江苏省常州市高级中学2013届高三12月考试数学理试题（无答案）

江苏省常州市高级中学2013届高三12月考试数学理试题（无答案）

‎ 常州市高级中学2013届高三数学（理科）练习2012.12.8‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1．若复数）是纯虚数，则实数的值为___▲____ ‎ ‎2.集合，，若，则的值为 ▲ ‎ 开始 i¬1，s¬1‎ i³5‎ s¬s×3‎ i¬i+1‎ 输出s 结束 否 是 ‎3.经过点，且与直线垂直的直线方程是 ▲ ‎ ‎4．平面直接坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则 ▲ ‎ ‎5．某学校有两个食堂，甲，乙，丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．‎ ‎6．右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的 ▲ ．‎ ‎7．设△的内角的对边分别为，且，，则= ▲ ‎ ‎8．设向量，，，的夹角为，则实数 ▲ ‎ ‎9．过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为 ▲ ‎ ‎10．已知函数，若，则实数的取值范围是 ▲ ‎ ‎11.设函数，观察：‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，= ▲ ‎ ‎12.平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ‎ ‎13．已知函数，若关于的方程满足有且仅有三个不同的实数根，且分别是三个根中最小根和最大根，则的值为 ▲ ; ‎ ‎14．已知,记,‎ ‎,若,则的最大值为 ▲ ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．‎ ‎15．在中，角的对边分别为,且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最大值.‎ ‎16．已知圆过点，且与圆：关于直线对称．‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)设为圆上的一个动点，求的最小值；‎ ‎17．如图，2012年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）‎ ‎(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；‎ ‎(2) 立柱的顶端有一长‎2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．‎ ‎18．如图, 椭圆：+=1的右顶点是，上下两个顶点分别为，四边形是矩形（为坐标原点），点分别是线段的中点。‎ 求证：直线与直线的交点在椭圆上.‎ 过点的直线与椭圆分别交于（不同于点），且它们的斜率满足 求证：直线过定点，并求出此定点的坐标。‎ ‎19．设数列，对任意都有，(其中、、是常数)。‎ ‎（1）当，，时，求；‎ ‎（2）当，，时，若，，求数列的通项公式；‎ ‎（3）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，，时，设是数列的前项和，，试问：是否存在这样的“封闭数列” ，使得对任意，都有，且．若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．已知函数（且）.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”. 试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.‎