2018届福建省厦门市高三上学期期末质检数学理卷

2018届福建省厦门市高三上学期期末质检数学理卷

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．实数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎5．已知实数满足则目标函数的最大值等于（ ）‎ A．-7 B． C．2 D．3‎ ‎6．如图所示，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，则的面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知正方形的边长为2，对角线相交于点，是线段上一点，则的最小值为（ ）‎ A．-2 B． C． D．2‎ ‎8．函数的大致图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．中，，是双曲线的左、右焦点，点在上，若，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（ ）‎ A．100 B．140 C．190 D．250‎ ‎11．若锐角满足，则函数的单调增区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知函数若，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．复数满足，则 ．‎ ‎14．设等比数列满足，，则 ．‎ ‎15．直线与抛物线交于两点，若，则 ．‎ ‎16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．如图，单位圆与轴正半轴的交点分别为，圆上的点在第一象限.‎ ‎（1）若点的坐标为，延长至点，使得，求的长；‎ ‎（2）圆上的点在第二象限，若，求四边形面积的最大值.‎ ‎18．如图，直角梯形中，，，，等腰梯形中，，，，且平面平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.‎ ‎19．数列满足.‎ ‎（1）若数列为公差大于0的等差数列，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎20．已知点，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若，函数的极大值为，求实数的值；‎ ‎（2）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，为上两点，且，设射线，其中.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 函数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）若的最小值为2，求实数的值.‎ 厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:BCBDC 6-10:ACADC 11、12：BD 二、填空题 ‎13． 14．28 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由点在单位圆上，可知，‎ 由图象可得；‎ 在中，，，；‎ 由余弦定理得；‎ 解得；‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 四边形的面积 ‎∵，∴；‎ 当，即时，四边形的面积的最大值为.‎ ‎18．证明：（1）∵平面平面，，平面平面 ‎∴平面，‎ 又平面，∴，‎ 又∵，且，‎ ‎∴平面.‎ 解：（2）设，∵四边形为等腰梯形，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，∴平面，‎ ‎∴为与平面所成的角，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ ‎∵平面，∴平面的法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由得 令得，，‎ ‎.‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎19．解：（1）由已知：‎ 当时，①，即 当时，②‎ ‎②-①，得；即 设等差数列公差为，由，‎ 有 因为，解得，‎ 则 ‎（2）由已知：③‎ 当时，④‎ ‎③-④得：当时，，即，‎ 结合，得：‎ ‎20．解：（1）由已知得：，所以 又，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，‎ 所以点的轨迹方程是.‎ ‎（2）设直线，，，则，‎ 联立直线与椭圆得，‎ 得，‎ ‎∴‎ ‎∴，所以直线，‎ 所以令，得，‎ ‎，‎ 所以直线过定点，‎ 所以的面积 ‎，当且仅当时，等号成立.‎ 所以面积的最大值是.‎ ‎21．解：（1）由题意，‎ ‎.‎ ‎（ⅰ）当时，，‎ 令，得；，得，‎ 所以在单调递增，单调递减.‎ 所以的极大值为，不合题意.‎ ‎（ⅱ）当时，，‎ 令，得；，得或，‎ 所以在单调递增，，单调递减.‎ 所以的极大值为，得.‎ 综上所述.‎ ‎（2）令，，‎ 当时，，‎ 则对恒成立等价于，‎ 即，对恒成立.‎ ‎（ⅰ）当时，，，，‎ 此时，不合题意.‎ ‎（ⅱ）当时，令，，‎ 则，其中，，‎ 令，则在区间上单调递增，‎ ‎①时，，‎ 所以对，，从而在上单调递增，‎ 所以对任意，，‎ 即不等式在上恒成立.‎ ‎②时，由，及在区间上单调递增，‎ 所以存在唯一的使得，且时，.‎ 从而时，，所以在区间上单调递减，‎ 则时，，即，不符合题意.‎ 综上所述，.‎ ‎22．解：（1）将的方程化为直角坐标方程为，即.‎ 将，代入可得 化简得 ‎（2）根据题意：射线的极坐标方程为或.‎ ‎，‎ 则 ‎，‎ 当且仅当，即时，取得最小值.‎ 故的最小值为.‎ ‎23．解：（1）依题意：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ ‎（2）①当，即时，‎ 则当时，，故.‎ ‎②当，即时，‎ 则当时，，故.‎ ‎③当时，即时，有最小值0，不符合题意，舍去.‎