【数学】江西省上饶中学2019-2020学年高一上学期12月月考试题 （筑梦班）（解析版）

【数学】江西省上饶中学2019-2020学年高一上学期12月月考试题 （筑梦班）（解析版）

www.ks5u.com 江西省上饶中学2019-2020学年高一上学期12月月考 数学试题（筑梦班）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.在下列结论中，正确的为（ ）‎ A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B. 向量与向量的长度相等 C. 向量就是有向线段 D. 零向量是没有方向的 ‎【答案】B ‎【解析】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；‎ B. 向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；‎ C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；‎ D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.‎ 故选B.‎ ‎2.已知角的终边上有一点，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为角的终边上有一点，所以.‎ 故选C.‎ ‎3.设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是( )‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】逐一考查所给的选项：‎ 由线面垂直的性质定理推论可知：若，，则，选项A正确；‎ 由线面垂直的性质定理推论可知：若，，则，选项B正确；‎ 由线面垂直的性质定理推论可知：若，，则平面内存在直线，满足，则，然后利用面面垂直的判定定理可得，选项C正确；‎ 在如图所示的正方体中，取平面分别为平面，‎ 直线为棱，‎ 满足，，但是不满足，选项D错误；‎ 故选D ‎4.已知两异面直线，所成的角为80°，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为50°，那么这样的直线有（）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】过作与平行的直线，‎ 如图，， ‎ 直线过点且，这样的直线有两条.‎ 又，直线为的平分线，则，‎ 综上，满足条件的直线的条数为3.‎ ‎5.1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】由1弧度的圆心角所对的弧长为6，利用弧长公式，可得，即，‎ 所以扇形的面积为.‎ 故选C.‎ ‎6.已知某圆圆心C在x轴上，半径为5,且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意没，，所以，‎ 在中，.‎ 如图所示，有两种情况：‎ 故圆心C的坐标为(3，0)或(3，0)，故所求圆的标准方程为.‎ ‎7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）‎ ‎ ‎ 正视图 侧视图 俯视图 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，剩余部分为正方体沿平面截掉三棱锥后得到的图形 设正方体棱长为 ，‎ 截去部分体积与剩余部分体积之比为：‎ 故选A ‎8.已知函数为偶函数，且在上是增函数，则的一个可能值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，‎ ‎，‎ 若为偶函数，则有，即， ‎ 所以可以排除B、D，‎ 对于A，当时，，在，上是减函数，不符合题意，‎ 对于C，当时，，在，上是增函数，符合题意，‎ 故选C．‎ ‎9.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，、分别为、的中点，在此几何体中，下列结论中正确的个数有（）‎ ‎①平面平面 ‎②直线与直线是异面直线 ‎③直线与直线共面 ‎④面与面的交线与平行 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据展开图，复原几何体，如下图所示：‎ 由已知条件，在平面内，过点的中线垂直于，再也找不到和平面内垂直的线段，因此找不到和平面垂直的垂线，由已知四边形为正方形，能得到或，再也找不到和平面内相垂直的的线段，因此找不到和平面 垂直的线段，所以不能判断平面平面，故①是不正确的；‎ 根据异面直线的定义可以判断②是正确的；‎ 因为、分别为、的中点，所以，而四边形为正方形，所以有，因此有，所以中点共面，所以③是正确的；‎ 因为，平面, 平面，所以平面，‎ 而平面，所以面与面的交线与平行，故④正确，故有三个结论是正确的，本题选A.‎ ‎10.已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图：‎ 依题意得点在直线上，‎ 点关于直线对称的点,‎ 点在圆关于直线对称的圆上，‎ 则，设圆的圆心为，‎ 因为，，‎ 所以 ‎，当五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.‎ 因此，的最大值为4.‎ ‎11.将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，，向左平移个单位长度得到.故，下面求函数的减区间：由，由于故上式可化为，由于函数在上单调递减，故，解得，所以当时，为正数的最大值.故选A.‎ ‎12.有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料，其各棱长都为2.已知，分别为上，下底面的中心，M为的中点，过A，B，M三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图:‎ 连延长交于M,易证,因为为中心，所以 ，过做||,则梯形 即为所求截面，,,所以梯形的高，故梯形面积为，故选B. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填写在题中的横线上）‎ ‎13.