2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（Word版）

南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（一）‎ 理科数学试题 ‎ 2018.3‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。）‎ ‎1．下列不等式中错误的是（ ）‎ ‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎2．等差数列的前n项和为，若，则（ ）‎ ‎ A．8 B．10 C．14 D．12‎ ‎3．命题“”的否定是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4．若，则（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：‎ 甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了.”‎ 乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了.”‎ 丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了.”‎ 结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（ ）‎ A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 甲、丁 ‎7．已知，数列的前n项和为，则的最小值为（ ）‎ ‎ A．0 B．1 C． D．‎ ‎8．在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若角A,B,C成等差数列，边a,b,c成等比数列，则的形状为（ ）‎ ‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎9．在平面直角坐标系中，若x,y满足不等式组，则的最大值是（ ）‎ ‎ A．2 B． C． D．20‎ ‎10．“”是“函数的最小正周期为4”的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点，四边形ABCD的面积的最大值为（ ）‎ ‎ A．8 B． C．4 D．16‎ ‎12．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝ 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B．(0，2) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．设复数，则 。‎ ‎14．观察下列式子：，根据以上式子可猜想 。‎ ‎15．已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF、BF若则C的离心率为 。‎ ‎16．已知，若同时满足条件：①或；②。则m的取值范围是 。‎ ‎三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）在数列中， ， ，求、、的值，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知a、b、c分别为△ABC的内角、、的对边，且角A不是△ABC的最大内角，且.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若△ABC的面积是3，求边长a的最小值．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）设是等差数列，是均为正的等比数列，且，，‎ ‎（Ⅰ）求，的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1， F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M.‎ ‎(1)求点M的轨迹的方程；‎ ‎（2）设与x轴交于点Q，上不同于点Q的两点R、S，且满足，求的取值范围．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，‎ 求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，求证：．‎ 南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（一）理科数学答案 ‎1．D 时，。‎ ‎2．D 。‎ ‎3．A 特殊命题的否定为全称命题。‎ ‎4．C 。‎ ‎5．D 由可得（舍），所以封闭图形的面积。‎ ‎6．C 假设甲中奖，则根据题意，乙丙丁都中奖，此时四人都中奖，故甲不可能中奖；假设乙中奖，则根据题意丙丁都中奖，甲不一定中奖，此时至少三人中奖，故乙不可能中奖；假设丙中奖，则根据题意丁中奖，甲乙不可能中奖，此时至少有两人中奖，故只有可能是丙，丁均中奖，故选 ‎7．C ‎ ‎ ，当时，取最小值。‎ ‎8．C 成等差数列，成等比数列，，即，即为等边三角形。‎ ‎9．D 由约束条件画可行域如图，由可知，‎ 易知表示可行域内的点到原点的 距离的平方，由可行域知，平面内点到的距离最大，‎ 所以最大值为20。‎ ‎10．A 由定积分的几何意义知是由曲线，直线 围成的封闭图形的面积，，且函数的最小正周期为4，，解得，故“‎ ‎”是“函数的最小正周期为4”的充分不必要条件。‎ ‎11．A 双曲线的渐近线方程为，与圆在第一象限内的交点为，则，消，解得 ‎ ，当且仅当时取“=”号。‎ ‎12．A 设P1(x1，lnx1)，P2(x2，－lnx2)(不妨设x1＞1，0＜x2＜1)，则由导数的几何意义易得切线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝－.由已知得 k1k2＝－1，所以x1x2＝1，所以x2＝.所以切线l1的方程为y－lnx1＝(x－x1)，切线l2的方程为y＋lnx2＝－(x－x2)，即y－lnx1＝－x1.分别令 x＝0得A(0，－1＋lnx1)，B(0，1＋lnx1)．易得l1与l2的交点P的横坐标xP＝，因为x1＞1，所以S△PAB＝|yA－yB|·|xP|＝＜1，所以0＜S△PAB＜1.‎ ‎13．1 。‎ ‎14． 由题可知，‎ ‎ ，归纳可得 ‎ 。‎ ‎15． 如图 ‎ 又 ‎ 由对称性，‎ ‎16．‎ 此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，，解得，交集为空，舍。当时，两个根同为，舍。当时，，解得，综上所述．‎ ‎17．解：，‎ 猜想，‎ 证明：（1）时，命题成立；‎ ‎ （2）假设时命题成立，即，‎ 则当时，，‎ 命题也成立，‎ ‎ 由（1）、（2）可知对都成立。‎ ‎18．解：（1）由可得 ‎ ‎ …………4分 又∵ ∴ ……………5分 而不是的最大内角， ∴ A为锐角 ∴ ……………6分 ‎（2）因为 ‎∴ ……………8分 由余弦定理得 ………………10分 ‎ 等号当且仅当时成立， ………………11分 ‎ 故所求的边长a的最小值为2。………………12分 ‎19．解：（1）连结PD，PA=PB， PD AB．，BC AB，DE AB．‎ 又，AB平面PDE，PEÌ平面PDE，‎ ABPE ．…………………………6分 ‎（2）法一：‎ 平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，PD平面ABC．‎ 则DE PD,又ED AB， PD平面AB=D，DE平面PAB,‎ 过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EFPB，∠DFE为所求二面角的平面角 则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为 法二：‎ 平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，PD平面ABC．‎ 如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ‎_‎ E ‎_‎ D ‎_‎ B ‎_‎ C ‎_‎ A ‎_‎ P y x z ‎ B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0， ，0) ，‎ ‎=(1，0， )，=(0， ， ）． ‎ 设平面PBE的法向量，‎ 令，得． ‎ DE平面PAB，平面PAB的法向量为． ‎ 设二面角的大小为，由图知，，‎ 所以即二面角的大小为…………………………12分 ‎20．解（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有，且 解得，．…………………………4分 所以，．…………………………6分 ‎（Ⅱ）．‎ ‎，①‎ ‎ ② ‎ 由②－①可得：‎ ‎，‎ ‎…………………………12分 ‎21．解答:（1）因为，‎ 所以动点M到定直线的距离等于它到定点的距离，‎ 所以动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，‎ 所以M的轨迹的方程为 …………………………4分 ‎（2），设，则 因为，所以，因为，‎ ‎ ‎ 故，‎ 当且仅当时等号成立，…………………10分 又因为，所以当，即时，取最小值，‎ 故的取值范围是 ………………………12分 ‎22．解：（1），‎ 当时，在上恒成立，‎ 函数 在单调递减，∴在上没有极值点；‎ 当时，得，得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，‎ 当时，在上有一个极值点． 4分 ‎（注：分类讨论少一个扣一分。）‎ ‎（2）∵函数在处取得极值，∴， ………………………………………5分 ‎∴， ……………………………………………………6分 令，可得在上递减，在上递增，………………7分 ‎∴，即． 8分 ‎（3）证明：， 9分 令，则只要证明在上单调递增，‎ 又∵，‎ 显然函数在上单调递增．‎ ‎∴，即，‎ ‎∴在上单调递增，即，‎ ‎∴当时，有． ..........................................................12分