寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题3 抽样方法（解析）x

寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题3 抽样方法（解析）x

专题3　抽样方法 ‎1．简单随机抽样 ‎(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．‎ ‎(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．‎ ‎2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．‎ ‎(1)先将总体的N个个体编号；‎ ‎(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；‎ ‎(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l≤k)；‎ ‎(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．‎ ‎(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．‎ 例1　要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程．‎ 变式1　现有一批编号为10,11，…，99,100，…‎ ‎，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数表法设计抽样方案？‎ 例2　为了解参加某种知识竞赛的10 000名学生的成绩，从中抽取一个容量为500的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．‎ 变式2　某校高中二年级有250名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．‎ 例3　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标(职工年龄与这项指标有关)，要从中抽取100名职工作为样本，应该怎样抽取？‎ 变式3　某校有高中学生900人，其中高一年级300人，高二年级400人，高三年级200人，采用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为45的样本，问各年级应抽取多少人？‎ A级 ‎1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)‎ A．50 B．40 C．25 D．20‎ ‎2．为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体应随机剔除的个体数目是(　　)‎ A．2 B．4 C．5 D．6‎ ‎3．要从1 000个球中抽取100个进行抽样分析，其中红球共有50个，如果用分层抽样的方法对球进行抽样，则应抽取红球(　　)‎ A．33个 B．20个 C．5个 D．10个 ‎4．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是(　　)‎ A．2 B．3 C．5 D．13‎ ‎5．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝________.‎ ‎6．采用系统抽样从含有8 000个个体的总体(编号为0000，0001，…，7999)中抽取一个容量为50的样本，则最后一段的编号为____________，已知最后一个入样编号是7894，则开头5个入样编号是__________________．‎ ‎7．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取容量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．‎ B级 ‎8．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为(　　)‎ A．13 B．19 C．20 D．51‎ ‎9．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A．7 B．9 C．10 D．15‎ ‎10．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为(　　)‎ A．8 B．11 C．16 D．10‎ ‎11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人，现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．‎ ‎12．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．‎ ‎13．某学校有8‎ ‎ 000名学生，需从中抽取100个进行健康检查，采用何种抽样方法较好，并写出过程．‎ ‎14．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？‎ 详解答案 典型例题 例1　解　利用抽签法，步骤如下：‎ ‎(1)将30辆汽车编号，号码是01,02，…，30；‎ ‎(2)将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；‎ ‎(3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；‎ ‎(4)从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号；‎ ‎(5)所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．‎ 变式1　解　(1)将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600；‎ ‎(2)在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7列数“9”，向右读；‎ ‎(3)从数“9”开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263；‎ ‎(4)以上号码对应的6个元件就是要抽取的样本．‎ 例2　解　适宜选用系统抽样，抽样过程如下：‎ ‎(1)随机地将这10 000名学生编号为1,2,3，…，10 000.‎ ‎(2)将总体按编号顺序均分成500个部分，每部分包括20个个体．‎ ‎(3)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18.‎ ‎(4)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为500的样本：18,38,58，… ,9 978,9 998.‎ 变式2　解　抽样过程如下：‎ ‎(1)随机把250名学生编号为1,2,3，…，250；‎ ‎(2)将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括5个个体；‎ ‎(3)在第一部分的个体编号1,2,3,4,5中用简单随机抽样抽取一个号码，比如是4；‎ ‎(4)以4为起始号码，每间隔5抽取一个号码，可得到一个容量为50的样本：4,9,14,19，…，244,249.‎ 例3　解　为了使抽出的100名职工更充分地反映单位职工的整体情况，应保证各个年龄段的职工中都有个体入样，且组成样本的结构与总体结构基本相同．所以可按抽取职工人数(样本容量)与职工总数的比进行抽样．‎ 由于抽取人数与职工总数的比为100∶500＝1∶5，所以在各年龄段抽取的职工人数依次是，，，即25,56,19.‎ 在各个年龄段分别抽取时，可采用简单随机抽样的方法，最后将各年龄段抽取的职工合在一起，就是所要抽取的100名职工．‎ 变式3　解　由题意知：高一年级所占比例为＝，高二年级所占比例为＝，高三年级所占比例为＝，所以高一年级应抽取×45＝15(人)，高二年级应抽取×45＝20(人)，高三年级应抽取×45＝10(人)．‎ 强化提高 ‎1．C　[根据系统抽样的特点可知分段间隔为＝25，故选C.]‎ ‎2．A　3.C　4.C　5.80‎ ‎6．7840～7999　0054,0214,0374,0534,0694‎ ‎7. 解析　每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即＝.‎ ‎8．C　[抽样间隔为46－33＝13，‎ 故另一位同学的编号为7＋13＝20，选C.]‎ ‎9．C　[由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…‎ ‎，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，所以做问卷B的有10人．]‎ ‎10．A　[若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.]‎ ‎11．6‎ 解析　设抽取的女运动员有x人，则＝，解得x＝6.‎ ‎12．76‎ 解析　由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.‎ ‎13．解　总体中个体个数达8 000，样本容量也达到100，用简单随机抽样中的抽签法与随机数法都不易进行操作，所以，采用系统抽样方法较好．于是，我们可以用系统抽样法进行抽样．具体步骤是：‎ ‎(1)将总体中的个体编号为1,2,3，…，8 000；‎ ‎(2)把整个总体分成100段，每段长度为k＝＝80；‎ ‎(3)在第一段1～80中用简单随机抽样确定起始编号l，例如抽到l＝25；‎ ‎(4)将编号为l，l＋80，l＋160，l＋240，…，l＋80×99(即25，105,185，…，7 945)的个体抽出，得到样本容量为100的样本．‎ ‎14．解　用分层抽样抽取样本．‎ ‎∵＝，即抽样比为.‎ ‎∴200×＝8,125×＝5,50×＝2.‎ 故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．‎ 抽样步骤：①确定抽样比；‎ ‎②‎ 按比例分配各层所要抽取的个体数，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．‎ ‎③用简单随机抽样法分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本．‎