已知为第二象限角，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为第二象限角，所以，.‎ 所以，‎ ‎，所以.‎ 所以答案为：‎ ‎14.在中，为的中点，为的中点，为的中点，若，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为为的中点，所以，‎ 而，‎ 所以，‎ 所以，故，填．‎ ‎15.若圆和曲线恰有六个公共点，则的值是________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意，圆和曲线恰由六个公共点，‎ 作出图象，如图所示，此时，故答案为3．‎ ‎16.点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，在取点,使 ,连接 因为,所以,则平面,则点的轨迹为平面与球的截面圆周，‎ 设正方体的棱长为，则，解得，连接,‎ 由,求得到平面的距离为，‎ 所以截面圆的半径，‎ 则点的轨迹长度为，‎ 故答案为 .‎ 三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知两点 ‎(1)求过AB中点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；‎ ‎(2)求过原点，且A、B两点到该直线距离相等的直线的方程.‎ 解：（1）由题意，点，可得中点坐标为，‎ 设所求直线的斜率为，则方程为，‎ 令，解得，令，解得，‎ 因为直线在两坐标轴上截距相等，即，解得或，‎ 当时，直线的方程为，即；‎ 当时，直线的方程为，即．‎ ‎（2）①当所求直线过中点时，此时直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为；‎ ‎②当直线与直线平行，此时直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为．‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，．‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 解：（1）因为四边形为正方形，‎ 所以.平面平面，‎ 平面平面，‎ 所以平面.所以.‎ 取中点，连接.由，，，‎ 可得四边形为正方形.‎ 所以.所以.所以.‎ 因为，所以平面. ‎ ‎（2）存在，当为的中点时，平面，此时.‎ ‎ 证明如下：‎ 取中点，连接，连接交于点，由于四边形为正方形，‎ 所以是的中点，同时也是的中点.‎ 因为，又四边形为正方形， ‎ 所以，‎ 连接，所以四边形为平行四边形.‎ 所以.又因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎19.已知函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎（1）求函数的解析式：‎ ‎（2）已知角满足：且，，求的值.‎ 解：（1）‎ 由条件可得，所以，则 ‎（2）‎ 又 ‎∴原式 ‎20.已知两个定点，， 动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：.‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM、QN，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.‎ 解：（1）由题，设点的坐标为，‎ 因为，即，‎ 整理得，‎ 所以所求曲线的轨迹方程为．‎ ‎（2）依题意，，则都在以为直径的圆上，‎ 是直线上的动点，设，‎ 则圆的圆心为，且经过坐标原点，‎ 即圆的方程为，‎ 又因为在曲线上，‎ 由，可得，‎ 即直线的方程为，‎ 由且，可得，解得，‎ 所以直线过定点．‎ ‎21.如图，在直三棱柱中，，是的中点，. ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.‎ 解：解法一：‎ ‎（1）连结，交于点，连结.‎ 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，‎ 所以为的中点，‎ 又为的中点，所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为，为锐角，‎ 所以为异面直线和所成的角，‎ 所以由条件知，‎ 在中，，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 又平面，平面，，‎ 所以，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 所以.‎ 解法二：（1）证明：取的中点，连结，，，‎ 在直三棱柱中，‎ 四边形为平行四边形，又是的中点，‎ 所以，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 因为，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又，平面，‎ 所以平面平面，‎ 又平面，所以平面.‎ ‎（2）过作于，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 又，平面，所以平面.‎ 因为，为锐角，‎ 所以为异面直线和所成的角，‎ 所以由条件知，‎ 在中，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，，，‎ 所以.‎ ‎22.定义在R上的函数，若已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当，函数取得最小值为．‎ ‎（1）求出此函数的解析式；‎ ‎（2）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值），若不存在，请说明理由;‎ ‎（3）若将函数的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值.‎ 解：（1），‎ ‎， ‎ ‎ ，‎ 解得：，，又 ‎ ‎（2）满足，解得：‎ ‎ ‎ 同理 由（1）知函数在上递增 若有 只需要：，即成立即可 存在，使成立 ‎（3）由题意知：，‎ 函数与函数均为单调增函数，且，‎ 当且仅当与同时取得才有函数的最大值为 由得：，‎ 则 ，‎ 又 的最小值为