎10.函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，即的值域包含，讨论和两种情况，计算得到答案.‎ ‎【详解】令，因为函数的值域为R，所以的值域包含．‎ ‎①当时，，值域，成立．‎ ‎②当时，要使的值域包含，则，解得 综上所述：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数的值域问题，忽略掉的情况是容易发生的错误.‎ ‎11.已知函数，则使得的的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以函数为偶函数，当时，，为增函数，使得成立即，解得：，选A．‎ 考点：1.偶函数；2.不等式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是函数，属于中档题．本题首先要确定函数的奇偶性，再利用复合函数的单调性确定函数在上的单调性，得出不等式，两边平方解出即可．同样当函数为奇函数的时候，也可以根据奇函数的单调性在对称区间上单调性相同，得出不等式．‎ ‎12.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式变形为，令判断为增函数，根据单调性性质计算得到答案.‎ ‎【详解】∵，∴‎ 即，令，则 ‎∵在上单调递增，且，∴，∴‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了解不等式，构造函数是解题的关键.‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.函数的定义域为，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题目等价于恒成立，讨论和两种情况，计算得到答案.‎ ‎【详解】函数的定义域为，等价为恒成立 若，则不等式等价为，此时不满足条件．‎ 若，要满足条件，则，即解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉的情况是容易发生的错误.‎ ‎14.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的单调性的性质可得，解可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】由题意得，因为函数在上单调递减，则.‎ ‎∴‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点两函数的单调性与整体保持一致.‎ ‎15.已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．‎ ‎【答案】﹣3＜m＜5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△＜0，解不等式即可得到结论．‎ ‎【详解】不等式等价为，‎ 即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，‎ ‎∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，‎ 即△=（m+1）2﹣4（m+4）＜0，‎ 即m2﹣‎2m﹣15＜0，‎ 解得﹣3＜m＜5，‎ 故答案为：﹣3＜m＜5．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎16.已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，判断，根据范围和函数单调性判断时取最大值，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：根据函数的图象 得，所以．结合函数图象，‎ 易知当时在上取得最大值，所以 又，所以，‎ 再结合，可得，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的值域，画出函数图像可以直观简洁得到答案.‎ 三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）‎ ‎17. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤‎2m－1}．‎ ‎(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；‎ ‎(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）(－∞，3] （2）254 （3）(－∞，2)∪(4，＋∞)‎ ‎【解析】‎ 解：(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＋1>‎2m－1，则m<2；‎ 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得，解得2≤m≤3.‎ 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]．‎ ‎(2)当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.‎ ‎(3)当B＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，‎ 可得，‎ 或，解得m>4.‎ 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．‎ ‎18.计算下列各题：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）19；（2）10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用指数对数运算法则计算得到答案.‎ ‎（2）直接利用对数计算法则计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了指数，对数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19.已知：函数对一切实数x，y都有成立，且．‎ ‎（1）求值．‎ ‎（2）求的解析式．‎ ‎（3）已知，设P：当时，不等式恒成立；Q：当时，是单调函数．如果满足P成立a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求（为全集）．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，带入化简得到答案.‎ ‎（2）令，代入计算得到答案.‎ ‎（3）根据恒成立问题计算得到，根据单调性计算得到 ‎，再计算得到答案.‎ 详解】（1）令，，则由已知，∴‎ ‎（2）令，则，又∵∴‎ ‎（3）不等式即，．‎ 由于当时，，又恒成立，‎ 故，对称轴，‎ 又在上是单调函数，故有或，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了函数求值，函数解析式，集合的运算，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎20.已知指数函数（，且），为的反函数．‎ ‎（1）写出函数的解析式；‎ ‎（2）解关于x的不等式 ‎【答案】（1）且；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用对数函数和对应的指数函数互为反函数得到答案.‎ ‎（2）化简得到，讨论和两种情况，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为指数函数且，所以且．‎ ‎（2）由，得 当时，因为函数在上单调递增，所以 解得；‎ 当时，因函数上单调递减，所以 解得．‎ 综上所述，当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的解析式，解不等式，忽略掉的取值范围是容易发生的错误.‎ ‎21.已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）判断函数的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）单调递减，见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.‎ ‎（2）化简得到，，计算，得到是减函数.‎ ‎（3）化简得到，参数分离，求函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，‎ 即，所以．又由，即，‎ 所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.‎ ‎（2）在上单调递减.证明：由（1）知，‎ 任取，设，则，‎ 因为函数在上是增函数，且，所以，又，‎ 所以，即，‎ 所以函数在R上单调递减.‎ ‎（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，‎ 因为在上是减函数，由上式推得，‎ 即对一切有恒成立，设，‎ 令，‎ 则有，，所以，‎ 所以，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.‎ ‎22.已知为奇函数，为偶函数，且.‎ ‎（1）求及的解析式及定义域；‎ ‎（2）若函数在区间上为单调函数，求实数k的范围；‎ ‎（3）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇偶性得到方程组和，计算得到答案.‎ ‎（2）化简得到，根据开口方向和对称轴计算得到答案.‎ ‎（3）化简得到，设计算得到，得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数，所以，．‎ 因为，①所以用-x取代x代入上式得 ‎，即，②‎ 联立①②可得，，‎ ‎．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 因为函数在区间上为单调函数，所以或，‎ 所以所求实数k的取值范围为．‎ ‎（3）因为，所以．设，‎ 则．因为的定义域为，，‎ 所以，，，，即，则．‎ 因为关于x的方程有解，则，‎ 故m的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的解析式，定义域，单调性，方程解的问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎ ‎