四川省泸县第五中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题

四川省泸县第五中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题

‎2020年春四川省泸县第五中学高三第四学月考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．复数z1＝2+i，若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z1z2＝‎ A．﹣5 B．5 C．﹣3+4i D．3﹣4i ‎3．双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎4．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论： ‎ ‎①样本数据落在区间的频率为0.45；‎ ‎②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．已知，向量在向量上的投影为1，则与的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎6．已知一条对称轴为，则 A． B． C． D．‎ ‎7．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知，则a，b，c的大小关系 A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数在为单调递增函数，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为 A． B． C．1 D．2‎ ‎11．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象 A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎12．已知函数，若对任意的在区间上总存在唯一的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎14．已知，则_____________.‎ ‎15．已知等比数列的前n项和满足，则________.‎ ‎16．已知函数，有下列四个命题：‎ ‎①函数是奇函数； ②函数在是单调函数；‎ ‎③当时，函数恒成立； ④当时，函数有一个零点，其中正确的是_______‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）某省确定从2021年开始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查.‎ ‎（1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人数；‎ ‎（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调杳（假定每名学生在这两个科目中必须洗择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 ‎50‎ 女生 ‎30‎ 总计 ‎（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.‎ 附：，其中.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18．（12分）记为数列的前n项和，已知.‎ ‎（1）求的值及的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，是等边三角形且边长是4，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求四棱锥的体积.‎ ‎20．（12分）已知抛物线焦点为，直线过与抛物线交于两点.到准线的距离之和最小为8.‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）若抛物线上一点纵坐标为，直线分别交准线于.求证：以为直径的圆过焦点.‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．‎ ‎2020年春四川省泸县第五中学高三第四学月考试 文科数学参考答案 ‎1-5:CABDA 6-10:ACACA 11-12:BB ‎13． 14． 15．-2 16．③④‎ ‎17．（1）因为，所以，女生人数为.‎ ‎（2）列联表为：‎ 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 女生 ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ 总计 ‎90‎ ‎110‎ ‎200‎ 的观测值，所以有的把握认为选择科目与性别有关.‎ ‎（3） 从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名， 这6名学生中有4名男生，‎ 记为，，，；2名女生记为，.抽取2人所有的情况为、、‎ ‎、、、、、、、、、、‎ ‎、、，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有、‎ ‎、、、、、、、，共9种，故所求 概率为.‎ ‎18．解：（1）当时，，‎ 故，即，又，故对任意，.‎ ‎（2）由题知，‎ 则前n项和 ‎.‎ ‎19．证明：取AP中点M，连接DM，BM，‎ ‎，，，，‎ ‎，平面DMB．又平面DMB，‎ 由知，平面BDM，‎ 在等边三角形PAB中，由边长为4，得，‎ 在等腰三角形ADP中，由，，得，‎ 又，，得．‎ ‎．‎ 则．．‎ ‎20．（1）到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为，‎ 最小为通径，所以，解得，所以抛物线方程为.‎ ‎（2）抛物线焦点，准线方程：，由点纵坐标为，得，‎ 当直线与轴垂直时， 直线方程为，此时，， ，‎ 直线：，直线：，所以，，，‎ 所以，圆心坐标为，半径，焦点到圆心的距离，‎ 此时，以为直径的圆过焦点.当直线与轴不垂直时， ‎ 设直线，设，‎ ‎，得，，，‎ 直线为代入准线得：‎ 同理可得 ‎，所以，所以焦点在以为直径的圆上.‎ 综上，以为直径的圆过焦点.‎ ‎21．（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，‎ 令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），‎ 由函数f（x）在定义域内有两个不同的极值点，可知g（x）在区间（0，+∞）内有两个不同的变号零点，‎ 由可知，‎ 当a≤0时，g'（x）＜0恒成立，即函数g（x）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去.‎ 当a＞0时，由g'（x）＞0得，，即函数g（x）在区间上单调递增；‎ 由g'（x）＜0得，，即函数g（x）在区间上单调递减；‎ 故要满足题意，必有，解得：a＞2e；‎ 又,∴函数g（x）在（1，）内有一个零点，‎ 又当时，g（x），∴在（）内有一个零点，‎ ‎∴a＞2e满足题意.‎ ‎（2）由（1）可知，，故要证：，‎ 只需证明：，即证：不妨设0＜x1＜x2，即证，‎ 构造函数：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中，‎ 由，所以函数h（t）在区间（1，+∞）内单调递减，所以h（t）＜h（1）＝0得证.‎ ‎22．（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；‎ 由，得，则曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，得，‎ 设对应的参数分别为，则，.‎ ‎23：（1）不等式等价于或或 解得或或，所以不等式的解集为．‎ ‎（2）由知，当时，；‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以， 解得． 故实数的取值范围是．‎