【数学】2019届一轮复习北师大版选考内容学案

【数学】2019届一轮复习北师大版选考内容学案

‎1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）C的直角坐标方程为x＋y=1，M（2，0），N．‎ ‎（2）直线OP的极坐标方程为θ=，ρ∈（–∞，＋∞）．‎ ‎（2）由（1）可知M点的直角坐标为（2，0），N点的直角坐标为．‎ 所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为．‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ=，ρ∈（–∞，＋∞）．学 ‎ 极坐标与直角坐标的互化方法 ‎（1）互化的前提：①直角坐标系的原点与极点重合；②x轴的正半轴与极轴重合；③‎ 在两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎（2）互化公式：设M是平面内任一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则极坐标与直角坐标的互化公式为，．‎ ‎2．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）若a=–1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．‎ ‎【答案】（1）C与l的交点坐标为（3，0），．（2）a=8或a=–16．‎ ‎（2）直线l的普通方程为x＋4y–a–4=0，‎ 故C上的点（3cos θ，sin θ）到l的距离为d=．‎ 当a≥–4时，d的最大值为 ．‎ 由题设得=，所以a=8；‎ 当a<–4时，d的最大值为．‎ 由题设得=，所以a=–16．‎ 综上，a=8或a=–16．‎ ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数．‎ ‎（2）如果知道变量x，y中的一个与参数t的关系，例如，x=f（t），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g（t），那么就是曲线的参数方程．‎ ‎（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．‎ ‎（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．‎ ‎2．几种常见曲线的参数方程 ‎（1）圆 以O′（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．‎ 当圆心在（0，0）时，方程为其中α是参数．‎ ‎（2）椭圆 椭圆＋=1（a>b>0）的参数方程是其中φ是参数．‎ 椭圆＋=1（a>b>0）的参数方程是其中φ是参数．‎ ‎（3）直线 经过点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．‎ ‎3．设函数f（x）=|x＋2|–|x–1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）>1的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）＋4≥|1–‎2m|有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（0，＋∞）．（2）[–3，4]．‎ ‎（2）关于x的不等式f（x）＋4≥|1–‎2m|有解等价于（f（x）＋4）max≥|1–‎2m|，‎ 由（1）可知f（x）max=3（也可由|f（x）|=||x＋2|–|x–1||≤|（x＋2）–（x–1）|=3，得f（x）max=3），‎ 即|1–2m|≤7，解得–3≤m≤4．故实数m的取值范围为[–3，4]．学 ‎ ‎1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 ‎（1）若c>0，则|ax＋b|≤c⇔–c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤–c，然后根据a，b的取值求解即可；‎ ‎（2）若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R．‎ ‎2．|x–a|＋|x–b|≥c，|x–a|＋|x–b|≤c（c>0）型不等式的解法 零点分区间法 零点分区间法的一般步骤为：‎ ‎①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；‎ ‎②将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；‎ ‎③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；‎ ‎④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集．‎ 几何法（利用|x–a|的几何意义）‎ 由于|x–a|+|x–b|与|x–a|–|x–b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x–a|+|x–b|≤c（c>0）或|x–a|–|x–b|≥c（c>0）的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．‎ 数形结合法 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关键．‎ ‎3．|f（x）|>g（x），|f（x）|0）型不等式的解法：‎ ‎①|f（x）|>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<–g（x）；‎ ‎②|f（x）|a恒成立⇔f（x）min>a；f（x）a有解⇔f（x）max>a；f（x）a无解⇔f（x）max≤a；f（x）g（x）的解集；‎ ‎（2）若对任意x1、x2∈R，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|x>1或x≤–1}．（2）–1≤a≤3．‎ ‎（2）若对任意x1、x2∈R，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，‎ 则f（x）min≥g（x）max对于x∈R恒成立，‎ 而f（x）=x2+2，故f（x）的最小值是2，‎ g（x）=|x–a|–|x–1|≥|（x–a）–（x–1）|=|a–1|，故g（x）的最大值是|a–1|，‎ 故只需|a–1|≤2，解得–1≤a≤3． ‎ ‎1．不等式恒成立问题 不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为φ的对立面也是不等式恒成立问题，如f（x）>m的解集为φ，则f（x）≤m恒成立．‎ ‎2．不等式能成立问题 ‎（1）在区间D上存在实数x使不等式f（x）>A成立，等价于在区间D上f（x）max>A；‎ ‎（2）在区间D上存在实数x使不等式f（x）A在区间D上恰成立，等价于不等式f（x）>A的解集为D；‎ ‎（2）不等式f（x）0，y>0，nx+y+m=0，求证：x+y≥16xy．‎ ‎【答案】（1）m=–1，n=9；（2）证明详见解析．‎ ‎（2）由（1），及nx+y+m=0可得9x+y=1，‎ 因为x>0，y>0，‎ 所以+=（9x+y）（+）=9+1++≥10+2=16，‎ 当且仅当y=3x=时，取得等号，‎ 则x+y≥16xy．‎ 利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法 ‎（1）在运用基本不等式求函数的最大（小）值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“一正、二定、三相等”三个条件．‎ ‎（2）在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．学 ‎ ‎1．已知圆的方程为x2+y2–2y=0．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 A．ρ=–2sinθ B．ρ=2sinθ C．ρ=–2cosθ D．ρ=2cosθ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 A．ρ=sinθ B．ρ=2sinθ C．ρ=cosθ D．ρ=2cosθ ‎3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为 A． B． C． D．‎ ‎4．已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．‎ ‎（1）写出圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求|AP|•|AQ|的值．‎ ‎5．已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．‎ ‎（1）求C2的极坐标方程；‎ ‎（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．‎ ‎7．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）‎ ‎（1）求A、B两点的极坐标；‎ ‎（2）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．‎ ‎8．已知圆锥曲线（θ为参数）和定点，F1，F2是圆锥曲线的左、右焦点．‎ ‎（1）求经过点F1垂直于直线AF2的直线l的参数方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．‎ ‎9．设不等式|x+1|+|x–1|≤2的解集为M．‎ ‎（1）求集合M；‎ ‎（2）若x∈M，|y|≤，| |≤，求证：|x+2y–3 |≤．‎ ‎10．已知函数f（x）=|2x–1|+|2x+3|．‎ ‎（1）解不等式f（x）<5；‎ ‎（2）若不等式f（x）–t<0的解集为空集，记实数t的最大值为a，求实数a的值．‎ ‎11．已知函数f（x）=|x–2|+|x–a2|．‎ ‎（1）若关于x的不等式f（x）≤a有解，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若正实数m，n满足m+2n=a，当a取（1）中最大值时，求的最小值．‎ ‎12．已知函数f（x）=|x+1|–|x–2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎13．已知函数f（x）=|x+1|+|x–3|．‎ ‎（1）若关于x的不等式f（x）–1，‎ ‎∴g（x）≤g（–1）=–1–1–3=–5；‎ 当–1f（x）min，‎ f（x）=|x+1|+|x–3|≥|（x+1）–（x–3）|=4，‎ 所以实数a的取值范围是（4，+∞）．‎ 法二：不等式f（x）f（x）min，‎ 画出函数f（x）的大致图象如下图所示，‎ 观察函数的图象，结合题意可得实数a的取值范围是（4，+∞）．‎